Résolution du problème de la relation entre la banque et l'investisseur

Comme cela a été décrit dans la section précédente, le programme d'optimisation lié à la relation entre l'agent B et l'agent J est donné par:

~~E [exp

{-'YB

(7r(30 -

J (8) -

A+;8)}]

s.c.

lE

[ex

p {-'YI (A - ; 8 ) }]

<

1

(P)

Ce programme dépend de deux paramètres différents: A =-4>(30

+

s

L~=l

(3i

+N

repré- sente le montant de "càsh" capitalisé reçu par l'investisseur et a le montant remboursé lorsqu'un événement survient.

Comme cela a été décrit précédemment, la structure optimale de l'obligation est déter- minée par l'agent B, qui a connaissance de la fonction de prix déterminée par l'agent J. En d'autres termes, l'agent J détermine la structure de

A,

tandis que l'agent B se concentre sur la variable clé a.

Caractérisation optimale de l'obligation

Ce problème de dimension finie est un cas particulier du problème précédent. En effet, d'après les résultats précédents, nous savons que la solution optimale est proportionnelle. Par conséquent, chercher la valeur optimale de a (solution parmi l'ensemble des fonctions proportionnelles) est équivalent à chercher la solution optimale générale. De plus, ce pro- blème est beaucoup plus simple que le précédent, puisqu'aucune contrainte n'est imposée sur a. Ainsi, la résolution du programme d'optimisation

(P)

est immédaite et conduit à la proposition suivante:

Proposition 2.2 La fonction de prix , 4>*,de l'obligation climatique est donnée par la formule suivante:

(2.15)

Le montant optimal remboursé en ms d'événement est donné par·:

La contrainte permet de caractériser l'unique prix de l'obligation: l'agent J impose une certaine relation entre les variables s, cI>et a (ou, avec les notations simplifiées entre A et

a).

L'unicité du prix vient du fait que, pour tout a, il est possible de trouver un unique

A,

qui sature la contrainte de l'agent J. L'agent B prend cette relation en considératioll et détermine la structure optimale de l'obligation. En d'autres termes, l'agent J détermine la structure de A, tandis que l'agent B se concentre sur la variable a, qui conditiollne la partie risquée de l'obligation. Pour ces raisoI1."l,nous pouvons interpréter l'émission de l'obligation comme la signature d'un contrat "minimal", i.e. les caractéristiques de l'obligation obtenue sont "minimales" au sens où elles représentent à la fois un seuil d'intérêt pour l'investisseur et un seuil de couverture pour la banque.

Commentaires sur la règle d'évaluation La partie droite de l'équation représente le montant que l'agent J est prêt à payer pour l'obligation de caractéristiques

(s*, a*).

Notons que la fonction de prix est non-linéaire. Nous sommes loin de la logique classique d'évaluation utilisant espérance et linéarité. Même si, dans le cadre particulier des uti- lités exponentielles, les richesses initiales n'impactent pas les résultats, il existe ici une dépendance non-constante du prix envers les flux risqués de l'obligation, liée à cette non- linéarité

De ce fait, saturer la contrainte de l'investisseur n'est pas trivial. Cela a un impact sur la structuration de l'obligation, par l'introduction de cet aspect non-linéaire dans la fonction de prix.

De plus, cI>* est un prix très intéressant d'un point de vue marketing, comme il est, de façon évidente, inférieur au prix historique3, noté P. Ainsi, l'investisseur doit payer moins

que l'espérance historique des flux de l'obligation actualisés. En effet, lorsque l'on compare

cI>* et P, la relation cI>*

<

P est obtenue, puisque la fonction exponentielle est convexe:

E[exP(~I~e)]

>

eXPE(~I~e)

n *

cI>*

f30

<

S*Lf3i+N-~E(e)

i=l n

cI>*

f30

<

L(s* -

a*

P (éi)) f3i+N

=

Pf30

i=l

Commentaires sur la structure de l'obligation Le montant optimal, a*, qui est remboursé lorsqu'un événement survient, ne dépend pas d'une structure donnéee a priori. En effet, a* est optimal parmi toutes les fonctions possibles, et non pas uniquement parmi les fonctions proportionnelles. D'autre part, notons que le niveau de coupon s* de l'obligation apparaît clairement comme un outil marketing en vue de séduire l'investisseur. En effet, la fonction de prix cI>* de l'obligation dépend linéairement du niveau de coupon.

3Par prix historique, nous entendons simplement l'espérance, sous la probabilité historique lP', de la

L'écart entre a*, le montant remboursé en cas d'événement, et s* est simplement transféré sur le prix de l'obligation. Il n'existe pas de détermination unique du niveau optimal de coupon s*. Le problème de la translation entre <1>* et s* conduit à une situation oÙ une infinité de solutions est possible. L'optimllin est défini par le triplet (<1>*, S, Œ*) oÙseulement

<1>* et a* sont choisis optimalcmcnt. Alors, la valeur" optimale" de s est déterminée par l'investisseur selon la structure de son portefeuille, et la diversification potentielle de l'obligation climatique peut être prise en compte à ce niveau là pour l'agent

J.

Finalement, le fait de considérer la variable globale A est parfaitement équivalent à considérer les variables s et <1>.

Cette proposition souligne un résultat important pour la structuration de l'obligation: non seulement l'évaluation du produit mais également ses caractéristiques et enjeux sont déterminés ici. Dans ce cadre, a* joue un rôle considérable en étant la clef de voute de la structure de l'obligation.

Remarque: En remplaçant a* par sa valeur, la fonction de prix, <1>*, de l'obligation climatique peut s'écrire comme:

n 1

<1>*/30 =s*

L

/3i

+

N - -luE [exp

(rS)]

i=l II

où:

r

= IBIFII

(rB +,F) (rB +,1)

est fonction des coefficients d'aversion pour le risque de tous les agents.

Dans le cas particulier oÙ les agents ne sont pas très averses au risque

(r

suffisamment petit), nous pouvons obtenir par un développement limité àl'ordre 2 au voisinage de 0:

<1>*/30 rv

Cette relation peut être vue comme la somme de l'espérance historique des flux de l'obli- gation actualisés et un terme de "prime" qui est d'autant plus négatif que l'agent J est averse au risque. Nous retrouvons la propriété remarquable: <1>*

<

P.

Différentes interprétations de la structure de l'obligation Le degré de liberté dans le choix de s* permet différentes interprétations de la structure de l'obligation, pou- vant être utilisées comme autant de stratégies marketing pour séduire l'investisseur.

- Tout d'abord, si s* est choisi supérieur (ou égal) à a*- ce qui est sans doute la situation la plus naturelle -, le produit a une véritable structure d'obligation: tous les cash flows nets relatifs à l'obligation sont positifs (ou nuls) pour l'agent

J

(excepté le prix, bien-sûr). Ceci est le point de vue que nous adopterons lors des simulations dans la dernière section de ce chapitre.

- Ensuite, si s* est choisi de façon à rendre l'émission de l'obligation au pair, i.e.

cI>*

= N, la structure de l'obligation est extrêmement classique et s* est donné par:

n 1

.<;*

L

(Ji =N ((Jo - 1)

+

-lnlE [exp

(re)]

i~c 1 'Y [

Dans le cas particulier où les agents ne sont pas très averses au risque (r suffisam- ment petit), nous obtenons par un développement limité à l'ordre 2, au voisinage de 0:

où Q* est donné par l'équation (2.16).

- Finalement, si

cI>*!3

_{o =} N, l'obligation se réduit à un échange annuel de flux,

conditionnellement à l'occurrence d'un événement. Ceci est similaire à une structure de swap et s* est donné par:

n 1

S*L!3i

=-lnE[exp(re)]

i=1 'Y [

Dans le cas particulier où les agents ne sont pas très averses au risque (r suffisam- ment petit), nous obtenons par un développement limité à l'ordre 2, au voisinage de 0:

où Q* est donné par l'éqaution (2.16).

Notons que l'interprétation en termes de swap est également valable pour tout prix

cI>* .

En effet, comme:

le premier terme peut être vu comme une soulte tandis que le second représente les flux échangés. La soulte permet de fixer la valeur initiale du swap à O.

Evaluation du risque des deux agents: une approche entropique

La règle d'évaluation de l'obligation (2.15) a une composante non-linéaire par rapport au risque e:

Ce terme peut être vu comme l'énergie libre4 _{de la variable aléatoire ~ 8, ou, en termes}

d'entropie, comme:

-~ ln

lE

[exp

(ÎI

Œ~

8)]

=

snp

{-lEiQ

(n/*(03)

+

,,1

Il

(Q/JP)}

Î1 ll.l <2«;;0 l'vI YI

De ce fait, il est relativement naturel d'introduire la mesure de probabilité, spécifique à l'agent

I,

notée

QI,

et définie comme:

Dans le document Produits dérivés météorologiques et environnement. (Page 75-79)