Chapitre 1 : Espace de modules des métriques d’Einstein 21
2.2 Concentration de l’énergie à différentes échelles
RD0 0 sinh(s)dsn−1 v0 n+1 n−1 .
Des itérations de Nash-Moser combinées à des formules de la section suivante permettent alors de montrer que les régions avec une petite “énergie”, c’est-à-dire une petite norme L2 de leur courbure, sont bien contrôlées.
Lemme 2.29 ([Gao90, Theorems 4.8, 4.9 et 4.11]). Soit (M, g) une variété
d’Ein-stein de dimension 4 telle que :
— le diamètre est majoré par D0 > 0, — le volume est minoré par v0 > 0,
— la courbure de Ricci est constante et minorée par −3. Alors, il existe ε > 0 tel que pour tout ρ > 0 satisfaisant
Z B(x,2ρ) | Rmg|2 gdvg < ε2, on ait sur B(x, ρ) | Rmg|g 6 1 ρ2.
2.2 Concentration de l’énergie à différentes échelles
Étudions maintenant plus précisément les dégénérescences de métriques d’Ein-stein en dimension 4. Nous verrons qu’à part en un nombre fini de points, la convergence est lisse vers un espace lisse. Nous verrons qu’aux points que l’on qualifiera de singuliers, la courbure peut aussi diverger à des vitesses différentes et qu’il se forme des arbres de singularités.
Proposition 2.30. Soit (M, gi)i une suite de variétés d’Einstein satisfaisant : 1. Vol(gi) = 1,
2. diam(gi) < D0 pour D0 > 0 fixé.
Alors, il existe une sous-suite convergeant vers un espace métrique (X∞, d∞)
avec un nombre fini de points singuliers, (pk)k. C’est-à-dire que (X∞\{pk}, d∞) est
une variété d’Einstein (incomplète) de dimension 4. Au cours de la dégénérescence se forment des arbres de singularités en chaque point singulier. Plus précisément, il existe des suites d’éclatements convergeant au sens de Gromov-Hausdorff vers des espaces non-compacts et lisses hors d’un nombre fini de points singuliers.
Démonstration. Soit (M, gi)i une suite de métriques d’Einstein satisfaisant les hypothèses 1 et 2 de l’énoncé.
Alors, d’après le théorème de compacité de Gromov, théorème 0.1, il existe une sous-suite convergeant au sens de Gromov-Hausdorff vers un espace métrique limite (M∞, d∞). Montrons que c’est un espace lisse à part à un nombre fini de points où des arbres de singularités de forment.
Définissons donc pour commencer l’ensemble des points singuliers :
S := p ∈ M∞, ∀pi → p, ∀r > 0, lim inf i Z Bgi(pi,r) | Rm(gi)|2g idvgi > ε ,
où ε > 0 est la constante du lemme 2.29, et où les pi sont des points où la courbure diverge et convergeant grâce à la convergence de Gromov-Hausdorff vers
p. Ce sont donc les points où l’on ne pourra à aucune échelle obtenir des bornes
sur la courbure et une convergence lisse grâce au lemme 2.29.
Il n’y a qu’un nombre fini de tels points car à chacun d’entre eux est associée une énergie strictement supérieure à ε. Il y en a donc un nombre inférieur à 8π2χ(M )ε par (2.2). Hors de ces points, (M∞, d∞) est une variété d’Einstein de métrique lisse notée g∞ d’après le lemme 2.29, et la norme L2 de sa courbure est uniformément bornée par convergence lisse sur les compacts.
Définissons alors r∞ tel que pour tout p ∈ S, Z
Bp(r∞)\p
| Rm(g∞)|2g∞dvg∞ < ε
2,
Comme la convergence est lisse sur les compacts de M∞\S, il existe pour tout i,
ri tel que
Z
A(ri,r∞)
| Rm(gi)|2g
idvgi = ε.
Nous pouvons alors considérer une sous-suite de la suite (M, ri−2gi, pi)iconvergeant vers un espace métrique non compact. Par le même argument qu’au dessus, la limite est lisse hors d’un nombre fini de points et la norme L2 de sa courbure est bornée. L’espace est de plus non plat par définition de ri.
En conclusion, nous obtenons une limite singulière (M∞, d∞) lisse partout sauf à un nombre fini de points. À chacun de ces points, en éclatant à la bonne échelle, nous trouvons un premier espace non trivial qui peut lui aussi toujours avoir des singularités. On peut alors éclater à ces points singuliers jusqu’à avoir une limite lisse, Ricci-plate et noncompacte. En effet chaque éclatement non lisse a une énergie plus grande que ε > 0.
Remarque 2.31. Le résultat est le même avec des topologies Mi variables tant que leur caractéristique d’Euler est bornée car cela contrôle l’énergie L2. On se ramène en fait à une topologie fixée en considérant une sous-suite.
Remarque 2.32. Ce genre de formation d’arbres de singularités est typique des
problème variationnels en dimension critique, c’est-à-dire lorsque l’énergie étudiée est invariante par changement d’échelle comme c’est le cas ici avec la norme L2 de la courbure.
Remarque 2.33. Il manque plusieurs aspects important d’un bon résultat de
conver-gence en arbre de singularités. Nous n’avons par exemple pour l’instant pas montré qu’il n’y avait pas d’énergie perdue dans les anneaux de basse courbure que l’on a identifiés. Nous n’avons pas non plus déterminé de lien entre la topologie M et celles des différentes limites, ni obtenu de structure pour ces mêmes limites. Pour obtenir ces résultat, les articles [And89] et [BKN89] (et même [Ban90] qui s’appuie sur ces résultats) se focalisent sur la structure de M∞et des limites d’écla-tements, mais nous verrons que tout découle en fait de l’analyse dans les anneaux intermédiaires et nous nous restreindrons donc à cette étude.
3 Contrôle de la courbure des anneaux de
basse énergie
La norme du tenseur de courbure pour une métrique d’Einstein satisfait des équations différentielles particulières qui impliquent en fait que dans toute zone annulaire de basse énergie, la courbure se concentre aux bords de l’anneau.
La démonstration de ce fait est l’objet de cette section qui est largement inspi-rée des techniques mises en œuvre dans [BKN89] puis [Ban90]. La difficulté ajoutée dans notre cas est que l’on s’intéresse à des anneaux finis dont les rapports entre les rayons intérieur et extérieur varient (et divergent lorsque des singularités se forment). Dans [BKN89], l’analyse est faite dans les cas limites où le rayon exté-rieur est infini ou bien dans le cas où le rayon intéexté-rieur est nul.
Proposition 2.34. Soit (M, g) une variété d’Einstein de dimension 4 telle que :
— le diamètre est majoré par D0 > 0, — le volume est minoré par v0 > 0,
— la courbure de Ricci est constante et minorée par −3.
Il existe des constantes ε1 > 0, C > 0, β1 > 0 et β2 > 0 dépendant uniquement de D0 et v0 telles que si l’on a un anneau de basse courbure de rayons ρ1 > 0 et
ρ2 > 0, avec ρ2 > 8ρ1 :
Z
A(ρ1,ρ2)
| Rm |2 < ε21, alors pour tout 2ρ1 6 ρ 6 ρ2
4 , on a : ρ2| Rm | 6 C ρ1 ρ !β1 + ρ ρ2 !β2 Z A(ρ1,ρ2) | Rm |2 !1 2
sur l’anneau A(ρ, 2ρ).
La preuve de cette proposition se trouve dans la section 3.3 de ce chapitre. Ce qui signifie qu’au milieu de l’anneau, il y a un bien meilleur contrôle qu’ini-tialement prévu par les théorèmes d’ε-régularité classiques comme le lemme 2.29 qui donneraient seulement ρ2| Rm | 6 Ck Rm kL2(A(ρ1,ρ2)).
Analytiquement, cela permettra de faire de l’analyse dans des espaces à poids où les opérateurs qui nous intéressent sont Fredholm.
Remarque 2.35. L’énoncé et sa preuve sont très proches de la proposition 3 de
[Ban90]. La différence est la présence du facteur R
A(ρ1,ρ2)| Rm |2
1 2
.