Antes de definir formalmente outros regimes de sincronização, pode tentar-se uma generalização da ligação (1.19) apresentada na Subsecção anterior para sistemas idênticos. Suponha que duas transformações não-idênticas f (x; a) e f (y; b), mas apenas com ligeiros desajustes paramétricos, são bidireccionalmente ligadas pelo operador linear
1− ρ ρ ρ 1− ρ
. Em vez de (1.19), obtem-se o sistema ligado não simétrico
xn+1 = (1− ρ) f(xn; a) + ρf (yn; b) yn+1 = ρf (xn; a) + (1− ρ) f(yn; b)
, que, nas variáveis (1.21), dá lugar ao sistema equivalente
(1.27) Un+1= 1 2[f (Un+ Vn; a) + f(Un− Vn; b)] Vn+1 = 1− 2ρ 2 [f (Un+ Vn; a) + f (Un− Vn; b)] .
O estado simétrico Vn = 0 já não é uma solução deste sistema mas, para um de- sajuste paramétrico entre as transformações que seja pequeno, é esperado que Vn seja pequeno. Além disso, negligenciando o efeito de pequenas perturbações da variável Un e considerando apenas a segunda equação de (1.27), obtem-se a equação linearizada
(1.28) Vn+1 = 1− 2ρ
2 [(Df (Un; a) + Df (Un; b)) Vn+ f (Un; a)− f(Un; b)]
para pequenas perturbações de Vn. A principal diferença relativamente à expressão (1.22) do caso simétrico é a presença do termo não-homogéneo f(Un; a)− f(Un; b). Ele é propor- cional ao desajuste paramétrico, e pode assumir-se que é de ordem f(Un; a)−f(Un; b) 1. Se a diferença Vn entre os estados dos sistemas é maior do que f(Un; a)− f(Un; b), este termo não-homogéneo não é importante. No entanto, se a diferença Vn é de ordem f(Un; a)− f(Un; b), o termo não-homogéneo actua como uma força casual que impede Vn de se tornar inferior a f(Un; a)− f(Un; b). Para a dinâmica de Vn sujeita a esta força, existe então uma limitação de tipo
|Vn| ≈ ln |f(Un; a)− f(Un; b)| e a dinâmica de Vn tem lugar na região onde
mesmo para λV < 0. Existem, portanto, explosões de Vn no estado sincrónico mesmo quando o expoente de Lyapunov transversal é negativo, mostrando que o estado caótico sin- crónico é extremamente sensível a perturbações (mesmo um pequeno desajuste paramétrico pode resultar em grandes explosões). Verifica-se assim que a não existência de simetria no sistema ligado, resultante da não identidade entre os sistemas, dificulta a obtenção de um estado sincrónico estável.
Sincronização generalizada. Considere o sistema unidireccionalmente ligado (1.29)
xn+1= f (xn) yn+1= g (xn, yn; ρ)
para difeomorfismos f : X ⊂ Rm → X e g : Y ⊂ Rl → Y , onde X e Y são conjuntos compactos, e o vector de parâmetros ρ caracteriza a força de interacção entre os sistemas transporte e resposta.
Definição 1.2.2 Os sistemas em (1.29) dizem-se em sincronização generalizada se existe uma transformação H : X → Y entre os espaços de fase e uma variedade invariante definida por
M = {(x, y) : y = H (x)}
que contenha pelo menos um atractor caótico de Milnor. A transformação H diz-se a função de sincronização generalizada e M diz-se a variedade de sincronização.
Em particular, quando os sistemas são idênticos e o hiperplano M = {(x, y) : y = x}
do sistema ligado é invariante pela dinâmica, a função H é simplesmente a identidade e tem-se sincronização idêntica.
Por vezes é mais conveniente estabelecer uma relação entre yn+1 e xn, escrevendo yn+1 = ˜H(xn), dado que estas duas variáveis estão directamente relacionadas pela equação que caracteriza o sistema resposta. Se a transformação f que define o sistema transporte é invertível então esta relação é equivalente à definição anterior.
Quando ρ = 0, o sistema resposta evolui independentemente do transporte, e é assum- ido que ambos os sistemas são caóticos.
A Definição 1.2.2 permite uma descrição natural de condições suficientes que assegurem a estabilidade do estado sincrónico.
Definição 1.2.3 O sistema ligado (1.29) é assimptoticamente estável se, para quaisquer condições iniciais (x0, y0) , (x0, ¯y0)∈ X×Y , as quais partilham o mesmo estado transporte inicial x0, se tem
lim
n→∞ yn(x0, y0; ρ)− yn(x0, ¯y0; ρ) = 0,
onde yn(x0, y0; ρ) (respectivamente, yn(x0, ¯y0; ρ)) é a coordenada y da n-ésima iterada de (x0, y0) (respectivamente, (x0, ¯y0)) sob a dinâmica de (1.29).
Assim, o sistema ligado (1.29) é assimptoticamente estável se duas réplicas do sistema resposta sincronizam quando sujeitas ao mesmo sinal condutor.
Conforme provado por Kocarev e Parlitz [36], a estabilidade assimptótica e a sincro- nia generalizada são equivalentes sempre que o sistema transporte é invertível e tem um atractor compacto. Contudo, Barreto et al. [10] mostraram que é possível ter estabilidade assimptótica em sistemas não-invertíveis, nos quais graph(H) não é sequer o gráfico de uma transformação unívoca.
Para assegurar que a sincronização persista sob perturbações do sistema (1.29), a taxa pela qual trajectórias são atraídas na direcção da variedade M deve ser maior do que as taxas de contracção ou expansão dentro dessa variedade. Tal como em sincronização idên- tica, a estabilidade da variedade M pode ser determinada pela negatividade dos expoentes de Lyapunov condicionados [70], pelo uso de funções de Lyapunov [36] ou pelo estudo dos valores próprios [12].
Sincronização de fase. Uma generalização importante da noção de sincronização idên- tica é o fenómeno de sincronização de fase ([73],[87],[65],[57]). É um tipo mais fraco de comportamento sincrónico definido como o aparecimento de uma certa relação funcional entre as fases dos sistemas enquanto as suas amplitudes podem permanecer fracamente correlacionadas ou mesmo não-correlacionadas.
Definição 1.2.4 Dois sistemas ligados dizem-se sincronizados in-phase se, para inteiros n e m arbitrários, a diferença entre as fases φ1 e φ2 dos sistemas é limitada por uma constante
|nφ1− mφ2| < const,
onde as fases são funções de tempo monotonicamente crescente, escolhidas apropriada- mente.
Para investigar sincronização de fase em sistemas caóticos é necessário identificar uma variável de fase bem-definida em cada sistema. Para um sistema caótico, a evolução da fase depende da frequência média das oscilações ω, assim como da sua amplitude A,
(1.30) ˙φ = H (ω, A) ,
através de uma função H que depende do sistema considerado. O fecho de um atractor caótico contém um número infinito de órbitas periódicas instáveis de períodos diferentes e cada trajectória típica no atractor vagueia de uma órbita periódica instável para outra, não podendo ser correctamente definido o período. Assim, não existe uma maneira universal e não-ambígua para determinar a amplitude A e a fase φ de um sinal caótico, e que se reduza à usual para as órbitas periódicas mergulhadas no atractor caótico. Este é o primeiro obstáculo quando tentamos estabelecer se dois sistemas caóticos estão sincronizados (em fase), visto que a comparação de fases é essencial para detectar e quantificar o estado sincrónico.
A equação de evolução (1.30) pode ser generalizada a sistemas ligados. Sob certas condições, pode ser obtida uma equação de evolução simplificada para a diferença de fases dos dois osciladores, essencial para entender qualitativamente a natureza da sincronização de fase. Dado que as coordenadas φ e A são, por vezes, mais convenientes do que x e y para descrever a dinâmica do sistema, pode ser conveniente escrever as equações da dinâmica para cada um dos osciladores em termos das variáveis φ1,2 e A1,2.
O espectro de expoentes de Lyapunov tem uma mudança quantitativa quando surge sincronização de fase [73]. Se ambos os osciladores não estão sincronizados por fase, existem dois expoentes de Lyapunov nulos associados a fases individuais. Quando os dois osciladores caóticos ligados atingem sincronização de fase, a diferença de fase é limitada por uma constante e um dos dois expoentes de Lyapunov nulos sofre uma transição para valores negativos. Com aumento adicional da força de ligação, um outro expoente de Lyapunov sofre uma transição de valores positivos para negativos, e obtem-se também uma forte correlação das amplitudes. Quando o desajuste paramétrico entre os sistemas é pequeno, este ponto de transição está próximo ao da sincronização idêntica em osciladores idênticos ligados.
Tal como em sincronização generalizada, a detecção de sincronização de fase não é directa, especialmente em sistemas experimentais e naturais onde a única informação acessível pode ser uma série temporal não-linear medida nos sistemas componentes.
Sincronização de sistemas
dinâmicos contínuos
A sincronização de caos em tempo contínuo foi experimentalmente descoberta em 1985 por Afraimovich et al. [4] em sistemas idênticos. Apesar dos muitos graus de liberdade en- volvidos e da complexidade inerente à ligação de sistemas caóticos,tem sido possível obter
um considerável número de resultados analíticos, em especial para sistemas definidos pela mesma lei de evolução (embora podendo apresentar pequenos desajustes paramétricos).
Iniciamos este capítulo com uma secção relativa à sincronização de sistemas caóticos idênticos. É abordada a ligação por substituição, o primeiro método de sincronização por ligação unidireccional que foi analiticamente formalizado. Seguem-se outros métodos em ligação unidireccional: por decomposição activo-passivo, por controle feedback negativo e por decomposição valor singular. Ainda na Secção 2.1 abordamos a ligação difusiva linear bidireccional. Para este último mecanismo de ligação expomos uma condição de sincronização que pode ser aplicada na estimação do expoente de Lyapunov maximal em sistemas não-suaves. Descrevemos também, em termos do parâmetro de ligação, as várias transições de estabilidade do atractor caótico mergulhado na variedade de sincronização considerando as bifurcações caracterizadas pelas equações do sistema ligado. A Secção 2.2 é relativa à sincronização generalizada de sistemas dinâmicos contínuos não-idênticos. Os resultados obtidos ao longo deste trabalho para a sincronização em sistemas contínuos são apresentados na Secção 2.3.
Todas as abordagens numéricas apresentadas usam os atractores caóticos de Lorenz ou de Rössler como exemplos; uma das ligações estudadas usa também o atractor hipercaótico de Rössler.
2.1
Sincronização idêntica
Seja X um subconjunto compacto de Rmcom m ≥ 3. Considere os sistemas dinâmicos m-dimensionais idênticos S1 e S2 definidos em X pelas equações diferenciais ordinárias autónomas não-lineares ˙u1 = f (u1; a) e ˙u2 = f (u2; a), respectivamente, onde a é um vector de parâmetros reais de controle.
Sejam u1(0) e u2(0) condições iniciais para as quais, para certo valor de a, S1 e S2 evoluem para um atractor caótico A assimptoticamente estável. As soluções u1(t) e u2(t) de cada um dos sistemas, partindo de u1(0) = u2(0) na bacia de atracção B(A), representam trajectórias independentes que evoluem em A após um período de tempo de movimento transitório. Esta evolução é caracterizada por um expoente de Lyapunov positivo.
Considere a diferença e (t) = u2(t)−u1(t) entre órbitas próximas. A evolução de e (t) é descrita pelas equações
(2.1) ˙e(t) = ˙u2(t)− ˙u1(t) = f(u2(t) ; a)− f(u1(t) ; a).
Para uma pequena variação de e (t), pode assumir-se que a distância entre as trajec- tórias individuais dos sistemas S1 e S2 é dada pela equação
e(t) = δ0eλmaxt,
onde δ0 ≥ 0 é uma distância inicial infinitamente pequena entre as trajectórias e λmax é o valor do maior expoente de Lyapunov positivo, que caracteriza a direcção expansora do espaço de fase.
Dada a relação u2(t) = e (t) + u1(t), o expoente de Lyapunov λmaxque caracteriza a evolução de e (t), também caracteriza a evolução dos sistemas S1 e S2. Por derivação, é válida a relação
˙e(t) = λmaxδ0eλmaxt logo, por (2.1), tem-se
f(u2(t) ; a)− f(u1(t) ; a) = λmaxδ0eλmaxt.
Esta equação é satisfeita para um certo tempo τ ≈ (1/λmax) ln (|A| /δ0) após o qual se tornam relevantes os efeitos não-lineares dos sistemas S1 e S2.
Definição 2.1.1 Os sistemas dinâmicos S1 e S2 dizem-se assimptoticamente sincroniza- dos se é válida a condição
lim
e dizem-se totalmente sincronizados se u1(t)−u2(t) = 0 para t > tsync, com tsync ∈ R designado por tempo de sincronização.
A condição de sincronização assimptótica pode ser simplesmente escrita como
(2.2) lim
t→+∞ e(t) = 0
através da diferença e(t), designada por variável erro de sincronização. O sistema dinâmico que descreve a evolução de e (t), o sistema transversal ou sistema erro, é caracterizado pela equação (2.1). Atendendo a (2.2), S1e S2 atingem sincronização assimptótica se o sistema tranversal (2.1) tem um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável em e (t) = 0.
Quando ocorre sincronização assimptótica as trajectórias dos sistemas S1 e S2 con- vergem entre si no decurso do tempo. Como tal a evolução dos sistemas em A, no espaço de fase 2m-dimensional, fica restringida à evolução no atractor de um deles no espaço de fase m-dimensional. Existe então, no espaço de fase 2m-dimensional de S1 e S2, uma variedade invariante
M ≡ {(u1, u2)∈ X × X | u1 = u2} ⊂ R2m
suave de dimensão m, a variedade de sincronização, na qual tem lugar a dinâmica sin- cronizada definida pelo estado caótico sincrónico simétrico.
Tem sido mostrado por Pecora e Carroll [58], Fujisaka e Yamada ([90],[91]), Kapitaniak [29], Pikovsky [62] e Ashwin et al. [7], para diferentes tipos de ligação, que é atingida sincronização estável quando o atractor caótico A mergulhado na variedade m-dimensional M é assimptoticamente estável no espaço de fase 2m-dimensional do sistema ligado, ou seja, se a sincronização é atingida para todas as condições iniciais numa vizinhança de A. Até ao final deste capítulo, usamos simplesmente o termo sincronização para designar sincronização assimptótica.