Les sym´etries du mod`ele de Hubbard SU(4)

Les sym´etries continues

Il est simple de v´erifier que le hamiltonien (I.9) conserve s´epar´ement le nombre total de fermions de chaque esp`ece ˆN_a =P

in_i,a : tout ´etat propre |ψi de (I.9) sera vecteur propre des ˆNa avec :

ˆ

Na|ψi = na|ψi a = 1...4 (I.10)

Le groupe d´invariance de (I.9) est en fait plus grand, puisqu´il est invariant sous toute transformation :

6C´est ce qui se produit dans le mod`ele de Hubbard SU(2) : le secteur de spin reste toujours critique. 7Cependant, des informations non universelles, non contraintes par la sym´etrie, comme la relation entre l´intensit´e des couplages de la th´eorie continue et les param`etres du hamiltonien sur r´eseau, seront inacces-sibles `a fort couplage.

ci,a → eci,a= e^iϕci,a, ϕ∈ R, (I.11)

ci,a → ecia = Rabci,b (I.12)

o`u la matrice R, qui v´erifie R†R = I et det(R) = 1, est une matrice de SU(4). Cette invariance est ´evidente pour le terme cin´etique, et le devient pour le terme d´interaction si on le r´e´ecrit U (P

iani,a)²/2− U^Piani,a (on utilise n2

i,a = ni,a). A cette grande sym´etrie U(1)×SU(4) sont associ´ees un certain nombre de quantit´es conserv´ees :

• la sym´etrie U(1) est responsable de la conservation de la charge totale, mesur´ee en unit´e de la charge de l´´electron :

Qc=X a

ˆ

Na, (I.13)

• la sym´etrie SU(4), de la conservation des 15 g´en´erateurs : Q^A=X

i

Si^A A = 1...15 (I.14)

o`u les op´erateurs locaux

SA

i = c^†_i,aTA

ab ci,b (I.15)

sont les 15 spins de SU(4). Ce sont les g´en´eralisations des op´erateurs de spin de SU(2), leur nombre ´etant donn´e par la dimension de l´alg`ebre de Lie de SU(4) (que l´on notera selon l´usage su(4)). Dans toute la suite, le terme “spin” d´esignera le spin g´en´eralis´e de SU(4), le spin physique ´etant d´esign´e par l´expression “spin SU(2)”. Les 15 matrices hermitiques de trace nulleTAqui entrent dans la d´efinition des op´erateurs de spin sont la g´en´eralisation des 3 matrices de Pauli.

Afin d´avoir une interpr´etation physique simple pour ces op´erateurs de spin, il est judicieux d´utiliser le fait que le groupe SU(2) de spin est un sous groupe de SU(4). Les op´erateurs de spin SU(2) sont d´efinis sur chaque chaˆıne ` = 1, 2 par :

S_i,`^a = ¹ 2^c

†

i,`ασ<sub>αβ</sub><sup>a</sup> ci,`β, (I.16)

(sans somme sur `) si bien que les op´erateurs de spin SU(2) total, qui agissent simul-tan´ement sur les deux chaˆınes, sont :

Ces op´erateurs de spin SU(2) agissent dans l´espace {σ =↑, ↓} sans affecter l´indice de chaˆıne `.

Il existe un autre sous groupe SU(2) de SU(4), commutant au groupe SU(2) de spin, qui agit dans l´espace{` = 1, 2} sans affecter l´indice de spin σ. Les g´en´erateurs de ce sous groupe seront appel´es les op´erateurs d´isospin. Ils sont donn´es explicite-ment par :

T_i^a = ¹ 2^c

†

i,`ασ<sub>``</sub><sup>a</sup>0c<sub>i,`</sub>0α (I.18) Les op´erateurs de spin SU(2) et d´isospin fournissent six g´en´erateurs de SU(4). Les neuf g´en´erateurs manquant m´elangeront simultan´ement les indices de spin SU(2) et de chaˆıne. Pour les 15 matrices hermitiques de trace nulle TA on choisira donc :

Ta s = ¹ 2 ^σ a⊗ I, Ta t = ¹ 2 I ⊗ σa, Tab st = ¹ 2 ^σ a⊗ σb, (I.19)

o`u les (σa)<sub>a=x,y,z</sub> sont les matrices de Pauli, et o`u dans l´expression A⊗ B, A agit dans l´espace de spin σ =↑, ↓ et B dans l´espace d´isospin ` = 1, 2. Ces matrices TA satisfont `a la condition de normalisation Tr (TATB) = δAB. Ainsi, les 15 quantit´es conserv´ees dans le mod`ele de Hubbard SU(4) sont :

• le spin SU(2) total Qa

s = P

iSa

i, somme des op´erateurs de spin locaux sur les chaˆınes ` = 1, 2,

• l´isospin total Qa

t =P

iTa

i , dont la composante z s´interpr`ete comme la diff´e-rence des projections sur z du moment orbital des deux bandes 8,

• une quantit´e qui m´elange spin SU(2) et isospin Qab st.

Les op´erations de sym´etrie (I.11,I.12) peuvent alors ˆetre repr´esent´ees `a l´aide de param`etres r´eels (λA)_A=1...15, par la transformation unitaire :

U = eiαQceiλAQA

. (I.20)

Les op´erateurs de spin locaux SA

i , et la charge localeQci ont les relations de commu-tation suivantes :  Qci,Sj^A  = 0  Si^A,Sj^B  = i δij f_C^AB Si^C (I.21)

8En effet, Ti^z = ¹₂(ni,1↑+ ni,1↓− ni,2↑− ni,2↓) mesure la diff´erence des nombres d´occupation entre les deux chaˆınes. Cependant, les op´erateurs Qa

o`u les constantes de structure fAB

C de SU(4) sont d´etermin´ees par : 

TA,TB

= i fAB

C TC. (I.22)

Ceci implique que les quantit´es conserv´ees ob´eissent `a :  Qc, Q^A = 0,  QA, QB = ifAB C QC. (I.23)

Le nombre d´op´erateurs QAqui commutent entre eux et que l´on pourra diagonaliser simultan´ement est une caract´eristique `a SU(4) et vaut 3 (il s´agit du rang de SU(4)). Pour toute la suite, nous choisirons pour ces g´en´erateurs qui commutent (les g´en´era-teurs de Cartan) ˆNs= Qz

s, ˆNt = Qz

t, ˆNst = Qzz st.

Si l´on introduit l´op´erateur ˆN_c= Q_c/2, `a tout ´etat propre de (I.9) seront associ´es les nombres quantiques 9 (nα)_α=c,s,t,st de U(1)×SU(4), valeurs propres des op´erateurs 

ˆ N_α

α=c,s,t,st. Explicitement, ces nombres quantiques sont reli´es aux nombres de fer-mions (I.10) par la relation :

nα = Aαana, A = ¹ 2       1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1      ^{. (I.24)}

Ces nombres quantiques nα ont ´et´e introduits dans les probl`emes `a deux spin dans le cadre du mod`ele Kondo `a deux impuret´es [35].

Les sym´etries discr`etes

En dehors des sym´etries continues U(1), et SU(4), le mod`ele poss`ede un certain nombre de sym´etries discr`etes, qui seront d´une grande utilit´e puisqu´elles interdiront `a tous les op´erateurs qui ne les respectent pas d´intervenir dans la th´eorie effective.

• Translation d´un site sur le r´eseau Ta0

9On pourrait penser, que dans cette construction de SU(4) `a partir de deux groupes SU(2) (associ´es aux spins ~S1 et ~S2 sur les chaines 1 et 2), les ´etats peuvent ˆetre rep´er´es par les seuls nombres quantiques Sz

1 et Sz

2. Ainsi, on peut reconstruire deux g´en´erateurs de Cartan Sz= Sz 1+ Sz

2 et SzTz= Sz 1− Sz

2. Il est facile de se rendre compte que ces deux op´erateurs ne constituent pas un ensemble complet permettant d´´enum´erer tous les ´etats si l´on s´int´eresse, par exemple, dans l´espace `a deux particules, aux deux ´etats c^†_1↑c^†_1↓|0i et c^†_2↑c^†_2↓|0i : ils ont mˆemes nombres quantiques (S1^z, S2^z) = (0, 0). L´op´erateur T^z les distingue, puisque la projection de leur isospin sur z vaut ±1.

Cette sym´etrie discr`ete transforme ci,a en ci+1,a ∀i, a • Conjugaison de charge C

Ind´ependamment du remplissage, on peut d´efinir l´op´eration de conjugaison de charge sur le r´eseau par :

ci,a→ ec^C i,a = (−1)ic^†_i,a (I.25) La conjugaison de charge ne sera une sym´etrie du mod`ele qu´au demi remplissage (n = 2).

• Parit´e de site Ps

Il s´agit de la sym´etrie de r´eflexion autour d´un site, que l´on choisira comme l´origine du r´eseau. Elle s´´ecrit :

ci,a ^PS

−→ eci,a = c_−i,a (I.26)

• Parit´e de lien PL

On peut ´egalement d´efinir une autre sym´etrie de r´eflexion, autour d´un lien que l´on choisira comme 0− 1. Elle s´´ecrit :

ci,a ^PL

−→ eci,a = c_1−i,a (I.27)

Il s´agit de la composition d´une translation et d´une parit´e de site ; explicitement : PL=Ta0 ◦ PS =PS◦ T−1

a0 .