Mod`ele analytique de l’imp´edance spectroscopique

Une autre application importante de ce r´esultat est le d´eveloppement d’un mod`ele analytique de l’imp´edance spectroscopique. Au chapitre 1, nous avons pr´esent´e un mod`ele de circuits ´equivalents simplifi´es d´evelopp´e par Keddam et Takenouti. Dans l’esprit de ce mod`ele, on peut repr´esenter l’imp´edance d’une g´en´eration quelconque par un circuit ´equivalent incluant l’imp´edance de la g´en´eration pr´ec´edente. En utilisant cette proc´edure de mani`ere it´erative, on peut ´ecrire l’imp´edance de fa¸con explicite sous la forme d’une fraction it´erative. Ce mod`ele, bas´e sur une image physique naturelle, n’a pas de justification math´ematique. En se fondant sur une analyse approfondie des modes propres de l’op´erateur de Dirichlet-Neumann, on peut construire un autre mod`ele analytique de l’imp´edance spectroscopique. Dans cette sous-section, nous allons d´ecrire ce mod`ele et son application `a la courbe de Von Koch quadrangulaire (Df = ln 5/ ln 3). Ensuite, nous passerons `a l’´etude d’autres fronti`eres irr´eguli`eres pour lesquelles on peut construire des mod`eles similaires. Ces r´esultats nous permettront de d´evelopper un mod`ele assez g´en´eral dont l’analyse est donn´ee dans la section 5.7.

En examinant les spectres g´eom´etriques de la figure 5.7, on peut ´emettre les observa- tions suivantes :

1. A premi`ere approximation, la g-i`eme g´en´eration de la courbe de Von Koch poss`ede g + 1 pics (modes principaux) dont les positions sont d´etermin´ees par les valeurs propres µα, tandis que leurs amplitudes sont d´etermin´ees par les composantes spec-

5.3 Courbe de Von Koch de dimension Df = ln 5/ ln 3 159

trales Fα. Dans la suite, on r´ef´erence ces modes propres par µ(g)k et F (g)

k , o`u l’indice k prend des valeurs enti`eres entre 0 et g. Par exemple, pour la g´en´eration g = 4, on a :

µ(4)₀ = µ0, µ(4)1 = µ1, µ2(4) = µ7, µ(4)3 = µ37, µ(4)4 = µ187 2. Les pics de mˆeme indice k pour diff´erentes g´en´erations g sont `a peu pr`es situ´es `a la

mˆeme position, c’est-`a-dire que µ(g)<sub>k</sub> (5/3)g<sub>L ne d´epend que de l’indice k (le facteur</sub> (5/3)g<sub>L correspond au p´erim`etre de la g´en´eration g, voir l’´echelle sur la figure 5.7).</sub> 3. La distance (`a l’´echelle logarithmique) entre pics successifs d’une mˆeme g´en´eration

est `a peu pr`es constante :

µ(g)_k ' 5µ(g)k−1

En combinant cette expression et l’observation pr´ec´edente, on trouve l’approxima- tion suivante :

µ(g)_{k ' 5}k(3/5)gµ0 (5.6)

µ0 _{´etant une constante proche de (3/5)L}−1_{. Le tableau 5.10 contient les valeurs µ}(g) k calcul´ees par cette relation (comparer avec les valeurs exactes dans le tableau 5.8). 4. La composante spectrale F₀(g)est ´egale `a l’inverse du p´erim`etre Ltot: F0(g) = (3/5)gL−1. 5. Pour une g´en´eration donn´ee, les composantes spectrales F_k(g) augmentent progressi-

vement avec l’indice k. Si l’on consid`ere la premi`ere g´en´eration, l’amplitude F₁(1)peut ˆetre d´etermin´ee en se souvenant que la somme de toutes les amplitudes est ´egale `a l’inverse de la longueur la zone active de Dirichlet : F0(1)+ F

(1)

1 ' L−1dir. Comme cette longueur est proche du diam`etre L, on obtient : F₁(1) _{' L}−1_{− L}−1

tot = (1− 3/5)L−1. Cette estimation est proche de la valeur num´erique F₁(1) _{' 0,41 L}−1_{. On peut donc} constater que la valeur F₁(1) exprime la diff´erence entre l’inverse du diam`etre et l’inverse du p´erim`etre de cette courbe. En d’autres termes, cette valeur est ´egale `a la diff´erence entre les inverses des p´erim`etres de la g´en´eration d’ordre 0 (segment lin´eaire) et de la premi`ere g´en´eration. On peut maintenant essayer d’appliquer ce raisonnement `a des g´en´erations d’ordre plus ´elev´e en disant que, `a premi`ere approxi- mation, chaque valeur F_k(g) (avec k > 0) peut correspondre `a la diff´erence entre les inverses des p´erim`etres de la g´en´eration g _{− k et de la g´en´eration g − k + 1, d’o`u} l’on tire la relation suivante :

F_k(g)L' (

(1_{− 3/5)(3/5)}g−k_{, k = 1,...,g}

(3/5)g_{, k = 0} (5.7)

Le tableau 5.10 contient les valeurs F_k(g) calcul´ees par cette relation (comparer avec les valeurs exactes dans le tableau 5.8).

En utilisant les relations (5.6) et (5.7), on peut approcher des pics repr´esentant les modes principaux. On aboutit donc `a l’approximation analytique Z(g)_{(Λ) suivante pour} l’imp´edance effective Z(Λ) : Z(g)(Λ) = ρΛ g X k=0 F_k(g) 1 + Λµ(g)_k (5.8)

g k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 µ(g)_k Ltot 1 0 3 2 0 3 15 3 0 3 15 75 4 0 3 15 75 375 F_k(g)L 1 0,6000 0,4000 2 0,3600 0,2400 0,4000 3 0,2160 0,1440 0,2400 0,4000 4 0,1296 0,0864 0,1440 0,2400 0,4000

Tab. _{5.10 – Mod`ele analytique : modes principaux pour les quatre g´en´erations de la} courbe de Von Koch de dimension Df = ln 5/ ln 3.

Afin de v´erifier la qualit´e de cette approximation analytique, on compare l’imp´edance spectroscopique calcul´ee par la relation exacte (4.11) avec celle donn´ee par notre mod`ele. L’erreur relative est pr´esent´e sur la figure 5.12. On peut constater que, sur 5 ordres de gran- deur de valeurs Λ/L, l’erreur relative est inf´erieure `a 12%. Compte tenu de la complexit´e de la quatri`eme g´en´eration et de la relative rusticit´e du mod`ele, une telle pr´ecision est vraiment remarquable. On peut en conclure que l’expression analytique simple (5.8) trans- crit effectivement toute la complexit´e du comportement de l’imp´edance pour la courbe de Von Koch consid´er´ee. Plus important encore, cet accord valide les r`egles g´en´erales ´etablies par les relations (5.6) et (5.7) pour les modes principaux. Par cons´equent, on peut uti- liser ces relations afin d’approcher le comportement pour des g´en´erations beaucoup plus ´elev´ees que la quatri`eme. Le calcul direct de l’imp´edance spectroscopique ´etant inacces- sible pour une g´en´eration de l’ordre de 10 ou 20, ce mod`ele nous offre donc un outil que nous utiliserons dans la section 5.7 en l’appliquant `a des g´en´erations plus ´elev´ees.

Cependant, il est raisonnable de se demander si ces r`egles conservent leur validit´e lorsque l’on augmente la g´en´eration. En effet, `a chaque passage d’une g´en´eration `a la suivante, le nombre et les amplitudes des pics secondaires deviennent de plus en plus importants. En particulier, les pics secondaires autour de α = 187 pour la quatri`eme g´en´eration pr´esentent des contributions plus importantes que le pic principal α = 1. Peut on alors n´egliger ces pics secondaires ? Nous pouvons proposer la r´eponse suivante : la g´eom´etrie autosimilaire de la courbe de Von Koch conduit `a une certaine hi´erarchie de va- leurs propres, chaque pic principal correspondant `a une ´echelle particuli`ere de la fronti`ere. Par cons´equent, on peut fusionner les pics situ´es autour de chaque ´echelle caract´eristique de l’interface. Dans ce cas, l’existence d’un pic principal dans chaque groupe n’est pas mˆeme n´ecessaire. Il suffit d’approcher la contribution de tous les pics dans chaque groupe par un seul pic dont l’amplitude F_k(g) est ´egale `a la somme des amplitudes de ces pics, la position moyenne µ(g)_k ´etant alors d´etermin´ee par l’´echelle caract´eristique de ce groupe. On obtient ainsi une s´erie de (g + 1) pics principaux effectifs. La position moyenne µ(g)_k peut ˆetre approch´ee par la relation (5.6). En revanche, il nous faut justifier l’utilisation de la relation (5.7) pour calculer les amplitudes F_k(g). Nous reviendrons sur cette question dans la section 5.7.

5.3 Courbe de Von Koch de dimension Df = ln 5/ ln 3 161 10−2 10−1 100 101 102 −1 −0.5 0 0.5 1

Λ/L

Fig. <sub>5.12 – Erreur relative entre l’imp´edance pour la quatri`eme g´en´eration de la courbe</sub> de Von Koch calcul´ee `a l’aide du mod`ele analytique et l’imp´edance r´eelle. Cette erreur reste inf´erieure `a 12% sur 5 ordres de grandeurs de Λ/L.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (a) (b) (c)

Fig. _{5.13 – Courbe al´eatoire : (a) probl`eme due `a la d´econnexion ; (b) ´elimination simple} d’une partie d´econnect´ee ; (c) modification l´eg`ere de la courbe pour ´eviter la d´econnexion sans modification du p´erim`etre (en basculant une partie de la fronti`ere).