Sauf pour des surfaces particuli`eres, les propri´et´es spectrales de l’op´erateur de Dirichlet- Neumann ne peuvent pas ˆetre d´etermin´ees de fa¸con explicite, et l’on doit avoir recours `a des m´ethodes num´eriques. On peut distinguer deux approches :
1. On commence par diviser la fronti`ere ∂Ω en plusieurs morceaux, puis l’on construit une matrice repr´esentant l’op´erateur de Dirichlet-Neumann `a l’aide de la th´eorie du potentiel (continu).
2. On consid`ere un domaine discr´etis´e Ω0 pour lequel la construction de l’op´erateur d’auto-transport brownien Q est d´ej`a r´ealis´ee dans la section 2.2. En tirant parti du fait que l’op´erateur de Dirichlet-Neumann M s’obtient comme limite continue (a → 0) de l’op´erateur (I − Q)/a, on peut d´eterminer les propri´et´es spectrales de M `a partir de celles de Q.
Du point de vue algorithmique, ces deux approches sont `a peu pr`es ´equivalentes. La premi`ere approche, plus directe, semble ˆetre plus simple par au moins deux raisons : l’on n’a pas besoin d’un r´eseau interm´ediaire et le potentiel continu est normalement plus facile `a calculer. Cependant, elle pr´esente ´egalement des inconv´enients : en particulier, le potentiel continu pour un domaine p´eriodique est plus complexe que le potentiel dans le cas discret, et les r´esultats du calcul sont difficiles `a v´erifier. En revanche, le cas discret permet d’exploiter la signification probabiliste des ´el´ements de l’op´erateur Q. Nous avons donc retenu la deuxi`eme approche.
Le sch´ema de calcul est simple : pour l’interface consid´er´ee, nous introduisons le r´eseau carr´e, cubique ou hypercubique en tenant compte des trois ´etapes de discr´etisation d´ecrites au chapitre 2. Le param`etre de r´eseau a est choisi de telle fa¸con que le calcul de l’op´erateur d’auto-transport brownien prenne un temps raisonnable. Pour que l’op´erateur Q soit correctement repr´esent´e par une matrice finie, on utilise des conditions p´eriodiques. Enfin, on a la possibilit´e d’introduire une source plane `a une distance quelconque.
D`es que l’op´erateur Q est construit, on d´etermine son spectre (la suite des valeurs propres qα(a)) ainsi que les vecteurs propres V(a)α correspondants (nous rajoutons la notation a pour souligner que ces caract´eristiques d´ependent de la discr´etisation). Si la source se trouve `a distance finie, le vecteur Ph,(a)0 repr´esentant la densit´e de la mesure harmonique peut ˆetre d´etermin´e `a l’aide de la normalisation de l’op´erateur d’auto-transport brownien (voir chapitre 2) : P0 = [I − Q]1 Ph,(a)0 = P0 ad−1¡P 0· 1 ¢ o`u 1 est le vecteur dont les composantes sont ´egales `a 1.
En revanche, si la source se trouve `a une distance infinie, ce calcul n’est plus valable. En effet, la normalisation de l’op´erateur Q implique que P0 = 0, ce qui nous empˆeche de d´eterminer num´eriquement le vecteur normalis´e Ph,(a)0 (bien que ce vecteur soit par- faitement bien d´efini dans le cas d’une source `a l’infini). Pour contourner cette difficult´e, on peut utiliser la faible d´ependance du vecteur Ph,(a)0 par rapport `a la distance entre la surface de travail et la source. Il suffit donc de faire un calcul suppl´ementaire en pr´esence d’une source situ´ee `a grande distance (mais finie) ce qui nous donne le vecteur P0. Apr`es normalisation, le vecteur Ph,(a)0 ne d´epend presque pas de la distance, et on peut alors uti-
5.1 Approximation par l’op´erateur d’auto-transport brownien 139
liser ce mˆeme vecteur pour un probl`eme o`u la source se trouve `a l’infini. On peut justifier cette astuce num´erique en effectuant le calcul pour une source `a diff´erentes distances et puis en v´erifiant que le vecteur Ph,(a)0 est ind´ependant de cette distance.
Lorsque l’on passe `a la limite continue, les quantit´es (1− q(a)α )/a tendent vers les valeurs propres µα de l’op´erateur de Dirichlet-Neumann, et les vecteurs V(a)α tendent vers ses vecteurs propres Vα. Enfin, le vecteur Ph,(a)0 s’approche de la densit´e de la mesure harmonique. Comme l’on s’int´eresse `a l’imp´edance spectroscopique, on peut se limiter `a l’´etude des valeurs propres µα et des composantes spectrales Fα :
µα = lim a→0 1− q(a)α a Fα = lima→0F (a) α (5.1)
(Fα(a) est le carr´e du produit scalaire entre les vecteurs Ph,(a)0 et V (a)
α ). A priori, si l’on prend un param`etre a tr`es petit, on peut estimer ces quantit´es avec une bonne pr´ecision. Cependant, pour chaque fronti`ere, il existe un seuil technique amin en de¸c`a duquel le calcul devient extrˆemement long et mˆeme inaccessible. Plus l’interface est complexe, plus la valeur de amin est contraignante (voir chapitre 2). En pratique, le choix du param`etre a est assez limit´e.
Pour am´eliorer la situation, on peut recourir `a quelques arguments simples. Quelle est la vitesse de convergence des limites (5.1) ? Pour une fronti`ere lisse, on s’attend `a trouver le comportement r´egulier :
1− qα(a)
a ' µα+ a µ 0
α+ O(a2) Fα(a)' Fα+ a Fα0 + O(a2) (5.2) µ0
α et Fα0 ´etant les coefficients du premier ordre en a. Ce r´esultat peut ˆetre v´erifi´e ana- lytiquement dans le cas plane. De plus, il a ´et´e justifi´e par des calculs num´eriques pour plusieurs surfaces1. Si l’on calcule les valeurs de µ
α et Fα pour un seul param`etre a, on obtient un r´esultat dont la pr´ecision est de l’ordre O(a). Comme les valeurs du param`etre a sont assez limit´ees, il se peut que cette pr´ecision soit insuffisante. Afin de l’accroˆıtre, on peut calculer q(a)α et Fα(a) pour deux valeurs a et a0, ce qui permet d’´evaluer les coefficients µ0 α et Fα0 comme : µ0α ' 1 a− a0 Ã 1− qα(a) a − 1− qα(a0) a0 ! Fα0 ' F (a) α − F(a 0) α a− a0
L’utilisation de ces coefficients fournit les valeurs propres µαet les composantes spectrales Fα avec une pr´ecision de l’ordre O(a2) comme le montrent les relations (5.2).
En principe, on pourrait aller plus loin en ´evaluant les coefficients d’ordres plus ´elev´es (a2, a3, ...). Mais ces calculs deviennent de plus en plus complexes et difficiles `a contrˆoler. Nous nous limiterons donc `a une pr´ecision O(a2). De mani`ere g´en´erale, on effectue les calculs pour trois valeurs du param`etre a, la troisi`eme valeur servant `a tester l’efficacit´e de l’approximation.
1Bien que ce comportement r´egulier semble ˆetre correct, et mˆeme ´evident pour les interfaces lisses,
il peut se r´el´ever faux pour une surface tr`es irr´eguli`ere. Ainsi, on pourrait imaginer une situation dans laquelle convergence serait plus faible, par exemple, O(aγ) avec un exposant γ < 1. L’analyse de ces
G´en´eration Modes Discr´etisations Limite 1 2 3 g = 1 µ1Ltot 3,456 3,464 3,468 3,480 g = 2 µ1Ltot 3,026 3,034 3,048 3,050 µ7Ltot 18,248 18,452 18,553 18,857 µ1Ltot 2,992 2,998 3,000 3,008 g = 3 µ7Ltot 15,924 16,025 16,057 16,184 µ37Ltot 91,053 93,318 94,060 97,028 g = 4 µ1Ltot 2,972 2,992 3,012 µ7Ltot 15,398 15,687 15,976 µ37Ltot 74,634 78,929 83,224 µ187Ltot 357,537 416,336 475,134
Tab. 5.1 – Quelques valeurs propres µα de l’op´erateur de Dirichlet-Neumann pour diff´erentes discr´etisations de quatre g´en´erations de la courbe de Von Koch de dimension Df = ln 5/ ln 3. La derni`ere colonne repr´esente les valeurs obtenues par l’extrapolation