I.2 Description continue `a faible couplage
II.1.2 Faible couplage
L´hamiltonien continu d´ecrivant la th´eorie lorque U t a ´et´e ´etabli dans le chapitre I. Rapellons son expression en terme du boson de charge Φc et des fermions de Majorana de spin (ξa)a=1...6 :
H = Z L 0 dx (Hc+Hs) , (II.3) Hc = uc 2 1 Kc(∂xΦc) 2 + Kc(∂xΘc)2 , (II.4) Hs = −ivs 2 6 X a=1 (ξr∂xξa ra− ξa l∂xξla) + 2πgs X 1≤a<b≤6 κaκb, (II.5) les couplages ´etant donn´es par :
Kc = 1 + 3U πvf −1/2 , uc= vf 1 + 3U πvf 1/2 , gs=−U 2π , vs= vf+ gs. (II.6) Il est la somme d´un hamiltonien de spin et d´un hamiltonien de charge, qui commutent [24]. Il y a donc une v´eritable s´eparation spin - charge. Cette s´eparation spin - charge est assez famili`ere `a une dimension ; ainsi, par exemple, le mod`ele de Hubbard `a une bande exhibe ´egalement cette propri´et´e, qui signifie qu´un ´electron dans le syst`eme en interaction perd sa nature de particule, puisque les excitations du syst`eme sont des quasiparticules de spin nul portant une charge (appel´es holons), et d´autres, ´electriquement neutres, portant un spin 12 (les spinons) [32, 33]. Notons que cette propri´et´e est ici directement obtenue grˆace au changement de base (I.58), qui s´epare les degr´es de libert´e de spin et de charge. Ce changement de base est tr`es compliqu´e, non local, si on l´explicite dans les fermions, et c´est justement le grand
int´erˆet de la bosonisation que de permettre un tel changement de base. Originelle-ment, la s´eparation spin - charge dans la th´eorie libre a ´et´e ´etablie en utilisant la bosonisation non ab´elienne par Affleck [54], dans le but de d´ecrire des chaˆınes de spin quantiques `a partir de mod`eles de fermions : en effet, on peut voir une chaˆıne de spin (et cette image a mˆeme souvent un sens physique) comme un syst`eme de fermions dans lequel il existe un processus physique responsable du gel des fluctuations de charge, de sorte que les degr´es de libert´e effectifs sont les spins.
Secteur de spin
Le secteur de spin est d´ecrit par le mod`ele conforme de WZNW SU(4)1 perturb´e par une interaction marginale courant-courant :
Hs= πvf 5 15 X A=1 :JA r JA r : + :JA l JA l : + 2πgs 15 X A=1 JA r JA l . (II.7)
La fonction β du groupe de renormalisation pour la constante de couplage gs permet d´obtenir la th´eorie effective `a basse ´energie. A une boucle, elle est donn´ee par :
βgs = 4 gs2. (II.8)
Comme la condition initiale gs(a0) est n´egative d´apr`es (II.6), l´interaction courant-courant est inessentielle, si bien que le secteur de spin est d´ecrit `a basse ´energie par le mod`ele de WZNW SU(4)1, le mˆeme mod`ele qu´`a fort couplage. L´´etude du faible couplage fournit en outre la relation entre les op´erateurs fermioniques de d´epart et les op´erateurs primaires de SU(4)1.
La th´eorie continue n´est strictement valide qu´`a faible couplage. Cependant, des arguments qualitatifs permettent d´´etendre sa validit´e `a toute valeur de U . L´analyse des op´erateurs autoris´es par les sym´etries (section I.2.2) exclut tout op´erateur autre que l´interaction marginale courant-courant, et la condition initiale (II.6) pour gs est n´egative `a toute valeur de U . Il existe bien sˆur des corrections `a (II.6), qui sont d´ordre sup´erieur en U/t. Ces corrections apparaissent lorsque des blocs de spin sont construits pour obtenir la th´eorie continue, ce qui s´apparente `a un processus de renormalisation. Or le groupe de renormalisation pr´edit justement que gs d´ecroit en valeur absolue (cf. Eq. II.8), et cette conclusion ne serait pas affect´ee si l´on consid´erait les ordres sup´erieurs dans le d´eveloppement en boucles. Cet argument heuristique sugg`ere que la th´eorie en spin reste critique `a toute valeur de U , et qu´il existe une continuit´e entre le r´egime de faible et de fort couplage. Cette continuit´e est admise depuis longtemps [54, 52].
Les simulations num´eriques par Monte Carlo quantique confirment ce fait [25], en ne montrant aucune ´evidence d´une ouverture de gap dans le secteur de spin, le gap de spin ∆s(L) s´extrapolant `a z´ero `a la limite thermodynamique. Le seul effet de l´interaction dans le secteur de spin, `a basse ´energie, est une renormalisation finie de la vitesse de spin.
Secteur de charge
Le secteur de charge est d´ecrit par le hamiltonien de Luttinger (II.4) o`u les param`etres de Luttinger Kc, uc sont donn´es par (II.6). Les degr´es de libert´e de charge sont critiques, au moins `a suffisamment faible interaction coulombienne U . L´interaction courant-courant J0
rJ0
l a pour effet de modifier les exposants critiques, non universels, qui sont maintenant des fonctions continues de Kc, donc de U . A faible U , le mod`ele de Hubbard SU(4) est un m´etal, avec des exposants anormaux reminiscents d´un comportement de liquide de Luttinger [6].
Les r´egimes de faible couplage et de fort couplage diff`erent donc essentiellement par la charge, qui est critique lorsque U t et qui est gel´ee lorsque U t. Il doit exister un processus, `a un couplage interm´ediaire, qui g`ele les degr´es de libert´e de charge. Or, le remplissage ´etant commensurable, les op´erateurs de Umklapp (I.95) sont pr´esents. Le processus de Umklapp le plus essentiel est ici
V11 = cos√
16π Φc
. (II.9)
Apr`es la transformation de Bogoliubov (I.84), le hamiltonien du secteur de charge prend la forme : Hc= uc 2 ∂xΦce 2 +∂xΘce 2 + y cosp 16πKcΦce . (II.10) La physique d´ecrite par le hamiltonien de sine Gordon (II.10) est bien connue, et d´epend crucialement de la valeur de Kc, qui fixe la dimension d´´echelle du potentiel de sine Gordon : au point fixe de Luttinger, cette dimension d´´echelle est e∆ = 4Kc. Si l´op´erateur de Umklapp est inessentiel (Kc> 1/2), la th´eorie est critique, d´ecrite par le point fixe y = 0. Lorsque Kc< 1/2, l´op´erateur de Umklapp devient essentiel, la sym´etrie discr`ete eΦc → eΦc+ pp π
4Kc, p ∈ Z, est bris´ee et la th´eorie est massive. Cette th´eorie est int´egrable [55], et son spectre [56, 57] comporte une paire soliton et antisoliton conjugu´es de charge (qui interpolent entre deux vides d´eg´en´er´es du mod`ele), ainsi que des modes respiratoires (“breathers”), ´etats li´es soliton-antisoliton, qui apparaissent lorsque Kc< 1/4.
La relation entre Kc et U (II.6) pr´edit na¨ıvement que V1
1 devient essentiel pour U > πvf ≈ 4.4 t. Cependant, la relation (II.6) n´est strictement valable qu´`a faible couplage, et le probl`eme de savoir si Kc atteint la valeur critique 1/2 est non pertur-batif.
Des simulations du syst`eme par la m´ethode de Monte Carlo quantique permettent de r´epondre affirmativement `a cette question : il existe une valeur critique Uc≈ 2.8 t pour laquelle Kc atteint la valeur 1/2, et o`u le mod`ele subit une transition vers une phase isolante [25]. Cette transition de phase est du type Kosterlitz-Thouless [58], et le gap de charge au voisinage de la transition suit la loi ∆c(U ) ∼ e−A/√U −Uc 1. Une mani`ere commode de se repr´esenter ce qu´il advient du champ de charge est l´image semi-classique : dans la phase de Mott, le champ de charge se g`ele `a l´un des minima du potentiel de sine Gordon (II.9). Ces minimas sont distants de √
π/2 et nous choisirons pour la suite heΦci = 0 = hΦci (les diff´erents choix possibles sont reli´es par la transformation de jaugeG0).
Il est important de noter que l´absence de couplage spin-charge dans la th´eorie continue a pour cons´equence que cette transition dans le secteur de charge n´affecte pas les degr´es de libert´e de spin. En particulier, les ordres en spin seront les mˆemes dans la phase isolante et dans la phase m´etallique.
Les excitations charg´ees les plus basses en ´energie seront les solitons du mod`ele de sine Gordon, portant une charge e mais pas de spin. Un tel ´etat n´est pas in-variant sous les transformations de jauge discr`etes. Pour en faire un ´etat physique (aux nombres quantiques na entiers), il faudra l´habiller d´un spinon du mod`ele de WZNW SU(4)1. Comme ces spinons sont critiques, le gap `a une particule ∆1 mesure bien la masse du soliton de sine Gordon.