A.5 R´ef´erences exp´erimentales
A.5.2 Sph`ere en milieu confin´e (ten Cate et al., 2002),
Cette section r´esume bri`evement les r´esultats exp´erimentaux mis `a notre disposition lors d’une collaboration avec A. ten Cate et J.J. Derksen du laboratoire Kramers `a Delft (Pays–Bas). Ces donn´ees sont pr´esent´ees dans les d´etails par ten Cateet al.(2002). Les ca-ract´eristiques des fluides et de la sph`ere sont d´etaill´ees dans le tableau A.3, et la g´eom´etrie du domaine est illustr´ee sur la figure A.11. La technique PIV (Particle Imaging Veloci-metry) utilis´ee permet d’obtenir les champs de vitesse dans une section du domaine. La premi`ere phase consiste `a ensemencer le fluide `a l’aide de particules fluorescentes. Ces particules ne doivent pas interagir avec l’´ecoulement et sont donc choisies pour leur qua-lit´e de traceur (concentration et taille caract´eristique extrˆemement faibles, St ≃ 0). En illuminant la zone d’investigation avec un plan laser, on peut filmer une portion de la zone
`a une fr´equence donn´ee. Pour une fr´equence d’acquisition tr`es grande devant la fr´equence caract´eristique du ph´enom`ene physique, la comparaison de deux images successives dans un plan donn´e permet de rep´erer le d´eplacement des traceurs, et d’en d´eduire une vitesse locale. Cette technique est bien adapt´ee aux cas o`u les composantes de vitesse normales au plan d’acquisition sont tr`es faible devant les autres composantes. Les champs PIV montr´es par la suite sont mesur´es dans le plan de sym´etrie gris´e de la figure A.11. La zone gris´ee secondaire correspond `a l’ombre de la sph`ere, ce qui signifie que les traceurs fluorescents n’y sont pas illumin´es et donc que l’on ne dispose pas de donn´ees concernant le sillage.
la figure A.12 montre l’´evolution temporelle de la vitesse de la particule,Up(t), obtenue par d´erivation `a partir de l’altitude y(t). Afin d’obtenir une bonne pr´ecision, la d´eriv´ee est approch´ee `a l’aide d’un sch´ema centr´e `a cinq points :
Ui = (2yi+2+yi+1−yi−1−2yi−2)/10(ti−ti−1). (A.21)
✁✁✁✁✁✁ repr´esen-t´ee dans le rep`ere (x, z, y). Les cotes sont indiqu´ees en mm. Les champs PIV sont photographi´es dans le plan de sym´etrie gris´e.
Fig. A.12: Vitesse de s´edimentation de la par-ticule pour les trois r´egimes d’´ecoulement Rep = 1.5,11.6,31.9. Superposition de l’exp´erience du-pliqu´ee et de la valeur u∞ (–).
Fig. A.13: Topologie du champ fluide lors de la phase de lubrification. Exp´erimental. De gauche `a droite :Rep= 1.5,11.6 et 31.9,h/dp= 0.5. Contours : Magnitude du champ de vitesse normalis´ee par la vitesse limite de chute en milieu infini|u|/u∞. Vecteurs : direction du champ de vitesse.
Les trois ´ecoulements sont compar´es sur la figure A.13 lors de l’approche de la paroi inf´erieure. Ici la position occup´ee par la particule dans le domaine est la mˆeme dans les trois cas et correspond `a un gap particule–paroi h/dp = 0.5. On s’aper¸coit que le point de contrˆole d´efini sur la figure A.11 se trouve dans les trois cas sur la trajectoire de la recirculation. Ce point est forc´ement le t´emoin d’une dynamique assez brutale, ce qui explique l’int´erˆet des auteurs pour cet emplacement. En effet on montre sur la figure A.14 les variations brutales de vitesse `a la fois en terme d’amplitude et de direction. Les mesures se comportent de fa¸con coh´erente lorsqu’elles sont r´ep´et´ees, et constituent donc une source pr´ecise et fiable pour la validation en simulation directe. Sur la mˆeme figure, on repr´esente les r´esultats de simulations de type Lattice–Boltzmann r´ealis´ees par les mˆeme auteurs (voir ´egalement ten Cate et al. (2002)). Les r´esolutions spatiales utilis´ees correspondent `adp = 8 pour le cas o`uRep = 11.6, etdp = 16 pour les deux autres r´egimes d’´ecoulement.
Afin de concevoir des proc´edures de validation bas´ees sur des donn´ees exp´erimentales pr´ecises, il est utile de substituer une fonction continue aux points exp´erimentaux par in-terpolation. La plupart des courbes ´etant peu communes, avec des gradients relativement prononc´es, les interpolations polynˆomiales sont `a ´eviter. Nous choisissons la m´ethode d’in-terpolation et de lissage de Burger et Neubauer (2003) bas´ee sur les r´eseaux de neurones.
Cette m´ethode fonctionne d’autant mieux que le nombre de points exp´erimentaux est
´elev´e, surtout dans les zones `a fort gradient. Les donn´ees et algorithmes synth´etis´es dans le tableau A.4 permettent de reconstruire les fonctions d’interpolation. Le graphe associ´e montre une reproduction assez fid`ele des distributions exp´erimentales.
En conclusion, les donn´ees d´ecrites ici constituent un outil tr`es puissant :
La plupart des moyens de validation pr´esent´es pr´ec´edemment sont bas´es sur un coefficient de traˆın´ee. Cette donn´ee qualifie un ´equilibre dans le bilan des forces appliqu´ees `a la particule. Or dans le cas d’une m´ethode de simulation comme la notre, il est souvent possible d’atteindre un ´equilibre particulier en modulant le couplage fluide–particule, avec une param´etrisation num´erique ad´equate. En terme de rigueur scientifique, ce genre de validation est n´ecessaire mais certainement pas suffisante. La caract´erisation compl`ete des cas 3D non–stationnaires pr´esent´es ici permet en cas de succ`es de valider la m´ethode d’une fa¸con peu discutable, car l’investigation porte aussi bien sur la phase continue que sur la phase dispers´ee.
Fig. A.14: Evolution temporelle des composantes de vitesse´ ux/U∞, uy/U∞ et de la norme de la vitesseum/U∞, au niveau du point de contrˆole d´efini sur la figure A.11. Comparaison des r´esultats pour Rep= 1.5,11.6 et 31.9. Exp´erimental (•). Simulations par la m´ethode Lattice–Boltzmann (−). Les fl`eches (↓) indiquent l’instant du contact entre la particule et le fond de la cuve.
Vitesse instantan´ee de la particule Up(t) : Interpolation `a 4 neurones.
Rep tmin tmax bs α β i 1 2 3 4
1.5 0 4.017 2.0091 21.053 0.1 a(i) −0.80826 0.70030 −17.237 −1.1454 b(i) −26.902 −20.719 26.4530 16.4070 x0(i) 0.74779 4.1312 −0.017326 1.1013 11.6 0 1.42 −5.6978 9.0909 0.1 a(i) 1.84790 0.51817 −1.8602 5.27640
b(i) −12.862 −4.6656 −0.60832 50.0 x0(i) 0.057684 0.25944 0.45788 0.93715 31.9 0 1.06 −1.9664 6.499 0.1 a(i) 0.3782 0.63085 0.71669 1.5167
b(i) −50 −10.878 −32.056 44.108 x0(i) 0.8826 0.21987 0.079849 0.9136 do j= 1, n Boucle sur le nombre de pointsnde la courbe interpol´ee.
do i= 1, nr Boucle sur le nombre de neuronesnr.
x(j) = 0.8j/n+ 0.1 Dimensionnement des abscisses.
y(j) =y(j) + a(i)
1 +eb(i)(x(j)−x0(i)) Somme des fonctions sigmo¨ıdes pond´er´ees.
enddo
y(j) = ((y(j) +bs)−β)/α Ajout du ’biais’bs, mise `a l’´echelle, r´esultat dansy.
enddo
Tab. A.4:Interpolation des r´esultats exp´erimentaux par une m´ethode de r´eseaux de neurones. Algo-rithme de reconstruction. Comparaison des fonctions interpol´ees aux donn´ees exp´erimentales.
dp [mm] mat´eriau ρp [Kg/m3] U∞ [m/s] ±ξrel [%] Rep St τ95[s] d95[m]
0.5 g 2560.0 0.0741 0.6 41.000 11.66 0.0550 0.0028
0.8 s 7710.0 0.316 0.9 280.00 239.9 0.1080 0.0233
1.5 g 2560.0 0.218 0.4 360.00 102.4 0.1420 0.02115
1.0 s 7850.0 0.383 0.5 430.00 375.1 0.1320 0.0345
2.0 g 2480.0 0.271 0.5 600.00 165.3 0.1970 0.0365
1.0 w 14800 0.590 0.3 660.00 1085 0.1480 0.0597
2.0 s 7670.0 0.636 0.2 1400.0 1193 0.1970 0.0856
3.0 s 7800.0 0.813 0.5 2700.0 2340 0.2250 0.125
4.0 s 7700.0 0.973 0.4 4300.0 3679 0.2920 0.19413
6.0 s 7750.0 1.158 0.4 7700.0 6631 0.3150 0.249
Tab. A.5:S´edimentation d’une sph`ere en milieu illimit´e : Exp´eriences de Mordant et Pinton (2000).
Classement par Rep croissant. Correspondance respective de chaque colonne : diam`etre de la sph`eredp, mat´eriau de la sph`ere (g : verre, s : acier, w : tungst`ene), densit´e du mat´eriau ρp, vitesse limite de chute U∞, pr´ecision ξrel sur la mesure deU∞, nombre de Reynolds Rep, nombre de Stokes St, temps caract´eristique de chuteτ95, distance caract´eristique de chute d95.