Cette partie fait l'objet d'un article co-écrit avec Nicole El Karoui, "Reinsuring climatic risk using optimally designed weather bonds", accepté (après révision) au journal "Geneva Papers - Risk and Insurance Theory". Pour cette raison, son contenu n'a pas été modifié et il existe certainement des redites, dans l'introduction notamment. Il a seulement été traduit en français pour assurer la cohérence globale de ce travail de thèse.
2.1
Introduction
Comme nous l'avons décrit dans le premier chapitre de cette thèse, depuis 1997, les Etats- Unis, et plus récemment le reste du monde, ont vu apparaître une nouvelle classe d'actifs financiers: les "weather derivatives". Ces contrats permettent aux entreprises de gérer le risque climatique, qui perturbe leurs activités et peut entraîner une variabilité de leurs bénéfices et de leurs coûts.
Ces nouveaux instruments, "hautement" illiquides, ont une structure financière qui est relativement standard. Mais ils dépendent de l'évolution de sous-jacents très particuliers, puisqu'il s'agit d'événements climatiques. Ces actifs ne sont ni traités sur les marchés (ou en tous les cas, pas de façon liquide, comme nous l'avons souligné dans le premier cha- pitre), ni même réplicables .... Par conséquent, le point de vue risque-neutre, classiquement adopté en finance, n'est plus valable. Le marché des dérivés climatiques est un marché parfaitement incomplet voire" acomplet": seulles actifs dérivés sont échangés!
Une autre particularité de ces instruments est le problème lié à leur classification: les "weather derivatives" sont des produits financiers par leur structure mais des produits d'assurance par leur logique. Cette difficulté de classification est un élément commun de tout le domaine de l' A.R. T. (" Alternative Risk n·ansfer") i.e. de la titrisation des risques traditionnels de l'assurance: en effet, comme D. Farny l'écrit dans [35], il n'y a pa..,,>de distinction claire et évidente entre l'assurance et la finance lorsque ces nouveaux types de transactions sont considérés. Cette ambiguité est visible tout particulièrement pour
l'obligation climatique: il s'agit d'lIDe obligation classique même si ses coupons dépendent de l'occurrence d'un événement climatique. C'e.<;t,en ce sens, un produit financier. Mais, ses origines -la demande d'lIDe entreprise pour une protection contre un risque climatique, et la diversifieation de ce risque sur de petits porteurs d'obligations - peut nous faire penser à une police d'assurance ou à un contrat d'assistance mutuelle (cf. L. Gallix [40]). Notons que l'objectif de cette partie n'est ni de déterminer une dynamique pour les données météorologiques, ni de proposer un modèle de prédiction. Une étude plus précise des données sera faite dans le chapitre suivant.
Pour toutes ces raisons, ce chapitre se concentre sur l'étude précise d'une obligation cli- matique, i.e. sur la détermination jointe de son niveau de coupon et de son prix. Cette analyse particulière pourra nous aider à mieux définir les caractéristiques et les enjeux de ce nouveau marché. De plus, les questions relatives aux obligations elimatiques sont loin d'être évidentes. En effet, les deux seules tentatives d'émission! ont échouées: l'émission de Enron a été annulée et celle de Koch a été réduite de moitié, faute d'acheteurs. Ces difficultés sont d'autant plus surprenantes que les "cat-bonds", dont la logique est très proche
(à
savoir titrisation d'un risque non-financier) ont un succès relatif, comme nous l'avons souligné dans le premier chapitre.De plus, une analyse jointe, coupon-prix, pour une obligation (même standard) semble orginale: en effet, les obligations étudiées dans la littérature sont souvent des obligations zéro-coupon (comme F. Longstaff et E. Schwartz dans [62] ou E. Briys dans [10] et [11]) ou leur niveau de coupon permet d'avoir une émission au pair. Récemment, K. Sankaran a proposé un modèle pour l'évaluation d'une obligation climatique ([86]). Toutefois, dans cet article, les niveaux de coupons sont choisis a priori et l'auteur se concentre plus sur un modèle pour les données de température sous-jacentes. Le prix de l'obligation est obtenu par la méthode classique de la valeur actuelle nette.
Mais, le rôle des coupons de l'obligation climatique n'est pas si simple: ceux-ci participent pleinement à la structure de la transaction globale et ont de ce fait leur existence propre. Ainsi, la caractérisation de la structure optimale de l'obligation, et non uniquement la simple détermination de son prix, est la question clé de cette étude.
Par conséquent, après avoir spécifié les notations et les hypothèses utilisées dans ce papier, nous proposons une modélisation de la transaction globale, impliquant la définition d'un critère de choix pour les différents agents: l'entreprise, la banque et l'investisseur. La résolution du problème d'optimisation lié à la transaction globale nous eonduit à l'étude de la relation d'assurance entre la firme et la banque et à celle de l'émission de l'obligation. La prise en considération des origines de l'émission de l'obligation nous permet de mieux appréhender les spécificités des coupons. Alors, la structure optimale de l'émission, i.e. la fonction de prix de l'obligation et le montant optimal remboursé si un événement survient, sont finalement obtenus.
2.2
Présentation générale, hypothèses et notations
2.2.1
Description de la transaction
Cette étude est consacrÔe à l'analyse d'une obligation climatique. Le nominal est supposÔ non-risqué alors que l(~paiement des coupons dépend de l'occurrence d'un événement climatique donné. Plus précisément, le montant du coupon versé diminue lorsqu'un évé- nement survient. Dans ce cas, les détenteurs de l'obligation reçoivent moins que si rien n'était arrivé.
Toutefois, considérer une telle obligation sans prendre en considération les origines mêmes de son émission est une attitude myope. En effet, les caractéristiques de cette obligations (coupons, montant remboursé lorsqu'un événement survient, prix) ne peuvent pas être choisis de façon arbitraire. Ils doivent jouer pleinement leur rôle de diversification de risque pour l'émetteur: tout commence lorsqu'une entreprise doit faire face à un risque climatique. Pour se protéger contre les effets néfastes du climat sur ses activités, celle-ci fait appel à une banque. Contre le paiement d'une prime, cette dernière s'engage à verser une indemnité à la firme si des pertes surviennent. Alors, la banque émet une obligation climatique, de façon à diversifier ce nouveau risque sur de petits porteurs. Pour cette raison, l'émission de l'obligation climatique fait partie d'une transaction beaucoup plus globale et toute l'histoire doit être prise en considération pour l'étude et la compréhension de ce produit.
En résumé, cette transaction a la structure suivante:
- Si aucun événement ne survient durant la vie de l'obligation, la structure des flux est la suivante:
ENTREPRlSE
Obligàl0r2 mit80 (couponJ&: nomml)
BJ.NQUE
(S.P.V.) -••---
lNvEsTlSSIllJRS
où B.P. V. signifie "Special Purpose Vehicle". Il s'agit d'une entité légale, indépendante des autres activités de la banque.
- Si, au contraire, un événement climatique survient (une possibilité par an, non- exclusive), deux flux supplémentaires apparaissent:
Indemnités
...•---
ENTREPRlSE BJ.NQUE
Partie des coupons
La transaction étudi(>e ici fait intervcnir trois agcnts: une firme, une banque et un inves- tissem. Une telle structme est relativemcnt dassique lorsqu'il est question de la titrisation d'un risque non-financier. Une relation directe entre l'entreprise et l'investisseur est géné- ralement impensable puisque la firme n'a pas les mêmes qualifications qu'une banque, notamment en matière de transfert de risque.
Par cette étude, nous souhaitons caractériser la structme de l'obligation climatique, en nous concentrant en particulier sm les coupons. En effet, contrairement à des obligations plus classiques, le coupon joue un rôle à part entière ici: sa fonction ne se résume pas à la structmation des qualités d'une émission (émission au pair par exemple) mais à celle de la transaction globale. Il joue un rôle clé dans le programme d'indemnisation de la banque. Fixer son niveau de façon arbitraire peut être une opération périlleuse, puisque cela peut être inadéquate par rapport à l'indemnisation. Le coupon doit être ainsi déterminé de façon à ce que la transaction globale ne soit pas défavorable à la banque.
La présence des trois acteurs (l'entreprise, la banque et l'investisseur) joue un rôle clé dans la caractérisation des différents paramètres de la transaction globale, et tout par- ticulièrement de l'émission de l'obligation, comme cela sera présenté dans les sections suivantes.
2.2.2
Hypothèses et notations
La période de temps considérée ici est de n années, correspondant à la maturité de l'obli- gation. Chaque année est indexée par i, i E
{o;
1; ...;n}
et!3i
,n represente le facteur decapitalisation de l'année i vers l'année n. Tout particulièrement:
!3n,n
=1
Dans la suite, nous utiliserons plus simplement la notation
!3i
(au lieu de!3i,n)
puisque tous les flux sont capitalisés jusqu'à l'année n, la maturité de l'obligation. Les flux ne sont pas réinvestis.Le risque inhérent à la transaction, i.e. l'occurrence d'un événement climatique, est dans cette étude la seule source de risque considérée. Celui-ci est modélisé par une famille de variables aléatoires: éi représente l'événement aléatoire de l'année i (i
1=
0). Un événe-ment survient si léi = 1. Dans la suite, éi désigne indifféremment la variable aléatoire et
sa variable d'occurrence associée. Cette dernière est une variable de Bernoulli, puisqu'elle prend ses valeurs dans {o; 1}. Nou.', ne faisons aucune hypothèse ni sur l'indépendance des variables éi ni sur leur paramètre respectif Pi sous la probabilité prior JP>. Dans la
suite, E désigne l'espérance sous la probabilité JP>. L'objectif n'est pas ici de fournir une étude précise des données climatiques et de leur distribution. Pour cette raison, Pi et la corrélation entre les différentes variables sont supposés être connus et nous ne nous attar- derons pas sur leur détermination. Toutefois, nous supposerons parfois que les variables sont indépendantes et ont le même paramètre P =JP>(éi) sous la probabilité prior JP>. Cette
hypothèse nous permet de dériver des formules explicites. Ceci n'a pas d'impact sur la structure des résultats, mais seulement sur leur formulation.
Trois agents sont considérés ici. Ils sont reliés par la structure financière des flux futms: en effet, chacun d'entre eux ont les engagements financiers suivants:
Une firme, notée agent F, fait faceà un risque climatique. Son risque peut se décomposer en différentes pertes réparties sur plusieurs années. Ce risque de perte est caractérisé par la variable aléatoire 8, qui peut être définie, par exemple, comme:
n n