Construction des premières coordonnées

Proposition 3.12. Pour tous δ > 0, D₀ > 0, v₀ > 0, E > 0 et l ∈ N, il existe ε₂ > 0 tel que si une variété d’Einstein satisfait :

— le diamètre est majoré par D0 > 0, — le volume est minoré par v0 > 0,

— la courbure de Ricci est minorée par −3,

— il existe un anneau A(ρ₁, ρ₂) avec 4ρ₁ < ρ₂ satisfaisant :

Z

A(ρ1,ρ2)

| Rm |2

6 ε²2,

et tel que R

B(ρ2)| Rm |2 6 E (c’est toujours satisfait pour une certaine

constante E(v₀, D₀) d’après [CN15]),

— le rapport des volumes des boules associées est presque euclidien

    Vol(B(ρ₂)) Vol(B(ε₂ρ₁)) − ^ρ 4 2 (ε₂ρ₁)4    6 ε2.

A^ρ, 2ρ^ au sens suivant,

A^(1 + δ)ρ, (2 − δ)ρ^⊂ ˆA^ρ, 2ρ^⊂ A^(1 − δ)ρ, (2 + δ)ρ^, tel qu’il existe Γ sous-groupe fini de SO(4) et un difféomorphisme

Φ_ρ: A_e(1, 2) ⊂ R⁴/Γ → ˆA^ρ, 2ρ^⊂ M,

pour lesquels on ait :

Φ^∗_ρg ρ2 − g_e Cl(Ae(1,2)) 6 δ.

Notre situation est non-effondrée à toutes les échelles par une application de l’inégalité de Bishop-Gromov.

Lemme 3.13. Soit (M, g) une variété riemannienne de diamètre inférieur à D₀ >

0 et de volume supérieur à v₀ > 0 et ayant une courbure de Ricci minorée par

−(n − 1)κ < 0. Alors, pour tout 0 6 r 6 D0, nous avons,

Vol_g(B_g(r)) > ^Volg−κ(B_g−κ(r)) Vol_g−κ(B_g−κ(D₀))^v0

où g−κ est la métrique de l’espace simplement connexe à courbures sectionnelles constantes égales à −κ. En particulier, il existe C = C(κ, D₀, v₀) > 0 telle que

l’on ait

Vol_g(B_g(r)) > Cr⁴. (3.2) Le rayon d’injectivité est bien contrôlé sur les zones correspondant à l’orbifold et les orbifolds ALE grâce à la proximité avec des métriques modèles du corollaire 2.47. Il est de plus contrôlé dans les zones intermédiaires coniques d’après le lemme suivant.

Lemme 3.14. Sous les hypothèses de la proposition 3.12, il existe une constante r₀ > 0 ne dépendant que de D₀, v₀, telle qu’en tout point de l’anneau A^2ρ₁,¹₂ρ₂^ à distance ρ du centre, le rayon d’injectivité et le rayon harmonique soient minorés par r₀ρ.

Démonstration. Considérons un point x à distance ρ ∈ [2ρ₁,¹₂ρ₂] du centre de l’anneau et la boule B(x,^ρ₂). Le volume de B(x,^ρ₂) est minoré grâce à l’inégalité de Bishop-Gromov par C₁ρ⁴ pour une constante C₁ ne dépendant que de v₀ et

D₀, voir le lemme 3.13. Pour contrôler la courbure, on peut utiliser le théorème d’ε-régularité de [Gao90], lemme 2.29, voir aussi [And89] et [BKN89]. Ainsi, pour

ρ ∈ [4ρ₁,1

4ρ₂], quitte à réduire la constante ε₂ de l’énoncé, alors la norme L2 de la courbure sur la boule B(x,^ρ₂) est plus petite que la constante ε du lemme 2.29. La courbure à distance ρ est donc plus petite que 1

ρ2 par le lemme 2.29.

Par le théorème 1.43, les contrôles sur la courbure et le volume à l’échelle ρ impliquent qu’il existe une constante r₁ > 0 dépendant du volume de la boule

de rayon ρ et d’une borne sur la courbure à cette échelle telle qu’en tout point à distance ρ, le rayon d’injectivité soit minoré par r₁ρ. Comme la courbure est

bornée, il existe 0 < r₀ < r₁ dépendant de r₁ et de la borne sur la courbure telle le rayon harmonique soit minoré par r₀.

L’outil essentiel pour prouver l’existence des premières coordonnées de la pro-position3.12sera le théorème de presque rigidité des cônes de Cheeger et Colding.

Lemme 3.15 ([CC96, Theorem 4.85]). Pour tout δ > 0, il existe κ > 0 tel que

pour tout r > 0, si (Mn, g) satisfait, Ric(g) > −(n−1)κr⁻² et qu’il existe un point p ∈ M auquel,

Vol(B(p, κr))

v_−κr−2(κr) − ^{Vol(B(p, 2r))}

v_−κr−2(2r) ^{< κ,}

où v_−κr−2(s) est le volume de la boule de rayon s dans l’espace simplement connexe

à courbures sectionnelles constantes égales à −κr⁻², alors, il existe un cône mé-trique (C(X), d_C(X), 0) tel que diam(X) 6 π et,

d_GH   B(p, r), p^,^B_C(X)(0, r), 0^  6 δr.

Nous allons avoir besoin d’un raffinement de ce résultat dans notre cas. Pour obtenir une preuve ne se basant pas sur les techniques de [And89, BKN89] et en particulier uniquement basée sur l’étude des anneaux de basse courbure comme dans le second chapitre, nous n’utilisons pas le fait que les limites soient des ALE et orbifolds.

Lemme 3.16 (Presque cône volumique dans une variété d’Einstein de dimension

4). Pour tous δ > 0, l ∈ N, v₀ > 0, et E > 0, il existe κ > 0 tel que pour tout r > 0, si (M⁴, g) satisfait Ric(g) = Λg avec, |Λ| 6 3κr⁻² et qu’il existe un point p ∈ M pour lequel,

Vol(B(p, r)) > v0r⁴,

Vol(B(p, κr))

v_−κr−2(κr) − ^Vol(B(2r))

et

Z

B(p,2r)

| Rm |2

dv 6 E,

alors, il existe un sous-groupe fini Γ ⊂ SO(4) (dont le cardinal est majoré par une fonction de v₀), et un difféomorphisme Φ : A_e(δ, (1 − δ)) → ˆA(δr, (1 − δ)r), où,

A(2δr, (1 − 2δ)r) ⊂ ˆA(δr, (1 − δ)r) ⊂ A 1 2^δr,  1 − ¹ 2^δ  r  , (3.3)

tel que sur l’anneau A_e(δr, (1 − δ)r), on ait :

Φ^∗g r2 − g_e Cl(ge) 6 δ. (3.4)

Remarque 3.17. Les hypothèses sur la courbure et sur le volume ne sont présentes

que pour majorer le cardinal du groupe Γ pour avoir compacité. On évite ainsi les suites de variétés d’Einstein proches de cônes R⁴/Γi où le cardinal de Γi diverge. Dans une telle situation, la suite convergerait vers le cône R⁺. Ces hypothèses sur le volume et la courbure sont de plus redondantes ici, par la dernière section de [CN15].

Démonstration. Par changement d’échelle on se ramène à r = 1. Prouvons ce

résultat par contradiction en supposant qu’il existe δ > 0, E > 0 et v₀ > 0, et une

suite de contre-exemples (M4

i, g_i, p_i)_i satisfaisant : — Vol(B_i(p_i, 1)) > v₀ > 0,

— R

Bi(pi,2)| Rm_i|2dv_i 6 E,

— il existe κ_i → 0 et Λ_i, |Λ_i| 6 3κipour lesquels Ric(g_i) = Λ_ig_iet ^Vol(Bi(pi,κi))

v_−κi(κi) −

Vol(Bi(pi,2)) v_−κi(2) < κi,

mais pour laquelle, quel que soit Γ sous-groupe fini de SO(4), il n’existe pas de difféomorphisme Φ : A_e(δ, (1 − δ)) → ˆA(δ, (1 − δ)) où ˆA(δ, (1 − δ)) satisfait (3.3), et tel qu’on ait le contrôle (3.4).

Daprès le théorème 0.1, comme Vol(B_i(p_i, 1)) > v₀ > 0 et Ric(g_i) > −3, une sous-suite des boules de rayon 1 pointées converge au sens de Gromov-Hausdorff vers un espace métrique que l’on notera (Y, d_Y, p).

Par le lemme 3.15, quitte à reprendre une sous-suite, pour tout i, on peut supposer que κ_i est suffisamment petit pour que l’on ait

d_GH _ B_i(p, 1), p_i^,^B_C(Xi)(0, 1), 0^  6 ¹ i^,

in-égalité triangulaire, la suite ^B_C(Xi)i(0, 1), 0^ converge aussi vers (Y, d_Y, p) au

sens de Gromov-Hausdorff. Maintenant, comme les C(X_i) munis des distances

d_C(Xi)^(r, x), (s, y)^ := ^qr2+ s2− 2rs cos(d_Xi(x, y)) d_GH-convergent, on en dé-duit en fixant r > 0 et s > 0 que les (X_i, d_Xi) d_GH-convergent vers (X, d_X), et donc que la limite est un cône métrique, (Y, d_Y, p) = (C(X), d_C(X), 0).

Par la proposition2.30, nous savons que la limite (Y, d_Y, p) privée d’un nombre

fini de points singuliers est une métrique d’Einstein lisse et que la convergence est lisse sur les compacts. La limite de (B_i(p_i, 1), g_i, p_i) au sens de Gromov-Hausdorff est donc à la fois la boule de rayon 1 d’un cône métrique et une variété d’Einstein de dimension 4 hors d’un nombre fini de points singulier.

Un cône n’ayant qu’un nombre fini de points singuliers est un cône sur une variété lisse. De plus un cône d’Einstein est nécessairement Ricci-plat car la cour-bure de Ricci d’un cône s’annule dans la direction radiale. La limite est donc un cône sur une variété d’Einstein lisse de dimension 3 et de constante d’Einstein 2. C’est donc un quotient de S³ par un sous-groupe Γ ⊂ SO(4) car en dimension 3, les métriques d’Einstein sont à courbures sectionnelles constantes par (1.18). Il existe donc un difféomorphisme Φ : Ae(δ, (1 − δ)) → ˆA(δr, (1 − δ)r) satisfaisant

(3.3) et (3.4), ce qui est absurde.

On peut donc maintenant utiliser ces résultats pour construire des premières coordonnées dans les zones intermédiaires.

Preuve de la proposition 3.12. Soient δ > 0, D₀ > 0, v₀ > 0, E > 0, Λ ∈ [−3, 3]

et l ∈ N, et une variété de dimension 4, (M, g) satisfaisant : — Ric(g) = Λg,

— le diamètre est majoré par D₀ > 0,

— le volume est minoré par v₀ > 0,

— il existe p ∈ M , et ρ₂ > 0, tels qu’on ait :R

B(p,ρ2)| Rm |2

Remarquons que ces hypothèses impliquent une borne sur Λρ2 2 E > Z B(ρ2) | Rm |2dv > 6 Z B(ρ2) | Ric |2dv > 24Λ²Vol(B(ρ₂)) > 24v0Λ^{2 Volg−|Λ|(Bg−|Λ|(ρ2))} Volg_−|Λ|(Bg_−|Λ|(D₀)) > 24v0Λ^{2 Volg}−3(B_g−3(ρ₂)) Vol_g−3(B_g−3(D₀)) > C(D0, v₀)Λ²ρ⁴₂, (3.5) puis Λρ2 2 6 _C(D^E₀^1/2_,v0)1/2 =: C⁰(E, D₀, v₀).

Soit l ∈ N, et notons 0 < κ₀ < ¹₄ la constante du lemme précédent associée à nos constantes δ, l et E. Cherchons ε₂ > 0 suffisamment petit pour satisfaire les

hypothèses du lemme3.16 avec la constante κ₀ > 0.

Pour tous 0 < 4ρ₁ 6 ρ2 pour lesquels on a : Z A(ρ1,ρ2) | Rm |2 6 ε²2, et     Vol(B(ρ₂)) Vol(B(ε₂ρ₁)) − ^ρ 4 2 (ε₂ρ₁)4    6 ε2,

nous avons en fait, par l’inégalité de Bishop-Gromov, pour C⁰⁰(E, D₀, v₀) > 0,     Vol(B(ρ₂)) Vol(B(ρ₁)) − ^ρ 4 2 ρ4 1    6 C⁰⁰(E, D₀, v0)ε₂, (3.6) et pour tout ρ et κ₀ > 0 pour lesquels ρ₁ < κ₀ρ < 2ρ < ρ₂,

    Vol(B(2ρ)) Vol(B(κ₀ρ))− ^(2ρ) 4 (κ₀ρ)4    6 C⁰⁰(E, D₀, v0)ε₂. (3.7) Nous pouvons donc supposer en choisissant ε₂ assez petit que Vol(A(ρ₁, ρ₂)) >

c(E, D₀, v₀)ρ⁴₂ pour 4ρ₁ < ρ₂ pour c(E, D₀, v₀) > 0. Cherchons donc à obtenir une meilleure borne sur Λ pour être sous les hypothèses du lemme 3.16. Comme

Ric = Λg, on a ε²₂ > Z A(ρ1,ρ2) | Rm |2dv > 6 Z A(ρ1,ρ2) | Ric |2dv > 24Λ²Vol(A(ρ₁, ρ₂)) > 24c(E, D0, v₀)Λ²ρ⁴₂

et nous avons donc |Λ| 6 ε2(24c(E, D₀, v₀))^−1/2ρ⁻²₂ . Ainsi, pour ε₂ assez petit, nous sommes donc sous les hypothèses du lemme 3.16 pour tout ρ en choisissant

ε₂ pour lequel on ait

κ0 = ε₂max((24c(E, D₀, v0))^−1/2, 1, C⁰⁰(E, D₀, v0)),

car nous contrôlons la croissance du volume entre κ₀ρ et 2ρ à l’aide de (3.7). La conclusion de la proposition 3.12 est donc satisfaite pour tout ρ₁ < ρ < ¹₄ρ₂ avec

δ(κ₀) > 0.