Stabilité, phénomène du saut

Si nous reprenons les figures 3.25 montrant l’évolution des courbes de résonance de l’oscillateur en fonction de sa distance à la surface, on voit que la non linéarité provoque des zones de rebroussement sur les courbes d’amplitude et de phase. Il y a apparition de zones d’instabilité inatteignables physiquement [CNBA02]. La figure 3.27 reprend la courbe d’amplitude à D= 7nm de la figure 3.25(a) avec les mêmes paramètres de simula- tion.

L’interaction de surface provoque une torsion de cette résonance en créant une zone d’instabilité entre les points de sauts J1 et J2 aux fréquences respectives fJ1 et fJ2. Ainsi

si on excite l’oscillateur avec un balayage en fréquence croissant, on obtiendra un saut d’amplitude du point J1 vers la branche supérieure de la courbe de résonance. A contra-

rio, un balayage en fréquence décroissant, provoquera un saut d’amplitude du point J2

vers la branche inférieure de la courbe de résonance. Nous montrerons des mesures expé- rimentales de cet effet au chapitre 5.

FIG. 3.27 – Courbe de résonance extraite de la figure 3.25(a). Les deux points de saut J1 et J2

apparaissent aux fréquences fJ1 et fJ2.

On peut voir ce phénomène de saut d’une autre manière pour une fréquence constante de forçage de l’oscillateur. En effet, en reprenant la fonction de transfert 3.21, on peut tracer l’évolution de l’amplitude d’oscillation s1 en fonction de l’amplitude de forçage

w0. En prenant les paramètres de la figure 3.27, on utilise :

w0=s1     1 C+N(s1)     (3.42)

pour tracer la figure 3.28 pour deux fréquences de forçage différentes. On voit que pour certaines fréquences d’excitation du système, on peut obtenir une variation brusque de l’amplitude d’oscillation s1 à partir d’un seuil d’amplitude de forçage w0 de l’oscilla-

teur. De plus, le phénomène de saut est différent pour un balayage croissant ou décroissant de l’amplitude de forçage w0. On voit ici aussi un phénomène de saut dû à un rebrousse-

négativité de la pente de la courbe ds1

dw0 entraîne le résultat anormal que l’amplitude d’oscil-

lation diminuerait quand celle du signal d’excitation augmente. La démonstration rigou- reuse de cette constation qualitative de zone instable se trouve dans la référence [KP53].

FIG. 3.28 –Evolution de l’amplitude s1de l’oscillation du cantilever en fonction de l’amplitude

de forçage w0 pour deux fréquences f constante d’excitation : (a) f = f0 =270kHz qui est la fréquence de résonance de l’oscillateur libre, (b) f = f0− 12Hz.

On voit donc que ces points de saut se situent là où la dérivée dw0

ds1 est nulle. Une

étude de la dérivée de la fonction 3.42 va nous permettre de trouver un critère graphique de stabilité pour un oscillateur de fonction de transfert C en interaction avec un gain équivalent N.

Pour cela, posons : _{C( jω)}1 =U(ω) + jV(ω) et N(s1) =P(s1) +j Q(s1). Le gain équi-

valent N est purement réel si l’interaction est uniquement conservative. En utilisant la relation 3.42, on obtient ainsi :

w2 0=s21

h

(U + P)2+ (V + Q)2i

que l’on dérive par rapport à s1pour obtenir la condition de saut :

U2+V2+KUU + KVV + K0=0 (3.43) avec KU=2P+s1 dP ds1 1+s1₂ , KV = 2Q+s1_ds1dQ 1+s1₂ et K0= P2_+Q2_+s 1_ds1d  PdP ds1+Qds1dQ  1+s1₂ . La relation 3.43

est l’équation d’un cercle de contour Γ :  U +K₂U2+  V +K₂V2= K 2 U+KV2 4 − K0 (3.44)

ayant pour centre ₋KU

2 , −K2V



et pour rayon r =qKU2+KV2

4 − K0 dans le plan com-

plexe (U,V).

Ce cercle Γ dépend entièrement de la caractéristique du gain équivalent N et donc de l’interaction de surface. Lorsque l’amplitude s1varie, ce contour Γ va aussi changer. Un

cercle [Bon58,GDP88] : – Si le lieu 1

C coupe l’enveloppe Γ, des sauts ne peuvent se produire qu’aux fréquences

correspondant à des points du lieu de Nyquist 1

C( jω) intérieur à Γ.

– Si le lieu _{C( jω)}1 du cantilever est tout entier extérieur à Γ, les oscillations forcées sont toujours stables, et aucun saut n’est à craindre.

En reprenant le gain équivalent 3.25 purement conservatif (donc purement Réel), déjà utilisé pour tracer la figure 3.27, on obtient le diagramme de Nyquist 3.29 sur lequel on a tracé le lieu _C1 en noir où la flèche indique le sens des fréquences croissantes (signe +). On a aussi tracé les contours Γ1(rouge) et Γ2 (bleu), en utilisant l’équation du cercle

3.44. Chaque contour Γ correspond respectivement aux points de saut J1et J2de la figure

3.27. Ainsi le premier point d’intersection du lieu _C1 avec Γ1, en prenant une direction

croissante de balayage en fréquence, nous donne la fréquence de saut fJ1 de la courbe

de résonance 3.27. Et, le premier point d’intersection du lieu 1

C avec Γ2, en prenant une

direction décroissante de balayage en fréquence, nous donne la fréquence de saut fJ2 de

la courbe de résonance 3.27. f0étant la fréquence de résonance de l’oscillateur libre.

FIG. 3.29 –Diagramme de Nyquist du lieu 1

C . Ce lieu traverse les contours Γ1et Γ2. Cela prouve

l’existence du phénomène de saut d’amplitude.

Cette méthode très visuelle, dérivée des méthodes de l’équivalent harmonique de l’Automatique non linéaire [FM66], permet pour un lieu 1

C fixe, correspondant à l’os-

cillateur libre, de savoir très rapidement pour une collection de contours Γ, représentant chacun une interaction pointe-surface différente, dans quels cas le système présentera un phénomène de saut. Si oui, le diagramme de Nyquist permet de savoir pour quelle fré- quence de forçage l’instabilité apparaîtra.

Conclusion

Durant ce chapitre, nous avons introduit un formalisme qui nous a permis de retrou- ver des résultats analytiques admis concernant l’effet d’une interaction de surface sur un

permis de retrouver les critères de stabilité d’un tel système. Ces outils vont nous être nécessaires à l’analyse de la machine AFM étudiée au chapitre suivant.

Chapitre 4