L’expression analytique (2.43) des ´el´ements de la matrice Q dans le cas plane permet d’´etudier sa structure rigoureusement. On constate tout d’abord que Q est une matrice `a diagonale dominante. Lorsque l’on s’´eloigne de la diagonale, les ´el´ements d´ecroissent progressivement, ce qui est en bon accord avec le comportement asymptotique (2.48). En particulier, cette structure de matrice implique la positivit´e des valeurs propres de l’op´erateur d’auto-transport brownien.
2.4 Structure hi´erarchique de l’op´erateur 67
Fig. 2.12 – Trois g´en´erations de la courbe de Von Koch quadrangulaire de dimension Df = ln 5/ ln 3 (voir le chapitre 5 pour la description de leur construction).
Il est int´eressant maintenant de voir comment la structure de la matrice Q est modifi´ee par une irr´egularit´e. Pour cette ´etude, nous consid´erons les trois g´en´erations de la courbe de Von Koch quadrangulaire (Fig. 2.12). Pour ces trois cas, nous calculons la matrice Q `a l’aide de la m´ethode des ´el´ements fronti`eres pr´esent´ee ci-dessus. Les matrices sont ensuite visualis´ees dans une repr´esentation cartographique en couleurs en utilisant une ´echelle logarithmique.
Consid`erons la premi`ere image de la figure 2.13. Il faut se souvenir que la matrice Q a ´et´e construite pour une fronti`ere avec des condition p´eriodiques. Par cons´equent, l’axe horizontal et l’axe vertical pr´esentent ´egalement la mˆeme p´eriodicit´e : la matrice peut ˆetre assimil´ee `a un tore. Pour des raisons de simplicit´e, nous garderons n´eanmoins l’image bidimensionnelle tout en restant attentif lors de l’analyse de certains points. Ainsi, le coin situ´e en haut `a droite semble ˆetre tr`es ´eloign´e de la diagonale, alors qu’il est en fait tout proche en raison de la p´eriodicit´e.
On voit que la matrice Q est divis´ee en 25 blocs qui reproduisent la subdivision hi´erarchique de la premi`ere g´en´eration. Num´eroter les cˆot´es de la fronti`ere de 1 `a 5 permet ainsi d’introduire une num´erotation des blocs `a deux indices, chacun des deux indices correspondant au d´epart et `a l’arriv´ee. Les 5 blocs diagonaux 1-1, ..., 5-5, `a peu pr`es identiques, correspondent aux probabilit´es de retour d’un cˆot´e vers lui-mˆeme. La pr´edominance de ces probabilit´es refl`etent le fait que la plupart des marcheurs al´eatoires sont absorb´es au voisinage du point de d´epart. La surintensit´e dans les blocs 2-3, 3-2, 3-4 et 4-3 traduit la facilit´e du transfert diffusif entre ces cˆot´es, tandis que les croix bleu fonc´e repr´esentent les points fronti`eres au voisinage des coins qui sont peu accessibles.
L’image suivante (Fig. 2.14) doit ˆetre d´ecompos´ee en 625 blocs, selon la num´erotation des cˆot´es de 1 `a 25. Cependant, on voit un regroupement hi´erarchique de ces blocs ((´el´ementaires)) en 25 blocs plus gros correspondant `a la premi`ere g´en´eration. Cette hi´erar- chie est li´ee `a la structure g´eom´etrique de la courbe de Von Koch : la deuxi`eme g´en´eration est constitu´ee de 5 copies de la premi`ere g´en´eration. Notons que les 5 gros blocs diagonaux font apparaˆıtre une structure similaire `a celle de la premi`ere g´en´eration. Cela refl`ete le fait que la plupart des marcheurs al´eatoires ne quittent pas l’endroit d’o`u ils sont partis. On peut aussi dire que ces marcheurs ne ((voient)) presque pas la pr´esence d’autres endroits de la deuxi`eme g´en´eration. En revanche, les autres 20 blocs non diagonaux rendent compte de la petite proportion de marcheurs qui visitent des endroits ´eloign´es.
Pour la troisi`eme g´en´eration (Fig. 2.15), la structure de la matrice Q devient encore plus complexe. On voit clairement les 5 gros blocs diagonaux dont la structure ressemble `a celle de la matrice pr´ec´edente. Une comparaison d´etaill´ee est pr´esent´ee sur la figure 2.16. La qualit´e de cette similitude implique qu’il existe une structure hi´erarchique dans la ma- trice Q, au moins pour des blocs diagonaux. L’existence de petits blocs en jaune et orange situ´es assez loin de la diagonale traduit la facilit´e du transfert entre certains endroits de la courbe de Von Koch. On voit apparaˆıtre ´egalement une certaine hi´erarchie dans les blocs
non diagonaux dont l’origine est toujours li´ee `a la structure g´eom´etrique de cette courbe. L’´etude de la structure de l’op´erateur d’auto-transport brownien pour des courbes autosimilaires permet d’expliquer certaines propri´et´es spectrales de cet op´erateur. Pour une fronti`ere autosimilaire, la structure de la matrice Q est domin´ee par les ´el´ements diagonaux4. Par cons´equent, ses valeurs propres sont essentiellement d´etermin´ees par des blocs diagonaux. En tenant compte la structure hi´erarchique de ces blocs, on peut calculer les valeurs propres de la matrice Q(g+1) correspondant `a la g´en´eration g + 1 en utilisant l’approximation suivante : Q(g+1)' Q(g) 0 0 0 0 0 Q(g) 0 0 0 0 0 Q(g) 0 0 0 0 0 Q(g) 0 0 0 0 0 Q(g) (2.62)
o`u la matrice Q(g) correspond `a la g´en´eration g dilat´ee d’un facteur 5. Si cette approxima- tion ´etait strictement exacte, les valeurs propres de la matrice Q(g+1) co¨ıncideraient avec celles de la matrice Q(g) et seraient 5 fois d´eg´en´er´ees. En r´ealit´e, la pr´esence des blocs non diagonaux d´etruit la d´eg´en´erescence. En revanche, on conserve un certain regroupe- ment des valeurs propres, que l’on ´etudiera au chapitre 4 (effet de localisation du spectre). L’approximation (2.62) sera ´egalement utilis´ee afin de justifier notre mod`ele analytique de l’imp´edance. On peut donc en conclure que, globalement, les valeurs propres de l’op´erateur d’auto-transport brownien pr´esentent une faible d´ependance vis-`a-vis de la g´eom´etrie de la fronti`ere. Par cons´equent, la densit´e d’´etats int´egr´ee N (q) ne d´epend presque pas de cette g´eom´etrie. On peut donc utiliser l’expression analytique de la densit´eNd(q) trouv´ee dans le cas plane comme une approximation de N (q). La figure 2.17 montre les densit´es d’´etats int´egr´ees pour diff´erentes g´en´erations de la courbe de Von Koch. On observe que ces densit´es reproduisent la fonctionN2(q) avec de petites perturbations5.
Au contraire, les vecteurs propres de l’op´erateur d’auto-transport brownien ne peuvent pas ˆetre d´etermin´es par l’approximation (2.62) car ils d´ependent de la structure enti`ere de la matrice. Par cons´equent, la structure particuli`ere de l’op´erateur Q se refl`ete dans ses vecteurs propres.
Notons qu’une analyse similaire pour le cas tridimensionnel est complexe. En effet, si l’on num´erote les points fronti`eres par un seul indice, on d´etruit l’ordre bidimensionnel des points. Par cons´equent, on ne verra apparaˆıtre aucune structure claire dans la matrice Q. En revanche, si l’on utilisait un multi-indice (avec deux composantes dans le cas d = 3), l’op´erateur Q poss´ederait 4 indices et sa visualisation n´ecessiterait un espace quadridi- mensionnel. Quelle que soit la m´ethode, on voit donc qu’il est tr`es difficile d’obtenir une image compr´ehensible et parlante de cette matrice.
4Notons que cette propri´et´e n’est pas toujours satisfaite. Par exemple, si l’on consid`ere un pore tr`es
´etroit, on obtient une matrice Q dont la structure est domin´ee par la diagonale et par l’anti-diagonale.
5La pr´esence d’une quantit´e de valeurs propres nulles est li´ee aux angles saillants de la courbe
(Fig. 2.3b). Comme deux points fronti`eres au voisinage de cet angle sont connect´es au mˆeme nœud du r´eseau, la distribution de probabilit´e de premier contact en partant de chacun de ces points est la mˆeme. Par cons´equent, la matrice Q poss`ede deux lignes (ou deux colonnes) identiques ce qui implique l’apparition d’une valeur propre nulle. Le nombre de telles valeurs propres (leur d´eg´en´erescence) est d´etermin´e par le nombre d’angles saillants. En g´en´eral, la pr´esence de ces angles est un ((d´efaut)) associ´e `a une discr´etisation particuli`ere.
2.4 Structure hi´erarchique de l’op´erateur 69
Fig. 2.13 – Structure de la matrice Q pour la premi`ere g´en´eration de la courbe de Von Koch de dimension fractale Df = ln 5/ ln 3. Les couleurs correspondent aux valeurs des ´el´ements de la matrice Q (l´egende reproduite sous la figure).
Fig. 2.14 – Structure de la matrice Q pour la deuxi`eme g´en´eration de la courbe de Von Koch de dimension fractale Df = ln 5/ ln 3. Les couleurs correspondent aux valeurs des ´el´ements de la matrice Q (l´egende reproduite sous la figure).
2.4 Structure hi´erarchique de l’op´erateur 71
Fig. 2.15 – Structure de la matrice Q pour la troisi`eme g´en´eration de la courbe de Von Koch de dimension fractale Df = ln 5/ ln 3. Les couleurs correspondent aux valeurs des ´el´ements de la matrice Q (l´egende reproduite sous la figure).
Fig.2.16 – Comparaison entre les structures de la matrice Q pour la deuxi`eme g´en´eration (en haut) et un bloc diagonal correspondant `a un cinqui`eme de la matrice Q pour la troisi`eme g´en´eration (en bas). Les couleurs correspondent aux valeurs des ´el´ements de la matrice Q (l´egende reproduite sous la figure).
2.5 Conclusion 73 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 N 2(q) deuxième troisième
q
N(q)
Fig.2.17 – Densit´es d’´etats int´egr´eesN (q) pour la deuxi`eme et la troisi`eme g´en´erations de la courbe de Von Koch quadrangulaire de dimension fractale Df = ln 5/ ln 3. La fonction N2(q) est leur approximation.
2.5
Conclusion
L’op´erateur d’auto-transport brownien, d´efini par les probabilit´es d’aller d’un site fronti`ere `a l’autre par des marches al´eatoires, est reli´e `a la distribution de probabilit´es de premier contact. Par cons´equent, la construction de cet op´erateur pour une fronti`ere donn´ee peut ˆetre ramen´ee `a la r´esolution de l’´equation de Laplace discr`ete avec une condi- tion aux limites de Dirichlet. En mˆeme temps, sa d´efinition correcte r´eclame que chaque point fronti`ere n’ait qu’un seul proche voisin appartenant au r´eseau. Cette condition peut ˆetre satisfaite si l’on effectue la discr´etisation de la fronti`ere d’origine en trois ´etapes :
– discr´etisation de la fronti`ere par des segments horizontaux et verticaux de longueur ` (dans le cas tridimensionnel, la surface est discr´etis´ee par des faces carr´ees) ; – d´ecalage d’un demi-pas de r´eseau de cette fronti`ere ;
– introduction du r´eseau.
La r´esolution de l’´equation de Laplace discr`ete s’obtient ensuite par la m´ethode des ´el´ements fronti`eres dont l’id´ee est de repr´esenter la solution sous forme d’une convolu- tion d’un potentiel appropri´e avec une fonction inconnue (repr´esent´ee par des coefficients inconnus dans le cas discret) et de r´eduire le probl`eme aux limites `a une ´equation int´egrale pour cette fonction (`a un syst`eme d’´equations lin´eaires pour des coefficients inconnus). On se limite aux domaines d’une certaine classe pour laquelle le potentiel peut ˆetre trouv´e de fa¸con explicite. Dans notre cas, il s’agit des domaines dont la fronti`ere est `a support compact. En utilisant leur potentiel, on trouve l’´equation matricielle dont la solution est la matrice Q de l’op´erateur d’auto-transport brownien. L’introduction des conditions p´eriodiques permet d’appliquer la m´ethode des ´el´ements fronti`eres afin de construire cet op´erateur pour des fronti`eres dont le nombre de points fronti`eres est fini. La pr´esence d’une source plane `a distance finie s’introduit par une modification l´eg`ere du potentiel.
L’application de cette m´ethode g´en´erale `a une surface plane permet de construire l’op´erateur d’auto-transport brownien de mani`ere explicite. En particulier, on obtient les valeurs propres et les vecteurs propres de cet op´erateur quelle que soit la dimension de r´eseau d. Les densit´es d’´etats int´egr´ee et diff´erentielle, Nd(q) et Dd(q), sont calcul´ees
analytiquement pour les cas d = 2 et d = 3 (l’expression g´en´erale est donn´ee pour le cas d-dimensionnel). On trouve ainsi que les densit´es diff´erentielles ne poss`edent aucune singularit´e au point q = 1. En revanche, elles sont divergentes au voisinage du point qmin = 3 −
√
8. On remarque que, dans le cas tridimensionnel, il y a peu de valeurs propres autour de q = 1 car la densit´e diff´erentielle s’annule en ce point. De plus, il existe un ((gap)) entre 0 et la premi`ere valeur propre non nulle.
La structure hi´erarchique de la matrice Q pour des fronti`eres pr´efractales autosimilaires a ´et´e ´egalement pr´esent´ee. On peut en d´eduire que ses valeurs propres sont essentiellement d´etermin´ees par les blocs diagonaux de la matrice, ce qui implique qu’elles d´ependent fai- blement de la g´eom´etrie particuli`ere. Par cons´equent, la densit´e d’´etats int´egr´eeN (q) de l’op´erateur d’auto-transport brownien pour une fronti`ere irr´eguli`ere reproduit approxima- tivement la densit´e Nd(q) calcul´ee analytiquement auparavant. En revanche, les vecteurs propres sont d´etermin´es, quant `a eux, par la structure enti`ere de la matrice.
Chapitre 3
La limite continue
L’approche diffusive au moyen de l’op´erateur d’auto-transport brownien permet de comprendre l’influence exerc´ee par la g´eom´etrie discr`ete de l’interface sur les propri´et´es du transport laplacien. De plus, elle fournit un outil de calcul efficace grˆace `a la m´ethode des ´el´ements fronti`eres. L’op´erateur d’auto-transport brownien construit par cette m´ethode ne d´epend que de la g´eom´etrie discr`ete. Si l’on change la discr´etisation de la surface continue d’origine, les ´el´ements de la matrice Q sont modifi´es. Intuitivement, on peut penser qu’une discr´etisation de plus en plus fine doit conduire `a une description de plus en plus exacte du transport laplacien. Autrement dit, le formalisme discret doit tendre vers une description exacte si l’on passe `a la limite continue lorsque le param`etre de r´eseau a tend vers 0. Or, a priori, l’existence d’une telle limite n’est pas ´evidente. Consid´erons un ´el´ement Qj,k de la matrice de l’op´erateur d’auto-transport brownien avec j 6= k. Les indices j et k correspondent `a deux points distincts xj et xk de la fronti`ere. Si l’on r´eduit le param`etre de r´eseau a, la discr´etisation devient de plus en plus fine, et donc un nombre grandissant de points fronti`eres s´eparent xj et xk (la distance euclidienne entre ces deux points demeurant toujours constante). Par cons´equent, une trajectoire al´eatoire entre ces points devient de moins en moins probable. On aboutit donc au r´esultat ((paradoxal)) suivant : pour n’importe quels points fronti`eres distincts dont les positions sont fix´ees, la probabilit´e d’aller de l’un `a l’autre tend vers 0 lorsque a tend vers 0. En d’autres termes, l’op´erateur d’auto-transport brownien tend vers l’identit´e ! Ce r´esultat sugg`ere la n´ecessit´e d’´etudier plus en d´etails la limite continue. Cette ´etude sera pr´esent´ee `a ce chapitre.
Nous examinerons d’abord le passage direct `a la limite continue pour une fronti`ere plane bidimensionnelle. Cette ´etude permettra de v´erifier l’existence de cette limite. Ensuite, une approche alternative sera propos´ee pour une surface lisse arbitraire. Plus pr´ecis´ement, nous allons consid´erer un probl`eme continu pour lequel les marches al´eatoires avec r´eflexions peuvent ˆetre remplac´ees par un mouvement brownien avec sauts. Le pas- sage `a la limite continue pour ce processus stochastique conduit `a un mouvement brownien partiellement r´efl´echi. Les marches al´eatoires repr´esentant fr´equemment un processus sto- chastique continu, on peut en d´eduire que le mouvement brownien partiellement r´efl´echi est la limite continue des marches al´eatoires avec r´eflexions. Ce r´esultat justifie l’existence de la limite continue dans le cas d’une fronti`ere lisse (par exemple, deux fois diff´erentiable). L’´etude de ce processus stochastique pour une surface plane sera pr´esent´ee. De plus, l’approche par le mouvement brownien avec sauts permet d’identifier un op´erateur qui s’obtient `a la limite continue `a partir de l’op´erateur d’auto-transport brownien norma- lis´e proprement. Les propri´et´es de cet op´erateur, appel´e op´erateur de Dirichlet-Neumann,
seront pr´esent´ees au chapitre 4.
3.1
Passage direct `a la limite continue
Tout d’abord, nous devons pr´eciser quelle limite est appel´ee limite continue. La descrip- tion discr`ete introduit quatre param`etres principaux : le param`etre du r´eseau a, le temps de saut τ , la probabilit´e d’absorption σ et le nombre de points fronti`eres N . Ces quatre pa- ram`etres sont li´es aux caract´eristiques macroscopiques du transport laplacien, notamment, le coefficient de diffusion D, la longueur Λ (ou la perm´eabilit´e W ), l’aire de la surface de travail Stot (voir chapitre 2). Comme l’on cherche `a d´ecrire le probl`eme continu, les valeurs de ces caract´eristiques doivent ˆetre fix´ees. Autrement dit, on consid`ere la limite continue lorsque le param`etre de r´eseau a tend vers 0, sous la condition que les caract´eristiques macroscopiques demeurent constantes. Cette condition implique imm´ediatement que :
τ = a 2 2dD → 0 , σ = µ 1 + Λ a ¶−1 → 0 , N = Stot ad−1 → ∞
Consid´erons encore une fois la difficult´e de la limite continue. Les ´el´ements de la matrice Q repr´esentant l’op´erateur d’auto-transport brownien sont les probabilit´es d’aller d’un site de la fronti`ere `a un site de la mˆeme fronti`ere par une marche al´eatoire. Pour une surface lisse, consid´erons un voisinage quelconque d’un point de d´epart. Lorsque a tend vers 0, ce voisinage contient de plus en plus de points fronti`eres. Comme la plupart des marcheurs al´eatoires reviennent au voisinage du point de d´epart, la probabilit´e de retour `a ce voisinage tend vers 1 lorsque a→ 0. En d’autres termes, `a la limite a → 0, le marcheur al´eatoire ne peut pas quitter le voisinage infinit´esimal du point de d´epart sur la fronti`ere.
Souvenons nous maintenant que l’op´erateur d’auto-transport brownien a ´et´e introduit pour que l’on puisse d´ecrire des r´eflexions successives sur la fronti`ere. Comme la probabilit´e d’absorption σ tend vers 0 lorsque a→ 0, le marcheur al´eatoire doit ˆetre r´efl´echi de plus en plus fr´equemment (la probabilit´e de r´eflexion ε = 1− σ tend vers 1) ce qui lui permet de se d´eplacer de plus en plus loin le long de la fronti`ere. Autrement dit, une trajectoire al´eatoire entre deux r´eflexions devient courte, mais le nombre de ces trajectoires croˆıt. Par cons´equent, bien que l’op´erateur Q devienne localis´e autour de la diagonale, on peut esp´erer que l’op´erateur d’´etalement Tε lui-mˆeme poss`ede une limite non triviale lorsque a tend vers 0.
Pour une surface plane, on peut utiliser la repr´esentation explicite des ´el´ements de la matrice Tε (voir sous-section 2.3.5) :
(Tε)j,k = (1− ε) π Z 0 dθ π cos[(j − k)θ] 1− εϕ2(θ)
o`u la fonction ϕ2(θ) est donn´ee par (2.24). Nous utilisons la forme int´egrale pour plus de simplicit´e. Le nombre de sites fronti`eres tendant vers l’infini `a la limite continue, cette repr´esentation devient de plus en plus exacte. Nous rappelons qu’un ´el´ement (Tε)j,k de l’op´erateur d’´etalement est la probabilit´e que la marche al´eatoire partant du site j et subissant des r´eflexions sur la fronti`ere avec la probabilit´e ε soit finalement absorb´ee au