4.3 Rappel sur différentes méthodes de calcul
4.3.1 Résistance des matériaux : Théorie des poutres
4.3.1.3 Torseur de cohésion d’une poutre
Le torseur de cohésion permet de représenter les contraintes internes à la poutre, c’est-à-dire celles qui s’établissent dans la structure même du matériau lorsque la poutre est soumise à des efforts externes. En reprenant l’hypothèse de Barré Saint-Venant, toute sollicitation appliquée en un point éloigné de la section d’étude peut être ramenée à cette surface. Ainsi les actions intérieures (efforts internes) à la poutre dépendent directement des contraintes extérieures qu’elle subit. Si on considère un plan perpendiculaire à la ligne moyenne (C) et qui coupe une poutre en 2 parties (P1) et (P2), le torseur de cohésion associé représente l’action de (P1) sur (P2) ou l’inverse et ce sont ces actions (contraintes) réciproques qui, jusqu’à une certaine limite, maintiennent la cohésion du matériau (Fig. 4.3.2). En fonction de la nature de la sollicitation (extension/compression, cisaillement, flexion...), certains éléments du torseur de cohésion deviennent nuls.
−
On appelle « contraintes » la densité surfacique des efforts exercés sur la poutre (Equation 4.3.1) .
Le vecteur contraintes peut être décomposé en sa composante normale suivant−→n
Chapitre 4 Prise en compte des contraintes mécaniques
et sa projection sur la surface de coupure. On a la relation (théorème de Pythagore) entre les deux composantes décrite par l’équation 4.3.2.
−
→σn: contrainte normale
−
→σt : contrainte tangentielle
k−→σk2 =k−σ→nk2+k−→σtk2 (4.3.2) 4.3.1.4 Quelques sollicitations usuelles
Extension/compression
Figure 4.3.3 – Poutre en extension
La figure 4.3.3 illustre un exemple de poutre en extension. Elle est encastrée à une extrémité et on exerce une force F normale à la section à l’autre extrémité de la poutre. Lorsqu’une poutre est sollicitée en extension/compression, seul l’effort normal −→
N du torseur de cohésion est non nul, et avec les hypothèses de Bernoulli et de Saint-Venant, on considère que cet effort est constant le long de la poutre (Fig. 4.3.3). Le torseur des actions de cohésion s’écrit alors :
−→RG =
Une fois les efforts identifiés et quantifiés, nous pouvons alors évaluer les contraintes au sein de la poutre, ainsi que l’amplitude des déformations de cette dernière :
— La contrainte d’extension/compression s’écrit comme décrit dans l’équation (4.3.3)
σn= F
S (4.3.3)
90
4.3 Rappel sur différentes méthodes de calcul
— Evaluation de la déformation: Loi de Hooke. Il s’agit d’une loi de comporte-ment (Equation 4.3.4) qui permet de relier les contraintes aux déformations de la poutre dans le cas d’une sollicitation en extension/compression (Fig.
4.3.4). La déformation est définie suivant l’équation 4.3.5, ∆L étant la va-riation de longueur et L0 la longueur initiale de la poutre. E représente le module de Young, une caractéristique propre à chaque matériau.
σn=E∗ (4.3.4)
= 4L
L0 (4.3.5)
Figure 4.3.4 – Courbe de déformation d’un matériau en extension/compression
Cisaillement pur
La figure 4.3.5 illustre un exemple de poutre en cisaillement. L’effort F est ap-pliqué à une distance d de l’extrémité d’encastrement et cette fois est tangent à la section de la poutre. Dans le cas idéal (d=0), un cisaillement pur se traduit par un torseur de cohésion dont seul l’effort tangentiel est non nul. Le torseur des actions de cohésion s’écrit :
Une fois les efforts identifiés et quantifiés, nous pouvons alors évaluer les contraintes au sein de la poutre, ainsi que l’amplitude des déformations de cette dernière :
Chapitre 4 Prise en compte des contraintes mécaniques
Figure 4.3.5 – Poutre en cisaillement
— La contrainte de cisaillement pur s’écrit comme décrit dans l’équation 4.3.6 σt = F
S (4.3.6)
— Evaluation de la déformation γ : Loi de Coulomb. C’est l’équivalent de la loi de Hooke dans le cas d’un cisaillement (Equation 4.3.7). La déformation γ est l’angle de déformation de la poutre (Fig. 4.3.6) et G est le module de cisaillement propre au matériau.
σt=G∗γ (4.3.7)
Figure 4.3.6 – Angle de déviation de la poutre en cisaillement
Flexion simple
Dans le cas réel (d6=0, Fig. 4.3.5), la poutre est en flexion et ceci se traduit par un moment de flexion non nul. Le torseur de cohésion s’écrit alors :
−→RG =
La contrainte normale en flexion s’exprime alors comme décrit dans l’équation 4.3.8.
92
4.3 Rappel sur différentes méthodes de calcul
σM f = Mf ∗y
I (4.3.8)
Avec :
— I : le moment d’inertie quadratique calculé par rapport à l’axe qui passe par le centre de gravité de la section, perpendiculairement au chargement
— y : variable représentant la cote algébrique entre la fibre neutre (Fig. 4.3.7) et un point de la section de la poutre
Pour une section rectangulaire, on aI = b∗h123 ety= h2 (Cf Fig. 4.3.7) [Courbon 88].
La contrainte tangentielle est la même que celle de l’équation (4.3.6). Ainsi pour une sollicitation en flexion, la contrainte totale s’écrit :
σf =qσ2t +σM f2 (4.3.9)
Figure 4.3.7 – Poutre à section rectangulaire
4.3.1.5 La concentration de contraintes
La concentration de contrainte est un phénomène survenant lorsque la section d’une pièce varie de manière brutale (trou, rainure, congé...) [Lu 98]. Il en résulte une augmentation locale des contraintes dans cette zone. La zone de concentration de contraintes est souvent le site d’amorçage des fissures de fatigue, mais peut aussi être à l’origine d’une rupture brutale dans le cas d’un matériau fragile. Pour illus-trer ce problème de manière simple, prenons l’exemple d’une plaque en présence d’un trou et sollicitée en traction. Si on utilise la densité des lignes comme indica-teur de niveau des contraintes en traction, sans la présence du trou, les lignes de
Chapitre 4 Prise en compte des contraintes mécaniques
(a) Plaque sans trou en traction (b) Plaque avec trou en traction
Figure 4.3.8 – Illustration schématique qualitative montrant l’origine de la concentration de contraintes
contraintes sont homogènes. Après réalisation du trou, on constate que ces lignes sont perturbées autour du trou et que la densité augmente (Fig.4.3.8).
Pour la suite, on notera :
— σnompour la contrainte nominale maximale (telle que calculée dans la (4.3.1.4))
— σr´eelle pour la contrainte réelle maximale
Coefficient théorique de concentration de contraintes Kt
Les définitions qui suivent reposent sur une constatation fondamentale. Pour un type de chargement donné, le rapport entre la contrainte réelle (dans le cas où elle est inférieure à la limite d’élasticité) et la contrainte nominale en un point ne dépend pas de la valeur de la charge appliquée. L’indice « t » est employé pour indiquer que ces coefficients sont théoriques et que leur calcul repose sur les hypothèses de la théorie de l’élasticité. L’expression mathématique a été donnée par Peterson [Pilkey 08] à la suite des travaux de Neuber [Neuber 61], pour des formes de pièces simples, pour les cas en traction. Il propose :
Kt = 1 + 2
ra r
avec « a » la demi-longueur de l’entaille et r le rayon de courbure de l’entaille.
Dans le cas d’un trou, a=r et donc Kt=3.
Kt est défini comme le rapport de la contrainte maximale réelle dans la zone de discontinuité (entaille, trou, par exemple) à la contrainte maximale nominale :
Kt= σr´eelle
σnom (4.3.10)
94
4.3 Rappel sur différentes méthodes de calcul
σr´eelle est calculable par les méthodes numériques comme la méthode des élé-ments finis ou par les méthodes analytiques pour les géométries simples. Elle est également mesurable par les techniques d’analyses de contraintes expérimentales comme la photoélasticimétrie, l’extensométrie ou encore les méthodes thermiques.
σnomest calculable à l’aide des formules de résistance des matériaux (Cf. 4.3.1.4), en considérant la pièce comme une barre ou une plaque sans prendre en compte la discontinuité géométrique.
Le coefficient théorique de concentration de contraintes Kt dépend uniquement de la géométrie de la pièce et du type de sollicitation. Dans ce cas, on suppose que le matériau du composant mécanique est homogène et continu. Insistons sur la limite d’utilisation de Kt :
— les sollicitations sont statiques
— les contraintes réelles sont calculées comme si le matériau avait un compor-tement purement élastique
— Kt est une valeur relative, donc sans unité.
4.3.2 Modèles éléments finis
Les outils éléments finis permettent d’évaluer les contraintes et déformations de manière précise dans tout type de solide soumis à tout type d’effort [Gmür 00].
Dans l’étude des machines électriques, aux géométries et efforts très complexes, ces méthodes sont particulièrement bien adaptées et plus précises que celles issues de la RdM.
4.3.2.1 Hypothèses de résolution
Les hypothèses générales de la RdM sont aussi appliquées pour la résolution éléments finis des problèmes d’élasticité plane des structures. On se place dans un espace où tous les points son reférencés par rapport à un repère {O,x,y,z}.
Un point M de coordonnées (x, y, z), à l’instant t, est susceptible de bouger. Ce déplacement est noté par le vecteur −→u, tel que :
Chapitre 4 Prise en compte des contraintes mécaniques
Hypothèse de déformations planes
Cette hypothèse considère que le champ de déplacement de tout point M du solide soit de la forme :
Le tenseur de déformation se réduit alors à :
[(M)] =
Afin d’obtenir ce type de déformation, le tenseur des contraintes doit être par-tiellement tridimensionnel ; on a donc maintenant σzz 6= 0 :
[σ(M)] =
Toutes les composantes du tenseur de contraintes en un point M du solide [σ(M)]
sont relatives à uniquement 2 coordonnées du repère (x et y par exemple et toutes les composantes suivant z sont nulles). On écrit donc :
[σ(M)] =
Toutes les composantes non nulles sont indépendantes de z et compte-tenu des hypothèses générales, σxy =σyx.
L’absence de contrainte suivant z peut tout de même induire des déformations dans cette direction. Ainsi le tenseur de déformation s’écrit :
[(M)] =
Pour la suite de notre étude, on se place dans le cadre d’une hypothèse de contraintes planes.
96
4.4 Démarche suivie
4.3.2.2 Définition du problème
Soit un solide de volume V, limité par la frontière S et soumis à :
— un champ de forces volumiques {fV}=
( fV x
fV y
)
— des déplacements imposés sur la frontière Su avec−→u =
( u v
)
— des forces surfaciques imposées sur la frontière {fσ}=
( fσx fσy
)
Résoudre un problème d’élasticité plane revient à chercher un champ de déplace-ment comme décrit dans l’équation (4.3.11) en tout point du solide, tel que :
ρ∂∂t2u2 = ∂σ∂xxx +∂σ∂yxy +fV x
ρ∂∂t2v2 = ∂σ∂yyy + ∂σ∂xxy +fV y (4.3.16) L’annexe (D) explicite comment l’équation (4.3.16) est résolue par la méthode éléments finis [Dhatt 05].
4.4 Démarche suivie
Figure 4.4.1 – Démarche de prise en compte des contraintes mécaniques dans le dimensionnement optimal
Chapitre 4 Prise en compte des contraintes mécaniques
La figure 4.4.1 présente la démarche que nous avons suivie afin de prendre en compte les contraintes mécaniques dans le dimensionnement optimal des machines synchro-réluctantes à barrières de flux.
— A partir de la géométre initiale issue de l’optimisation de la géométrie sans prise en compte des considérations mécaniques, on calcule par éléments finis les contraintes maximales dans le rotor de la machine à vitesse maximale.
— Sur la base des déformations subies par le rotor à cette vitesse de rota-tion, on propose un modèle analytique et on calibre le calcul analytique des contraintes maximales par rapport aux valeurs obtenues grâce aux éléments finis
— Enfin le modèle mécanique analytique obtenu est inséré comme fonction de contrainte dans la formulation du problème de dimensionnement de la géo-métrie de la machine présentée dans le chapitre 3.
4.5 Analyse éléments finis de l’élasticité des rotors
Tant sur le plan électromagnétique que mécanique, la complexité de la géométrie du rotor nécessite bien souvent l’utilisation de l’outil éléments finis pour l’analyse.
D’un point de vue mécanique, des subtilités topologiques peuvent entrainer des concentrations de contraintes et seul l’outil éléments finis peut les localiser et les quantifier de manière précise. Nous allons donc utiliser la méthode éléments finis afin d’évaluer les contraintes mécaniques dans le rotor des machines. Pour notre calcul, nous nous plaçons dans le cadre d’une hypotèse de contraintes planes (Cf 4.3.2.1).
4.5.1 Modèle d’analyse
4.5.1.1 Géométrie et maillage
La géométrie et le maillage des rotors sont réalisés sous Ansys [Workbench 11].
La machine présentant une périodicité circulaire, on ne représente qu’un seul pôle.
De plus, il est possible d’effectuer un modèle 2D (exemple Fig. 4.5.1). En admet-tant que la géométrie est identique dans chaque plan perpendiculaire à l’axe de la machine, que le matériau est homogène, et dans le cadre d’une hypothèse de contraintes planes (Cf. 4.3.2.1), on suppose donc que le calcul des contraintes est identique dans chaque plan du rotor. Tout ceci permet de réduire significativement le temps de calcul.
La distance entre chaque noeud du maillage est fixée à 0.25 mm pour le corps du rotor. Pour les ponts magnétiques, le maillage est réalisé de telle sorte qu’il y ait au moins 2 éléments dans l’épaisseur du fer (exemple Fig. 4.5.2).
98
4.5 Analyse éléments finis de l’élasticité des rotors
Figure 4.5.1 – Passage d’une géométrie 3D à un modèle 2D
Figure 4.5.2 – Maillage du rotor
Chapitre 4 Prise en compte des contraintes mécaniques
4.5.1.2 Conditions limites et de contact
(a) Conditions limites du
do-maine d’étude (b) Conditions de contact
Figure 4.5.3 – Conditions limites et de contact
L’utilisation de cette périodicité en 2D induit la nécessité d’imposer des condi-tions limites qui définissent la nature des liaisons mécaniques avec les pôles adja-cents. Il s’agit d’une liaison de type « support sans frottements » (Fig. 4.5.3a).
Pour ce qui est de la SyRA, du fait de la présence des aimants, des conditions de contact doivent être définies aux interfaces fer/ferrite (A, B, C, D, E, F) (Fig.
4.5.3b). Nous y avons défini des liaisons de type « contact sans frottement ». Nous avons en plus imposé que le corps du rotor et les aimants restent toujours en contact à ces endroits.
4.5.1.3 Propriétés des matériaux
Le tableau 4.1 regroupe les caractéristiques mécaniques des matériaux du rotor.
100
4.5 Analyse éléments finis de l’élasticité des rotors
Matériau Fer doux Ferrite
E 200 000 MPa 158 585 MPa
ρ 7 650 kg.m-3 5 500 kg.m-3
ν 0.3 0.3
Limite domaine élastique σe 410 MPa /
Limite de ruptureσr 535 MPa /
Table 4.1 – Caractéristiques mécaniques des matériaux 4.5.1.4 Efforts mécaniques
(a) Force centrifuge et résultante tangentielle (b) Pression magnétique
Figure 4.5.4 – Efforts excercés sur le rotor
En fonctionnement, nous avons identifié 3 principales sources de sollicitation mécanique qui agissent sur le système : la force centrifuge, la résultante des ef-forts magnétiques tangentiels et la pression magnétique (Fig. 4.5.4). Mais à vitesse maximale, la force centrifuge est la seule significative. A vitesse élevée, lorsque la machine est dans le mode III, le flux magnétisant y est très réduit et donc les efforts magnétiques aussi [Taghavi 14]. Nous avons estimé que les efforts d’origine magnétique représentent 1% de la force centrifuge à 18 000 tr/min pour la SyRA précédemment optimisée.
4.5.2 Résultats
La figure 4.5.5a présente les contraintes dans le rotor de la SyRC à 12 000 tr/min. A cette vitesse, la puissance utile est inférieure a 1 kW (cf. figure 3.5.11b).
Nous faisons donc le choix d’y établir sa limite de fonctionnement d’un point de vue électromagnétique. On note tout d’abord que le phénomène de concentration de contraintes est distinctement visible sur les congés liés aux ponts magnétiques.
Néanmoins, les contraintes maximales sont en-dessous de la limite élastique du
Chapitre 4 Prise en compte des contraintes mécaniques
matériau (σe= 410 MPa). Le rotor peut se déformer localement jusqu’à 0.06mm à 100°C, soit environ 20% de la hauteur de l’entrefer (Fig. 4.5.5b). Cette valeur est due non seulement aux contraintes mécaniques, mais également à la dilation ther-mique (on rappelle que la température sous capot moteur peut atteindre 120°C).
Les figures 4.5.6a-4.5.8a présentent les contraintes dans le rotor de la SyRA dans différents cas ({ea/c= 0.3 mmm N=18 000 tr/min}, {ea/c= 0.3 mm N = 10 000 tr/min}, {ea/c = 1.5 mm N = 18 000 tr/min}). De l’analyse de ces trois cas, on constate que l’intégrité mécanique du rotor n’est pas assurée avec une épaisseur de pont magnétique de 0.3 mm à 18 000 tr/min (Fig. 4.5.6a). Les contraintes maximales atteignent 1 662 MPa, soit 3 fois supérieures à la limite de rupture σr du matériau. La vitesse maximale qu’autorise cette configuration est de 10 000 tr/min (Fig. 4.5.7a). A cette vitesse, les contraintes maximales sont de 513 MPa, c’est-à-dire à la limite de la rupture. Afin de pouvoir atteindre la vitesse maximale préconisée par le cahier des charges (18 000 tr/min), il faut augmenter l’épaisseur de pont magnétique jusqu’au moins 1.5 mm (Fig. 4.5.8a). Avec cette valeur d’épaisseur de ponts magnétiques, les contraintes maximales sont de 471 MPa. Le rotor y est dans le domaine plastique, c’est-à-dire que les déformations sont irréversibles.
(a) Contraintes (MPa) dans la SyRC à 12 000
tr/min (b) Déplacement total (mm) du
ro-tor à 100°C
Figure 4.5.5 – Comportement mécanique de la SyRC à 12 000 tr/min
102
4.5 Analyse éléments finis de l’élasticité des rotors
(a) Contraintes (MPa) dans la SyRA (aimants
non représentés) à 18 000 tr/min (b) Déplacement total (mm) du ro-tor de la SyRA à 18 000 tr/min
Figure 4.5.6 – Comportement mécanique de la SyRA à 18 000 tr/min
(a) Contraintes (MPa) dans la SyRA (aimants non
représentés) à 10 000 tr/min (b) Déplacement total (mm) du ro-tor de la SyRA à 10 000 tr/min
Figure 4.5.7 – Comportement mécanique de la SyRA a 10 000 tr/min
Chapitre 4 Prise en compte des contraintes mécaniques
(a) Contraintes (MPa) dans la SyRA (aimants
non représentés) à 18 000 tr/min - 1.5mm (b) Déplacement total (mm) de la SyRA à 18 000 tr/min - 1.5 mm
Figure 4.5.8 – Comportement mécanique de la SyRA à 18 000 tr/min - Epaisseur de pont magnétique d’1.5 mm
4.5.3 Conclusions
En ce qui concerne la SyRDP, étant donné que le fer au niveau des ponts magné-tiques se comporte magnétiquement comme de l’air tout en conservant ses proprié-tés mécaniques, la question de robustesse ne se pose plus. Nous pouvons augmenter l’épaisseur des ponts magnétiques sans pour autant compromettre les performances électromagnétiques. C’est en ce point précis que réside l’intérêt d’utiliser ce type de matériau ; la problématique mécanique nécessite une attention moins impor-tante pendant le processus de conception car quelle que soit la vitesse de rotation de la machine l’augmentation des ponts magnétiques ne remet pas en cause les performances calculées.
L’analyse éléments finis de robustesse des géométries précédemment optimisées a revélé que la tenue mécanique de la SyRC est garantie sur toute sa plage de fonctionnement, validant ainsi la conception optimale de cette structure.
Au sujet de la SyRA, la vitesse maximale requise de 18 000 tr/min ne peut être atteinte d’un point de vue mécanique. Dans sa conception actuelle, les contraintes dans les ponts magnétiques notamment sont très largement supérieures aux limites élastique et de rupture du matériau. De ce fait, et en conservant l’optimisation électromagnétique faite dans le chapitre 3, 2 choix s’offrent à nous :
104
4.5 Analyse éléments finis de l’élasticité des rotors
— Soit on limite la plage de fonctionnement de la machine à 10 000 tr/min, ne respectant ainsi plus la vitesse maximale exigée. Ainsi la zone grisée (Fig.
4.5.9a) devient inaccessible du fait des contraintes mécaniques dans les ponts magnétiques.
— Soit on augmente l’épaisseur des ponts magnétiques pour ainsi atteindre les 18 000 tr/min mais avec jusqu’à 75% de puissance utile en moins (en mode générateur et 50% en mode moteur) (Fig. 4.5.9b). Lorsqu’on passe de 0.3 mm à 1.5 mm, la puissance utile en mode générateur passe de 10 kW à 2.5 kW. En mode moteur, la puissance mécanique décroît de 8 kW à 4 kW.
(a) Limitation de la plage de vitesse de la SyRA (b) Augmentation de l’épaisseur des ponts magné-tiques de la SyRA
Figure 4.5.9 – Choix de conception de la SyRA
Nous envisageons néanmoins un troisième choix, celui d’intégrer le calcul des contraintes mécaniques directement dans le processus d’optimisation de la géo-métrie. L’idée est de trouver une géométrie robuste sans pour autant réduire les performances, en mettant en jeu toutes les variables géométriques, et pas seule-ment les ponts magnétiques. Pour ce faire tout en restant dans le cadre d’un projet industriel (bon compromis entre précision et temps de calcul), il est impératif de developper un modèle précis mais moins gourmand en temps de calcul. Nous allons donc pour la suite developper une méthode analytique de calcul des contraintes mécaniques qui puisse s’insérer plus aisément dans l’optimisation de la géométrie.
Chapitre 4 Prise en compte des contraintes mécaniques
4.6 Calcul analytique des contraintes maximales dans les ponts magnétiques
Le calcul éléments finis nous a permis d’évaluer de manière précise les contraintes et déformations des rotors précédemment optimisés. Cependant et dans une op-tique d’optimisation multiphysique dans un contexte industriel, l’association de modèles éléments finis de différentes physiques (électromagnétique et mécanique) se révèle fastidieuse en termes de préparation, de calcul et d’exploitation des ré-sultats. Ainsi, nous ambitionnons de mettre en place un modèle analytique plus simple et qui peut être intégré plus aisément au processus de dimensionnement de la géométrie présenté dans le chapitre 3. Nous allons donc nous baser sur les principes de la théorie des poutres afin d’estimer les contraintes maximales dans le rotor de la SyRA à vitesse maximale.
4.6.1 Modèle d’analyse
4.6.1.1 Définition du sytème (poutre)
(a) Liaisons encastrement (b) Représentation schématique de la partie active d’un pôle
Figure 4.6.1 – Schémas des poutres
Le calcul éléments finis a mis en lumière que les contraintes maximales dans le rotor (1 pôle) sont localisées à trois endroits précis. Il s’agit des ponts magnétiques d’entrefer et du pont magnétique central extérieurs, et ceux-ci sont des poutres simples à section rectangulaire. Nous sommes donc ainsi dans une configuration permettant l’utilisation de la théorie des poutres.
106
4.6 Calcul analytique des contraintes maximales dans les ponts magnétiques
En se référant à la figure 4.3.7, le paramètre h correspond à l’épaisseur du pont magnétique (ecpour le pont central et ea pour les ponts d’entrefer) et le paramètre b à la longueur du paquet de tôle « l » (Cf Tableau 3.5.4b). Chaque pôle du rotor est considéré en liaison encastrement avec les pôles adjacents au niveau des ponts
En se référant à la figure 4.3.7, le paramètre h correspond à l’épaisseur du pont magnétique (ecpour le pont central et ea pour les ponts d’entrefer) et le paramètre b à la longueur du paquet de tôle « l » (Cf Tableau 3.5.4b). Chaque pôle du rotor est considéré en liaison encastrement avec les pôles adjacents au niveau des ponts