Il est essentiel de pouvoir décrire la trajectoire de l’onde acoustique dans l’océan, celle-ci étant dépendante de la vitesse de l’onde. Cette étape s’appelle le lancer de rayon, ou ray tracing et fait l’objet d’une étude détaillée au chapitre 4. Cependant, de manière élémentaire, pour un rayon émis depuis la surface en direction du fond, lorsque la célérité de l’onde est constante, le rayon se propage
en ligne droite. Lorsque la célérité diminue, le rayon prend une trajectoire concave (il va « vers le bas »). Lorsque la célérité augmente, le rayon prend une trajectoire
convexe (il va « vers le haut »).
De manière générale, il y a deux possibilités pour modéliser la trajectoire du rayon acoustique : la première consiste à passer par une approche réaliste. Ainsi, Chadwell & Sweeney [2010] présentent diférents jeux d’équations qui décrivent précisément la direction prise par le rayon à chaque instant. À l’inverse, on peut passer par une approche simpliicatrice, qui cherche à déinir un proil de célérité dit équivalent. Yang et al. [2011] et Chen [2014] décrivent ainsi des méthodes qui permettent des simpliications, notamment linéaire ou bilinéaire comme illustré igure 2.8, d’un proil de célérité efectivement mesuré, tout en conservant les ca-ractéristiques dudit proil nécessaire pour les applications de positionnement, à savoir que le SSP réaliste ou son SSP équivalent permettent tout deux d’obtenir des temps de propagation identiques. Ces méthodes permettent de simpliier les équations, d’accélérer les calculs, et de plus facilement ajuster les variations du proil de célérité lors de la restitution des coordonnées. Mais elles entraînent une perte d’exactitude et ne sont valables que dans des conditions de profondeur et de distance entre la source et le récepteur précises (voir chapitre 4).
2.5.2 Inversion par moindres carrés
La restitution des coordonnées des balises fond de mer à partir des observa-tions acoustiques passe par une inversion par moindres carrés [Spiess, 1985b]. La méthode des moindres carrés consiste basiquement à faire coïncider au mieux des observations avec un modèle théorique, et est décrite en détail chapitre 6. Cepen-dant, au-delà de cette méthode générique, il est possible de déinir une multitude de modèles opérationnels, la technique étant dépendante de ce que l’on appelle la fonction d’observation qui lie et conditionne quels sont les observables (et quelle est leur nature) en entrée de l’estimation et quels sont les paramètres estimés en sortie. On entend ici le terme « observable » au sens des moindres carrés, c’est-à-dire toute observation entachée d’une erreur qui est réajustée lors de l’inversion.
Sea bottom Sea surface cs 0 Z CL(z) Ci(z) Ci(z) Sea bottom Sea surface cs De pt h ( z) De pt h ( z) 0 Z CB(z) zb
Fig. 2.8 – Principe de simpliication d’un proil de célérité réaliste (en pointillé) par un proil équivalent a) linéaire ou b) bilinéaire [Chen, 2014]
Les observables et les paramètres restitués élémentaires sont les positions de la tête acoustique, les données d’acoustiques entre la surface et le fond, et les positions des balises. Cependant, on peut également déterminer une correction du proil de célérité. Ainsi Chadwell et al. [1999] restituent en plus des coordonnées des balises, un proil de célérité moyen. Fujita et al. [2006]7proposent une approche en divisant la restitution en deux étapes : on détermine d’abord les positions des balises, puis on ajuste le proil de vitesse, modélisé par un polynôme de degré 2, et ce de ma-nière itérative jusqu’à convergence du système. Ikuta et al. [2008]8perfectionnent la méthode en ajoutant comme paramètre estimé une correction du vecteur de rattachement entre la position efective de la tête acoustique et celle du GNSS. La modélisation du proil de célérité se fait dans ce cas par une B-spline avec prise en compte d’une variation spatiale, et l’inversion se fait par une méthode de moindres carrés pénalisés, tout ceci ain de corriger l’inluence des courants, qui peuvent être
7. Service hydrographique des Garde-côtes japonais 8. Université de Nagoya
de l’ordre de 1 à 2 m/s dans le contexte de leurs travaux (bassin de Kumano et baie de Suruga). Cette approche permet de réaliser des campagnes d’observation rapides sans mesure efective de proil de célérité [Sato et al., 2011b; Tadokoro et al., 2012]9 10. Le traitement permet en efet d’ajuster un proil a priori à partir des résidus de mesure, qui portent l’information de la variation de la célérité [Kido et al., 2008]11.
Spiess et al. [1998] et Fujita et al. [2006]9travaillent en restituant individuelle-ment les coordonnées de chacune des stations, et en fenêtrant les données acquises en plages plus petites (4 h pour le premier, de l’ordre de 20 à 60 minutes pour le second), ce qui permet une estimation plus juste de la correction du proil de célérité : une par période. À l’inverse, Ikuta et al. [2008] restituent les coordonnées de toutes les stations dans une même inversion et privilégient une estimation de la correction du proil de célérité par époque. Le problème étant alors sous-déterminé, les paramètres de la spline associée doivent être contraints.
Kido et al. [2006]12 proposent une méthode de mesure dans le cas où la plate-forme est soumise à un fort courant et peut diicilement tenir la station au centre du polygone de balises. Si l’on suppose que l’anomalie de célérité δc (et son inverse δs = δc−1) est cantonnée dans une zone proche de la surface d’épaisseur ∆Z, le résidu de l’observation acoustique δT induite par cette anomalie vaut :
δT = δs∆Z
cos ξ (2.1)
Où ξ est l’angle entre la verticale et la droite liant la tête acoustique et la balise, comme illustré igure 2.9. La quantité δT cos ξ étant la même pour toutes les ba-lises, on minimise alors au sens des moindres carrés ces résidus normalisés entre les balises, au lieu de minimiser directement les résidus entre les observations acous-tiques et le modèle correspondant, et ce ain d’éliminer l’inluence du déplacement de la plate-forme, mais aussi celle induite par un gradient horizontal [Kido, 2007].
9. Service hydrographique des Garde-côtes japonais 10. Université de Nagoya
11. Université du Tōhoku 12. Université du Tōhoku
δs
l
1ΔZ
Bouée
Balise 2
Balise 1
ξ
1ξ
2T
1l
1= ΔZ / cos ξ
1δT
1= δs l
1= δs ΔZ / cos ξ
1δT
1cos ξ
1= δT
2cos ξ
2= δs ΔZ
Fig. 2.9 – Méthode pour estimer l’efet d’une anomalie de célérité δs dans une couche de surface d’épaisseur ∆Z. T est le temps de propagation de l’onde acous-tique, ξ est l’angle entre la verticale et la droite liant la tête acoustique en surface et la balise au fond, et l la longueur du rayon acoustique dans la couche de surface (d’après Fujimoto [2014])