Mod´elisation d’un milieu polyphasique

Deux concepts sont g´en´eralement utilis´es pour mod´eliser un milieu polyphasique. On parle d’approche lagrangienne ou d’approche eul´erienne. Ces m´ethodes d´erivent des deux fa¸cons de d´ecrire un domaine mat´eriel en m´ecanique. Si l’approche lagrangienne repose sur la notion de trajectoire, la description eul´erienne revient `a consid´erer l’´evolution des grandeurs physiques en un point fixe de l’espace. Les mod`eles les plus anciens consid`erent une suspension comme un fluide unique trait´e de fa¸con eul´erienne. Par exemple on peut int´egrer des variables suppl´ementaires (fraction volumique fluide/solide) aux ´equations de conservation par le biais de viscosit´es ´equivalentes d´ependant de la concentration lo-cale en particules. L’inconv´enient majeur de ces m´ethodes est celui de devoir fermer le syst`eme d’´equations `a l’aide d’une mod´elisation des ´echelles locales. Ces m´ethodes ap-pliqu´ees aux suspensions `a grande ´echelle sont tr`es efficaces quand les mod`eles de fer-meture sont bien choisis par rapport aux concentrations fluide–solide. Un des objectifs des m´ethodes r´ecentes est donc de caract´eriser de fa¸con exacte les ph´enom`enes li´es aux

´echelles locales afin d’alimenter les mod`eles continus eul´eriens. Les premi`eres approches des ´echelles locales (voir McLaughlin (1994) avec les m´ethodes de one-way ou two-way coupling) consistent `a utiliser les ´equations de Navier-Stokes pour le fluide et la seconde loi de Newton pour les particules. Un tel mod`ele, o`u l’on tient compte explicitement de la masse, de la g´eom´etrie et de la trajectoire des particules est ´egalement qualifi´e de mod`ele cin´etique. Concernant les m´ethodes cit´ees, on ne peut encore parler de simulation directe puisque les interactions fluide-particules doivent ˆetre mod´elis´ees de fa¸con empirique.

Avec les progr`es de la technologie informatique, les approches DNS deviennent envi-sageables. Parmi ces derni`eres, on peut distinguer celles qui traitent les interfaces comme des fronti`eres du domaine fluide. En fait, seule la phase fluide est simul´ee, et les inclusions sont suivies par un maillage non structur´e mobile et dont les interfaces sont trait´ees par des conditions aux limites. Howard H. Hu et plusieurs co-auteurs (voir par exemple Hu et al. (2000)) ont introduit et valid´e cette approche baptis´ee m´ethode ’ALE’ (Arbitrary Lagrangian-Eulerian). Cette derni`ere est tr`es efficace en ce qui concerne les inclusions d´eformables comme les bulles et gouttes (Maury et Glowinski (1997)). On peut consulter pour une m´ethodologie et des applications analogues les travaux de Legendreet al.(2003).

Cependant ces techniques sont tr`es difficiles `a impl´ementer en 3D et les coˆuts de calculs sont connus pour ˆetre tr`es importants. Cela vient surtout de la n´ecessit´e de conditions aux limites mobiles qui imposent un remaillage fr´equent du domaine. De plus un tel mod`ele supporte mal les d´eformations trop raides des interfaces, et interdit les cas de rupture ou de coalescence.

De nombreuses techniques ont donc ´et´e con¸cues pour des maillages cart´esiens fixes afin de supprimer ces limitations :

Tout d’abord des approches hybrides permettent de conjuguer un suivi lagrangien sur une grille eul´erienne classique, comme les m´ethodes de suivi de front. On peut par exemple b´en´eficier du maillage fixe d’une m´ethode eul´erienne et distribuer un nombre discret de marqueurs dans le volume ou sur la surface de l’inclusion que l’on pourra alors traiter et suivre de mani`ere lagrangienne. On donne quelques exemples de m´ethodes de rep´erage et de transport d’interface au paragraphe 3.3.1 page 36. Les m´ethodes de suivi de front se distinguent en suivi de volume et en suivi de surface. Elles ont l’avantage de repr´esenter l’interface de fa¸con pr´ecise, mais les marqueurs doivent ˆetre p´eriodiquement redistribu´es et les probl`emes de rupture ou de coalescence sont tr`es d´elicats `a traiter. De plus le traitement explicite appliqu´e aux marqueurs implique un stockage croissant de donn´ees lorsque l’on multiplie le nombre d’inclusions. Toutefois ces limitations ne sont pas r´edhibitoires et de nombreuses ´equipes continuent `a d´evelopper cette technique (voir par exemple les r´ecents travaux de Shin et Juric (2002) pour la r´esolution des probl`emes de rupture d’interface).

Ensuite, une alternative ´economique et assez populaire de nos jours concerne l’exploi-tation des m´ethodes de gaz sur r´eseau appel´ees ´egalement m´ethodes Lattice-Boltzmann (LB). L’id´ee consiste `a reproduire la dynamique collisionnelle des mol´ecules aux ´echelles microscopiques. Techniquement, le fluide est repr´esent´e par une masse qui se propage le long d’un maillage cart´esien r´egulier. En appliquant des lois de collisions conservatives vis–`a–vis de la masse et de la quantit´e de mouvement, on peut montrer que le syst`eme macroscopique ob´eit `a l’hypoth`ese de continuit´e ainsi qu’aux ´equations de Navier–Stokes en ´ecoulement incompressible. Nous renvoyons le lecteur aux travaux de Chen et Doolen (1998) et Succi (2001) pour le principe de la m´ethode, et au travaux de Ladd (1994a,b) pour les premi`eres applications aux ´ecoulements fluide–particules. Pour la validation et la critique de notre propre m´ethode, nous utiliserons largement les r´esultats des simulations Lattice–Boltzmann publi´es par ten Cate et al. (2002, 2004) et Hillet al. (2001).

Toujours dans l’id´ee d’advecter des particules au travers de maillages cart´esiens et fixes, des progr`es importants ont ´et´e r´ealis´es avec une approche par domaines fictifs d´evelopp´ee par Glowinskiet al.(2001). On note d’ailleurs l’introduction des techniques de p´enalisation permettant de rigidifier la phase solide par le biais de multiplicateurs de Lagrange dis-tribu´es sur l’interface (m´ethode DLM).

Cette technique permet notamment de traiter un nombre important d’inclusions. Son effi-cacit´e a ´et´e prouv´ee dans de nombreux cas de s´edimentation et de fluidisation (Glowinski et al., 2001) ou de transport de particules dans des ´ecoulements tubulaires (Pan et Glo-winski, 2002).

Nous allons utiliser ici des concepts plus ou moins apparent´es aux m´ethodes DLM, la philosophie de base revenant `a traiter le milieu multiphasique de la mani`ere la plus globale possible. La m´ethode d´ecrite et exploit´ee dans ce rapport est l’une des branches de la biblioth`eque de CFD ’Aquilon’ d´evelopp´ee au laboratoire. L’apport de Caltagirone et Vincent (2001) pour la simulation d’´ecoulements multiphasiques a ´et´e inspir´e par la recherche d’une m´ethode de p´enalisation volumique en domaine fictif (Khadraet al., 2000) ainsi que par des techniques de reconstruction d’interface (Scardovelli et Zaleski, 1999).

Le code permet lors d’une op´eration de convolution des ´equations de conservation par une fonction de phase de ne traiter qu’un seul fluide au sens des ´equations de Navier-Stokes, permettant ainsi l’utilisation d’un maillage cart´esien fixe. Le caract`ere implicite de la m´ethode permet une tr`es faible d´ependance du temps de calcul au nombre d’inclusions consid´er´ees.