site k. Pour une surface continue, on ne cherche pas la probabilit´e d’ˆetre absorb´e par un point (un ´ev´enement ponctuel est de probabilit´e nulle), mais plutˆot la valeur de cette probabilit´e dans un intervalle infinit´esimal ds. En d’autres termes, on cherche la densit´e de probabilit´e TΛ(s0,s) que le marcheur al´eatoire partant du point s0 soit finalement absorb´e dans l’intervalle (s,s+ds). Nous avons introduit ici deux coordonn´ees continues s0 = ja et s = ka. Sous l’hypoth`ese que la longueur ds de l’intervalle est fix´ee, et consid´erablement sup´erieure `a a (car a tend vers 0), on calcule la probabilit´e d’ˆetre absorb´e sur l’intervalle (s,s + ds) en sommant les valeurs de (Tε)j,k par rapport `a l’indice k entre s/a et s/a + ds/a (voir l’annexe C.7 pour les d´etails). En effectuant la limite a → 0, nous obtenons l’op´erateur TΛ d´efini par le noyau TΛ(s0,s) = tΛ(s0− s) :
tΛ(s) = 1 Λ ∞ Z 0 dk π cos(ks/Λ) 1 + k (3.1)
Nous allons ´etudier cette densit´e dans la section 3.4.
La comparaison de l’op´erateur d’´etalement discret Tε avec la densit´e tΛ(s) du cas continu permet de trouver la relation suivante :
(Tε)i,i+n ≈ atΛ(na) avec Λ = aε
1− ε (3.2)
On peut donc utiliser l’un pour approcher l’autre. Cette relation est obtenue analytique- ment pour Λ À a. Les simulations num´eriques montrent que cette relation reste valable avec une bonne pr´ecision mˆeme pour Λ de l’ordre de a.
Notons que l’on peut ´etendre ce calcul direct pour une surface plane dans le cas multidimensionnel (voir annexe C.7). Au contraire, le traitement d’une surface complexe n’est pas r´ealisable par cette m´ethode. Dans la section suivante, nous allons pr´esenter une approche plus g´en´erale du mouvement brownien partiellement r´efl´echi.
3.2
Mouvement brownien avec sauts
Dans cette section, nous allons introduire l’analogue continu des marches al´eatoires avec r´eflexions. Cette approche peut ˆetre appel´ee semi-continue car les marches al´eatoires sont d´ej`a remplac´ees par le mouvement brownien, mais leurs r´eflexions sont prises en compte de mani`ere discr`ete. Nous allons utiliser cette approche interm´ediaire pour passer `a une description purement continue au moyen du mouvement brownien partiellement r´efl´echi.
3.2.1
Mouvement brownien
Un processus stochastique Wt (t ≥ 0), d´efini sur l’espace de probabilit´e1 (Ω ,F,P), s’appelle processus de Wiener ou mouvement brownien issu de l’origine si [41] :
1L’espace de probabilit´e se d´efinit par trois ingr´edients : l’espace des ´ev´enements ´el´ementaires (simples)
Ω , la σ-alg`ebre des ´ev´enementsF et la mesure probabiliste P. Par d´efinition, une σ-alg`ebre (une tribu) F sur Ω, est une classe de parties de l’espace Ω, contenant l’ensemble vide ∅, qui est stable par compl´ementation et par r´eunions et intersections d´enombrables.
– ses trajectoires sont continues presque sˆurement (avec la probabilit´e 1) ; – elles partent de l’origine presque sˆurement : P{ W0 = 0 } = 1 ;
– leurs distributions adjointes sont : P{ Wt 1 ∈ Γ1, ... , Wtn ∈ Γn } = Z Γ1 dx1 ... Z Γn dxn g(0,x1 ; t1)g(x1,x2 ; t2− t1) ... g(xn−1,xn ; tn− tn−1)
o`u 0 < t1 < ... < tn sont des nombres r´eels, Γ1,...,Γn ⊂ R sont des intervalles, et g(x,x0 ; t) est la densit´e gaussienne :
g(x,x0 ; t) = √1 2πt exp · −(x− x 0)2 2t ¸ , x,x0 ∈ R , t > 0 (3.3)
Par d´efinition, g(0,x ; t)dx est la probabilit´e de trouver le mouvement brownien dans un voisinage dx du point x au moment t :
P{Wt ∈ (x,x + dx)} = g(0,x ; t) (3.4) La collection Wt= (Wt1,...,Wtd) de d processus de Wiener ind´ependants s’appelle processus de Wiener d-dimensionnel ou mouvement brownien d-dimensionnel issu de l’origine. Le processus translat´e, x+Wt, est le mouvement brownien issu du point x∈ Rd(dans la suite, on omet le mot ((d-dimensionnel))). Comme pour des marches al´eatoires sur un r´eseau, on peut imaginer un marcheur qui se d´eplace dans l’espace en se dirigeant au hasard selon la loi probabiliste correspondante. En raison du rˆole primordial jou´e en science par le mouvement brownien, il a ´et´e profond´ement ´etudi´e depuis le d´ebut du vingti`eme si`ecle [11, 82, 112, 115, 149].
Consid´erons un domaine ouvert born´e2 Ω⊂ Rd. Le mouvement brownien W
t issu de l’origine permet de construire la mesure harmonique sur la fronti`ere ∂Ω. Pour un point x∈ Ω, on d´efinit le temps d’arrˆet T sur la fronti`ere ∂Ω comme :
Tx = inf{ t > 0 : (x + Wt)∈ ∂Ω }
c’est-`a-dire le premier moment o`u le mouvement brownien (x+Wt) issu du point x atteint la fronti`ere du domaine Ω. Pour tout ensemble A de la σ-alg`ebre bor´elienne3 B(∂Ω), on introduit sa mesure harmonique, ωx{A}, comme la probabilit´e que le mouvement brownien (x + Wt) atteigne la fronti`ere ∂Ω sur A :
ωx{A} = P{ (x + WTx)∈ A } (3.5)
Cette mesure poss`ede toutes les propri´et´es d’une mesure probabiliste. En particulier, la condition de normalisation ωx{∂Ω} = 1 est satisfaite. Par construction, la mesure harmonique est induite ou engendr´ee par le mouvement brownien.
2De la mˆeme fa¸con, on peut consid´erer un probl`eme ext´erieur o`u Ω est le compl´ement d’un domaine
born´e. L’analyse suivante s’´etend aux domaines plus g´en´eraux (voir la section 3.4 pour l’´etude dans le cas du demi-espace).
3La σ-alg`ebre bor´elienne
3.2 Mouvement brownien avec sauts 79
Si la fronti`ere ∂Ω est suffisamment r´eguli`ere, la mesure harmonique poss`ede une densit´e ωx(s), c’est-`a-dire que la mesure harmonique d’un ´el´ement infinit´esimal ds de la fronti`ere ∂Ω est proportionnelle `a son aire ds, avec un coefficient ωx(s) :
ωx{ds} = ωx(s)ds Cette densit´e est normalis´ee : Z
∂Ω
ωx(s)ds = 1
Notons que la densit´e de la mesure harmonique s’obtient `a l’aide de la fonction de Green G(x,x0) du domaine Ω : ωx(s) = · ∂ ∂n0 G(x ; x 0) ¸ |x0=s , x∈ Ω , s ∈ ∂Ω (3.6)
o`u ∂/∂n0 d´esigne la d´eriv´ee normale sur la fronti`ere ∂Ω. On rappelle que la fonction de Green G(x,x0) du domaine Ω r´esout le probl`eme suivant (pour x0 ∈ Ω)4 :
∆G(x,x0) =−δ(x − x0) (x∈ Ω) G(x,x0) = 0 (x∈ ∂Ω)
Si l’on connaˆıt la fonction de Green G(x,x0) d’un domaine Ω, on peut trouver la solution u(x) de l’´equation de Laplace dans ce domaine avec la condition aux limites de Dirichlet u = f , pour une fonction f donn´ee :
u(x) = Z ∂Ω µ ∂G(x,x0) ∂n0 ¶ x0=s0 f (s0)ds0
On voit que la densit´e de la mesure harmonique ωx(s) apparaˆıt alors dans cette expression : u(x) =
Z ∂Ω
ωx(s0)f (s0)ds0 (3.7)
Nous utiliserons cette relation par la suite.
3.2.2
Mouvement brownien avec sauts
Consid´erons un domaine ouvert born´e Ω ⊂ Rd dont la fronti`ere ∂Ω est lisse5. On construit un processus stochastique similaire aux marches al´eatoires avec r´eflexions. Tout d’abord, on fixe la longueur Λ qui est un param`etre du probl`eme, et on choisit une petite distance a > 0 arbitraire. On consid`ere un mouvement brownien issu d’un point x ∈ Ω. D`es qu’un marcheur al´eatoire atteint la fronti`ere ∂Ω en un point x0, il y a deux possibilit´es : soit le marcheur est absorb´e par la fronti`ere (c’est-`a-dire que le processus s’arrˆete l`a) avec
4Dans cette expression, la fonction de Dirac δ doit ˆetre consid´er´ee au sens des distributions (voir
annexe A.7).
5Comme l’on ne s’int´eresse pas aux particularit´es math´ematiques de ces objets, on ne les discute pas
en d´etails. Par exemple, une fronti`ere lisse est une fronti`ere suffisamment r´eguli`ere pour le probl`eme consid´er´e. Pour la d´efinition suivante, cela correspond `a une surface deux fois diff´erentiable.
la probabilit´e :
σ = 1
1 + (Λ/a)
soit il est r´efl´echi vers un point x0+ n(x0)a avec la probabilit´e ε = 1− σ. Le vecteur n(x0) repr´esente la normale ext´erieure unitaire sur la fronti`ere ∂Ω prise au point x0. Depuis ce point, le mouvement brownien reprend jusqu’au nouveau contact avec la fronti`ere, o`u le choix se r´ep`ete, etc. Le processus s’arrˆete d`es que le marcheur est absorb´e par la fronti`ere. Ce processus est appel´e mouvement brownien avec sauts car `a chaque r´eflexion correspond un saut de distance a d’un point fronti`ere x0 `a un point int´erieur x0+ n(x0)a.
Il est int´eressant de calculer la densit´e de probabilit´es ωx,Λ(a)(s) que le mouvement brow- nien avec sauts soit arrˆet´e (absorb´e) au voisinage infinit´esimal ds d’un point fronti`ere s. On peut utiliser la mˆeme id´ee que pour des marches al´eatoires avec r´eflexions en calculant la contribution des trajectoires sans r´eflexion, avec une r´eflexion, avec deux r´eflexions, ... :
ωx,Λ(a)(s)ds = (1− ε)ωx(s)ds + (1− ε) Z ∂Ω £ ωx(s1)ds1 ¤ ε £ωs1+n(s1)a(s)ds ¤ + (1− ε) Z ∂Ω Z ∂Ω £ ωx(s1)ds1 ¤ ε £ωs1+n(s1)a(s2)ds2 ¤ ε £ωs2+n(s2)a(s)ds ¤ + ...
L’op´erateur int´egral Qa, qui associe `a une fonction6 f ∈ L2(∂Ω) une autre fonction g ∈ L2(∂Ω),
g(s) = (Qaf )(s) = Z ∂Ω
ds0f (s0) ωs0+n(s0)a(s) (3.8)
permet de r´e´ecrire la densit´e ω(a)x,Λ comme :
ωx,Λ(a)(s) = Z ∂Ω ds0 T(a) Λ (s,s0) ωx(s0) TΛ(a)(s0,s) = " (1− ε) ∞ X n=0 ¡ εQa ¢n # (s0,s) (3.9)
Clairement, l’op´erateur Qa est un analogue continu de l’op´erateur d’auto-transport brownien Q, tandis que TΛ(a)(s,s0) repr´esente le noyau d’un op´erateur qui est un analogue continu de l’op´erateur d’´etalement. En mˆeme temps, il faut souligner que l’op´erateur Qa n’est pas sym´etrique ce qui d´etruit l’analyse pr´ec´edente li´ee `a la d´ecomposition spectrale de l’imp´edance7. Si l’on s’int´eresse `a la limite a → 0, le noyau ω
s+n(s)a(s0) tend vers la fonction de Dirac δ(s− s0). Nous avons donc la mˆeme difficult´e que dans le cas discret : l’op´erateur Qa tend vers l’identit´e lorsque a → 0. N´eanmoins, la densit´e de probabilit´es d’absorption ωx,Λ(a) et le noyau TΛ(a)(s,s0) poss`edent une limite non triviale, ce que nous allons voir dans la section 3.3.3. Pour l’instant, on peut se contenter de l’exemple suivant.
6Ici L2(∂Ω) est l’espace des fonctions mesurables de carr´e sommable qui agissent de ∂Ω dans R. 7Si n´ecessaire, on peut l´eg`erement modifier la d´efinition (3.8) afin d’introduire explicitement la
sym´etrie : g(s) = (Qaf )(s) = Z ∂Ω ds0 f (s0 ) 1 2 µ ωs+n(s)a(s0) + ωs0+n(s0)a(s) ¶
3.2 Mouvement brownien avec sauts 81
Exemple du demi-plan
Si l’on consid`ere le demi-plan sup´erieur R2
+, la densit´e de la mesure harmonique ωx(s), appel´ee densit´e de Cauchy, est ´egale `a :
ωx(s) = 1 π x2 (x1− s)2+ (x2)2 x = (x1,x2)
Le noyau de l’op´erateur Qa est donc a(π[(s− s0)2+ a2])−1. En calculant la transform´ee de Fourier de ce noyau, [FQa](k) = e−a|k|, on trouve que les puissances de cet op´erateur s’´ecrivent dans l’espace de Fourier comme [FQn
a](k) = e−an|k|. Apr`es avoir calcul´e la somme de la s´erie g´eom´etrique dans l’expression (3.9), on obtient le noyau TΛ(a)(s,s0) en faisant la transformation de Fourier inverse :
TΛ(a)(s,s0) = ∞ Z −∞ dk 2π 1− ε 1− εe−a|k| e −ik(s−s0)
A la limite a→ 0, on obtient l’expression non triviale (3.1). La densit´e ω(a)x,Λ(s) peut ˆetre calcul´ee par la convolution (3.9). Nous reviendrons sur ces quantit´es dans la section 3.4.
3.2.3
Passage formel `a la limite continue
Il est utile de revenir `a la repr´esentation (3.7) d’une solution du probl`eme de Dirichlet `a l’aide de la densit´e de la mesure harmonique. Si l’on veut calculer la d´eriv´ee normale de cette solution, on peut la pr´esenter comme :
µ ∂u(x) ∂n ¶ x=s = lim a→0 1 a ·
u(s)− u(s + n(s)a) ¸
Grˆace `a la condition aux limites u = f , le premier terme est ´egal `a f (s). En utilisant la repr´esentation (3.7) pour le deuxi`eme terme, on obtient :
µ ∂u(x) ∂n ¶ x=s = lim a→0 1 a f (s)− Z ∂Ω ds0 f (s0) ωs+n(s)a(s0)
On s’aper¸coit que le terme int´egral ressemble fortement `a l’image de la fonction f par l’op´erateur Qa. On peut formellement ´ecrire :
µ ∂u(x) ∂n ¶ x=s ' µ lim a→0 I− Qa a ¶ f (s)
Cette relation montre que la d´eriv´ee normale de la solution du probl`eme de Dirichlet s’ob- tient en appliquant l’op´erateur entre parenth`eses `a la fonction f issue de la condition aux limites. Cet op´erateur math´ematiqueM porte le nom d’op´erateur de Dirichlet-Neumann. Ainsi, bien que l’op´erateur Qa tende vers l’identit´e I `a la limite continue, il existe une limite non triviale de l’op´erateur (I− Qa)/a.
permet d’identifier l’op´erateur math´ematique M auquel il faut s’int´eresser. Nous allons ´etudier cet op´erateur au chapitre 4. La vraie justification de ce passage `a la limite continue est pr´esent´ee dans la section suivante o`u nous v´erifions que le mouvement brownien avec sauts tend vers un autre processus stochastique, dit mouvement brownien partiellement r´efl´echi.