Nous pr´esentons ici le strict n´ecessaire `a la description des repr´esentations des alg`ebres de Lie simples. Une tr`es bonne introduction aux alg`ebres de Lie simples se trouve dans la r´ef´erence [16].
Une alg`ebre de Lie g est un espace vectoriel muni d´une application bilin´eaire antisym´etrique not´ee [, ] qui applique g× g dans g, et qui v´erifie l´identit´e de Jacobi : [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 ∀X, Y, Z ∈ g (A.1) Une seule contrainte suppl´ementaire 1 suffit `a d´efinir les alg`ebres de Lie simples. Les groupes de Lie simples, groupes de sym´etrie continus (not´es g´en´eriquement G) omnipr´esents en physique, sont obtenus par exponentiation de g : les ´el´ements de G 2 sont de la forme :
U = exp(iX) , X ∈ g, (A.2)
ou, de mani`ere ´equivalente, les ´el´ements de g sont les g´en´erateurs du groupe de sym´etrie. Les r`egles de commutation dans g d´efinissent la structure de G.
Il est extraordinaire qu´une d´efinition aussi g´en´erale permette une classification exhaustive des alg`ebres de Lie simples : Cartan a montr´e au d´ebut du si`ecle
der-1Cette contrainte est qu´il n´existe pas de sous id´eal propre dans g. 2Plus pr´ecis´ement, de la composante connexe de l´unit´e dans G
nier qu´elles pouvaient se classer en quatre familles infinies (qui par exponentia-tion donnent les groupes SU(n), sp(n), SO(2n), SO(2n+1)) auxquelles s´ajoutent 5 alg`ebres simples exceptionnelles.
Le rang de g, not´e r, est d´efini comme le nombre maximal d´´el´ements de g lin´eairement ind´ependants et commutant deux `a deux. C´est une caract´eristique im-portante de g, puisqu´il fixe le nombre de g´en´erateurs que l´on pourra diagonaliser dans une mˆeme base : dans un syst`eme physique G-invariant, les ´etats seront index´es par r nombres quantiques, g´en´eralisations de la projection du spin sur un axe choisi (disons l´axe z) dans le cas de SU(2). L´ensemble de ces g´en´erateurs commutant entre eux, qui forme une sous-alg`ebre, est appell´ee l´alg`ebre de Cartan et sera not´ee h. Une base des g´en´erateurs de Cartan sera not´ee (Ha)a=1...r.
Repr´esentation adjointe
Parmi toutes les repr´esentations lin´eaires irr´eductibles de g, la repr´esentation ad-jointe joue un rˆole tr`es particulier : il s´agit de la repr´esentation de g sur elle-mˆeme, si bien que la connaˆıtre, c´est connaˆıtre g. L´op´eration de g sur elle-mˆeme qui d´efinit la repr´esentation adjointe est l´op´eration AdX, d´efinie pour tout de X dans g, par :
AdX : Y → AdX(Y ) = [X, Y ] . (A.3)
Cette op´eration permet de d´efinir un produit scalaire sur g, la forme de Killing, donn´ee par :
K(X, Y ) = 1
2gTr (AdXAdY) (A.4)
o`u g est une normalisation (le nombre de Coxeter dual) qui sera d´efinie plus tard. Comme les g´en´erateurs de Cartan Ha commutent entre eux, on peut choisir une baseB de g dans laquelle les op´erations AdHa sont diagonales. Puisque AdHa(Hb) = 0, on peut choisir l´ensemble des Hb comme les r premiers ´el´ements de B. Les autres ´el´ements sont les op´erateurs d´´echelle, not´es Eα, o`u α est un vecteur de composantes αa (a=1...r) donn´ees par :
AdHa(Eα) = [Ha, Eα] = αaEα. (A.5)
Ces vecteurs r-dimensionnels, qui sont non d´eg´en´er´es, sont appel´es les racines. Comme E†
α = E−α, si α est une racine, −α en est aussi une. En utilisant l´identit´e de Jacobi, on peut montrer que si α 6= −β sont deux racines, ou bien α + β est une racine, et [Eα, Eβ] ∝ Eα+β, ou bien [Eα, Eβ] = 0. L´identit´e de Jacobi permet
aussi de montrer que si α est une racine, alors Eα, E†
α
commute `a tout g´en´erateur de Cartan Ha, ce qui implique que
Eα, E† α
∈ h. La normalisation des op´erateurs d´´echelle est fix´ee par :
[Eα, E−α] = 2
|α|2 αaHa. (A.6)
o`u |α|2 = α· α =Pj(αj)2.
L´ensemble ∆ des racines comporte|∆| = dim(g) − r ´el´ements, et en g´en´eral, |∆| est bien plus grand que r. Mais parmi ces racines, on peut montrer que r d´entre elles, les racines simples (αi)i=1...r forment une base de ∆, les composantes de toute racine dans cet base ´etant des entiers, de mˆeme signe : les racines appartiennent `a un r´eseau qu´on notera Q. Ce r´eseau est Q = α1Z + . . . αrZ. La mani`ere dont se distribuent les racines dans Q est fix´ee par les sym´etries discr`etes de ∆. Notons que comme ∆ est invariant dans l´op´eration α → −α, on peut d´efinir un ensemble de racines positives ∆+, en d´efinissant par exemple : α > 0 si la premi`ere composante αj non nulle de α est strictement positive.
Quelques ´el´ements sur les repr´esentations irr´eductibles de g sont n´ecessaires pour aller plus loin. Etant donn´ees une telle repr´esentation, les g´en´erateurs de Cartan permettent d´´etiqueter chaque ´etat, dans une base (|λi) convenablement choisie, selon :
Ha|λi = λa|λi , (A.7)
Les valeurs propres (λa)a=1...r d´efinissent les composantes du vecteur λ, qui est appel´e un poids 3. La relation (A.5) implique :
Ha(Eα|λi) = (λa+ αa) (Eα|λi) , (A.8) si bien que Eα|λi, s´il n´est pas nul, est proportionnel `a un ´etat |λ + αi : les op´erateurs d´´echelle Eα permettent de se promener `a l´int´erieur de la repr´esentation, `a l´instar des op´erateurs S+ et S− dans SU(2), qui augmentent ou diminuent d´une unit´e la valeur de la projection du spin sz. L´application r´ep´et´ee de (A.8) permet en outre de montrer que pour tout poids λ et toute racine α, la quantit´e 2|α|α·λ2 est un entier. Mieux : le vecteur
sα(λ) = λ− 2α· λ
|α|2 α, (A.9)
est encore un poids de la repr´esentation. L´´equation (A.9) d´efinit la r´eflexion de Weyl par rapport `a l´hyper plan perpendiculaire `a la racine α. Le groupe de Weyl, g´en´er´e par les r´eflexions sα, est le groupe de sym´etrie discr`ete de toute repr´esentation. On
peut en fait montrer que le groupe de Weyl est engendr´e par les r reflexions simples sαi.
De la mˆeme mani`ere que pour SU(2), chaque repr´esentation s poss`ede un ´etat de plus haute projection sz = s (ce qui d´efinit l´“´etiquette” de la repr´esentation), toute repr´esentation de G poss`ede un plus haut poids, non d´eg´en´er´e, que l´on notera λ (les autres poids de la repr´esentation seront `a partir de maintenant appel´es λ0, ou µ . . . ), qui a la propri´et´e suivante :
Eα†|λi = 0 ∀α ∈ ∆+. (A.10)
En appliquant ces r´esultats `a la repr´esentation adjointe, on peut d´efinir, parmi toutes les racines, la plus haute racine, not´ee θ, qui v´erifie (A.10). En cons´equence, on peut montrer que la d´ecomposition Pr
i=1miαi de θ sur les racines simples maximise la somme P
imi. L´ensemble des racines se d´eduit donc de θ en lui soustrayant un nombre fini de racines simples. La plus haute racine permet ´egalement de fixer la normalisation du produit scalaire (A.4) : la normalisation traditionnelle4 est|θ|2 = 2. Une fois d´efinie θ, on obtient toutes les racines (c´est-`a-dire tous les poids de la repr´esentation adjointe) par applications r´ep´et´ees des r´eflexions de Weyl simples sαi. Pour caract´eriser compl`etement la repr´esentation adjointe, il suffit donc de connaˆıtre les angles que font les racines simples entre elles, ce qui est cod´e dans la matrice de Cartan C, `a r2 coefficients entiers :
Cij = 2αi· αj
|αj|2 . (A.11)
Repr´esentation quelconque
Nous pouvons `a pr´esent aborder la construction d´une repr´esentation quelconque, d´efinie par son plus haut poids λ.
Jusqu´`a pr´esent, la base de Cartan (Ha)a=1...r ´etait compl`etement quelconque. Il existe une base tr`es pratique, la base de Chevalley (hi)i=1...r, d´efinie par :
hi = 2 |αi|2 r X a=1 αaiHa. (A.12)
Dans cette base, le poids de tout ´etat a des coefficients entiers. Les coefficients des poids dans cette base particuli`ere sont appel´es les coefficients de Dynkin. Le fait qu´ils 4Une exception : dans le cas de SU(2), o`u la seule racine est un vecteur `a une composante, on choisit en g´en´eral θ = 1.
soient entiers montre que les poids vivent sur un r´eseau, not´e P = ω1Z +. . .+ωrZ, o`u les ωi sont les poids fondamentaux 5. On a bien entendu Q⊂ P , puisque les racines sont des poids particuliers. On peut interpr´eter simplement les composantes de la matrice de Cartan : ce sont les coefficients de Dynkin des racines simples :
αi =X j
Cijωj. (A.13)
Une autre propri´et´e importante de la base de Chevalley est que les plus hauts poids λ ont des coefficients dans cette base qui sont tous positifs ou nuls.
Une fois donn´e le plus haut poids λ = (λ1, . . . , λr), il suffit pour en d´eduire les autres poids de la repr´esentation, d´utiliser la propri´et´e (A.8), c´est-`a-dire, de mani`ere ´equivalente, de lui retirer des racines simples. La mani`ere dont on retire ces racines simples est contrainte fortement par le groupe de Weyl. Nous pr´esentons ici un algorithme simple qui permet de construire tous les poids de la repr´esentation, `a partir du plus haut poids et de la matrice de Cartan :
Pour chaque composante λi strictement positive, on construit les poids µ = λ− αi, λ− 2αi, . . . , λ− λiαi. Tous ces poids µ appartiennent `a la repr´esentation. Puis on r´ep`ete cette op´eration en rempla¸cant λ par les poids µ que l´on vient d´obtenir, et ainsi de suite, jusqu´`a ce que les poids construits n´aient plus de composantes positives.
Etant donn´ee une repr´esentation de G, de plus haut poids λ et dont les poids sont not´es µ, on peut montrer que l´ensemble des poids −µ est encore une repr´esentation, la repr´esentation conjugu´ee `a λ. Lorsque cette derni`ere repr´esentation co¨ıncide avec λ, la repr´esentation est dite conjugu´ee. Un exmple de repr´esentation auto-conjugu´ee est la repr´esentation adjointe.