A.5 R´ef´erences exp´erimentales
A.5.3 Sph`ere en milieu quasi–illimit´e (Mordant et Pinton, 2000),
L’exp´erience d´ecrite dans cette section concerne la s´edimentation d’une sph`ere de diam`etre dp dans un milieu fluide de taille caract´eristique tr`es sup´erieure `a celle de l’inclusion. La phase continue est constitu´ee d’eau maintenue `a 25◦C, de densit´e ρf = 1000 [Kg/m3] et de viscosit´e 8.9 10−4 [P a.s]. Les nombres de Reynolds et de Stokes sont modul´es via la densit´e ρp et le diam`etre dp de l’inclusion. La cuve utilis´ee est un parall´epip`ede de section horizontale Lx × Lz = 1.1 [m]× 0.75 [m] et de profon-deur Ly = 1.1 [m]. La m´ethode d’investigation consiste `a mesurer la diffraction d’ul-trasons g´en´er´es `a partir d’une source situ´ee `a l’aplomb de la sph`ere. L’analyse du spectre
´energ´etique des ondes diffract´ees par le milieu r´ev`ele une composante diffract´ee par la particule en mouvement. La mesure de l’effet Doppler r´esultant permet de calculer la composante verticale de la vitesse de la particule. Plusieurs r´esultats sont d´etaill´es : L’´evolution du coefficient de traˆın´ee mesur´e dans la gammeRep ∈[41,7700] est tout `a fait conforme aux r´esultats de la litt´erature d´etaill´es dans la section A.1.2 page 140. Dans la plupart des cas la trajectoire reste verticale. Les deux exceptions concernent les particules de verre qui oscillent de fa¸con transitoire pour les Reynolds Rep = 360 et Rep = 600.
Fig. A.15: Evolution du temps caract´eristique de chute d’une sph`ere en milieu infini en´ fonction du nombre de Reynolds particulaireRep. Cas d’une sph`ere en acier (ρp≃7750) de rayon variable s´edimentant dans de l’eau. Comparaison de la th´eorie de Stokes sans force d’histoire et des r´esultats exp´erimentaux de Mordant et Pinton (2000).
Dans le cas de l’acier ou du tungst`ene et pour des nombres de Reynolds ´equivalents, le nombre de Stokes est respectivement de 4 `a 6 fois plus ´elev´e par rapport au cas du verre, et la trajectoire reste rectiligne. En r´ep´etant et en moyennant les mesures pour le verre, on retrouve un comportement analogue `a celui de l’acier. Au final toutes les courbes suivent une unique loi exponentielle,
Up(t) =U∞(1−e
−3t
τ95), (A.22)
o`u le temps τ95 mis par la sph`ere pour atteindre 95% de la vitesse U∞ est report´e dans la table A.5. Notons que pour des ´ecoulements en r´egimes d´ecroissants, le ratioτ95/3 devrait tendre vers le temps de relaxation de la particuleτ0 d´efini en page 162. Sur la figure A.15 on compare les r´esultats exp´erimentaux et la th´eorie de Stokes sans prise en compte de la force d’histoire. Mˆeme si la th´eorie de Stokes est approximative dans l’intervalle repr´esent´e, on devine qu’un raccordement asymptotique du type de celui sch´ematis´e en pointill´es doit ˆetre possible. Concernant la force d’histoire, les auteurs montrent un comportement identique `a la th´eorie aux temps courts, mais une d´ecroissance rapide en t−2 du terme transitoire aux temps longs, au lieu de la loi en t−1/2 pr´evu par la th´eorie.
Temps caract´ eristiques de la s´ edimentation et du transport
B.1 Premi` ere approximation pour le r´ egime insta-tionnaire
Dans le cadre d’un probl`eme de Stokes instationnaire gouvern´e par l’´equation ρ∂u
∂t =ρg− ∇p+µ∆u, (B.1)
l’´equation dite de Boussinesq-Basset permet de trouver une solution analytique pour la vitesse verticale de chute Up(t) d’une sph`ere s´edimentant en milieu fluide illimit´e :
mpdUp On reconnaˆıt le postulat fondamental de la dynamique avec la force de gravit´e et la pouss´ee d’Archim`ede, la force de traˆın´ee stationnaire `a corriger ´eventuellement avec un facteur de correction1 f d´ependant de la g´eom´etrie du domaine et du confinement de la sph`ere, et enfin la somme de la traˆın´ee dynamique et du terme de Basset. Ces deux derni`eres contributions sont ´etroitement li´ees, la traˆın´ee dynamique portant aussi le nom de force de masse ajout´ee et qui s’´ecrit traditionnellement Fm.aj. =Cmmf
dUp
dt o`u Cm est le coefficient de masse ajout´ee, ´egal `a 0.5 dans le cas de la sph`ere.
1Si l’on suppose qu’aux tout premiers instant du processus, la sph`ere ne doit pas ressentir l’effet du confinement, on fait l’hypoth`ese ici que l’effet des parois sur la traˆın´ee dynamique reste n´egligeable.
161
La notion de force de Basset est ´etroitement li´ee au ph´enom`ene de masse ajout´ee.
Une particule anim´ee d’une vitesse constante dans un fluide non-parfait d´eplace avec elle une couche de fluide immobile dans le rep`ere li´e `a la particule, d’o`u le terme de ’masse ajout´ee’. On explicite plus clairement ce ph´enom`ene par l’´etude de la couche limite que l’on peut classiquement dissocier en consid´erant un solide comprenant la particule ainsi qu’une enveloppe de fluide, immerg´e dans un fluide parfait ´equivalent. La force de Basset intervient en r´egime instationnaire et prend en compte le retard de d´eveloppement de la couche limite lors d’une phase d’acc´el´eration de la particule. Mˆeme dans le cadre du r´egime de Stokes, ces micro-effets inertiels s’accompagnent donc de nombres de Reynolds instantan´es qui peuvent ne plus ˆetre n´egligeables devant l’unit´e. Appel´ee aussi ’Force d’histoire’, ce terme instationnaire prend en compte toute perturbation du fluide rencontr´e par la sph`ere. De ce fait, int´egrer le terme de Basset peut conduire `a un stockage de donn´ees tr`es contraignant, puisque l’´equation (B.2) implique d’int´egrer `a chaque pas de temps toute l’histoire de la particule sur sa trajectoire. Dans un premier temps nous n´egligerons ce terme afin de r´esoudre le probl`eme de fa¸con simple et en tirer une analyse des temps caract´eristique de la s´edimentation. On peut r´e´ecrire l’´equation (B.2) en fonction des param`etres A=ρp+ρf/2,B = 9f µf/2a2 etD= (ρf −ρp)g sous la forme suivante :
AdUp
dt +BUp+D = 0 (B.3)
On obtient pour l’´evolution de la vitesse de s´edimentation le profil exponentiel
Up(t) = −D B(1−e
−Bt
A ) (B.4)
Ce profil croˆıt de fa¸con monotone pour tendre vers la vitesse correspondant `a la vitesse limite de chute de la particule.
U∞=−D/B = 2(ρp−ρf)ga2
9µf (B.5)
On rel`eve trois temps caract´eristiques : – τ0 =B/A = 2(ρp +Cmρf)a2
9f µf
d´esigne le temps de relaxation de la particule appel´e
´egalement temps de Stokes.
– τ95 = 3×τ0 d´esigne le temps n´ecessaire `a la particule pour atteindre 95% de sa vitesse limite.
– τc = 9×τ0/2 = (ρp+Cmρf)a2/f µf ≃τ99 d´esigne le temps n´ecessaire `a la particule pour atteindre 99% de sa vitesse limite.
Fig. B.1: Temps caract´eristiques associ´es `a la s´edimentation d’une particule en r´egime de Stokes.
Tel qu’il est d´efini ici, le coefficient de correction f influence la vitesse limite et les temps caract´eristiques. Comme on peut le voir sur la figure B.1, le mod`ele pr´evoit une d´ecroissance lin´eaire des temps caract´eristiques pour un facteur de confinement f crois-sant. Par contre l’acc´el´eration initiale reste inchang´ee. Selon ce mod`ele cette acc´el´eration A0 ne d´epend que du contraste en densit´e et s’exprime de la fa¸con suivante :
A0 =U∞/τ0 =
µ ρp−ρf
ρp+Cmρf
¶
g (B.6)
Nous avons montr´e pour ce mod`ele que l’´echelle de temps caract´eristique est homog`ene
`a ρpa2/µf. Il s’agit d’une ´echelle inertielle de r´eponse de la particule aux perturbations du fluide environnant. Avec la donn´ee U∞, elle permet d’estimer `a la fois l’acc´el´eration initiale et le temps global de mise en r´egime. Il s’agit donc de la seule donn´ee qui puisse constituer pour nous une base d’´evaluation du param`etre de r´esolution en temps du code.