Muitos dos resultados teóricos relativos à sincronização de sistemas caóticos são obti- dos no âmbito de sistemas dinâmicos estruturalmente equivalentes. É o caso de sistemas idênticos ou que, não o sendo, apenas diferem por um desajuste paramétrico pequeno.
Para sistemas homocaóticos ˙u1= f (u1; a1) e ˙u2= f (u2; a2), isto é, sistemas dados pelo mesmo conjunto de equações diferenciais ordinárias mas com diferentes valores no conjunto de parâmetros, Kapitaniak et al. [31] admitem a possibilidade de obter sincronização caracterizada pela condição
lim
t→+∞ ˙u1(t)− ˙u2(t) ≤ ε,
Embora esta possibilidade de sincronização tenha grande interesse aplicativo, no es- tudo de sistemas reais é frequente a necessidade de averiguar o comportamento coerente entre sistemas dinâmicos claramente não-idênticos, incluindo sistemas de diferentes dimen- sões. A pesquisa em sincronização de sistemas não-idênticos, especialmente de diferentes dimensões, está ainda numa fase inicial, com um número reduzido de resultados teóricos. Sejam, para cada vector de parâmetros a e b, os campos vectoriais f (·; a) : X ⊂ Rl→ Rl e g (·; b) : Y ⊂ Rm → Rm contínuos, com l, m ≥ 3. Considere os sistemas dinâmicos autónomos S1 e S2 unidireccionalmente ligados
(2.18) u˙1 = f (u1; a) ∧ u˙2 = g (u2, Cρ(u1) ; b)
através de uma função vectorial Cρ(u1) : X ⊂ Rl → Y ⊂ Rm, onde a dependência do vector parâmetro de ligação ρ é explicitamente considerada. Quando ρ = 0, o sistema resposta S2evolui independentemente do transporte S1e ambos os sistemas são assumidos como caóticos.
Sejam φt(u
1(0)) e ψt(u1(0), u2(0)) as soluções dos sistemas S1 e S2, respectivamente, para as condições iniciais u1(0) e (u1(0), u2(0)).
Definição 2.2.1 Os sistemas S1 e S2 dizem-se em sincronização generalizada relativa- mente a h se, para certa função vectorial Cρ(u1) : X → Y , existe uma função vectorial h: X→ Y entre os espaços de fase X e Y tal que
lim t→+∞
ψt(u
1(0), u2(0))− hφt(u1(0)) = 0 e a variedade invariante M definida por
M ≡ {(u1, h (u1))∈ X × Y | u1∈ X} ⊂ Rl× Rm
contem pelo menos um atractor caótico. A função h diz-se a função de sincronização generalizada e M a variedade de sincronização.
Define-se o erro de sincronização por e(t) = u2(t)− h (u1(t)). O sistema dinâmico na variável e, designado por sistema transversal, é definido por
˙e= ˙u2− ˙h (u1) = ˙u2− Dh (u1)· f (u1; a)
sendo Dh (u1) a matriz Jacobiana de h. Segue da Definição 2.2.1 que o estudo da sin- cronização generalizada em (2.18) equivale ao estudo da estabilidade assimptótica do ponto de equilíbrio do sistema transversal na origem.
Quando os sistemas S1 e S2 são idênticos e a diagonal M = {(x, x) | x ∈ X} ⊂ R2l
do sistema ligado (2.18) é invariante pela dinâmica, a função h é simplesmente a identidade em X e tem-se o caso particular de sincronização idêntica.
Existem diversas classes de sincronização generalizada baseadas nas propriedades da função de sincronização h. Exigir que h seja continuamente diferenciável permite tratar muitos dos exemplos que surgem em aplicações.
Conforme mostraram Kocarev e Parlitz [36], se o sistema transporte S1 é invertível e tem um atractor compacto, a sincronização generalizada no sistema ligado (2.18) é equivalente à estabilidade assimptótica do sistema resposta S2. Tem-se então
lim
t→∞ u2(t, u1(0), u2(0))− u2(t, u1(0), ˜u2(0)) = 0,
para quaisquer condições iniciais (u1(0), u2(0)) e (u1(0), ˜u2(0)) do sistema ligado (2.18) na bacia do atractor de sincronização. Para verificar a existência de sincronização general- izada é usualmente utilizado o critério da negatividade do expoente de Lyapunov maximal do sistema resposta [58].
Segundo Barreto et al. [10], existem ainda exemplos de sistemas transporte não- invertíveis para os quais é possível obter estabilidade assimptótica.
A relação funcional u2(t) = h (u1(t)) não tem de ser necessitamente válida em todo o espaço de fase X × Y do sistema ligado (2.18), mas apenas na variedade M. Dada a relação funcional, se o sistema resposta S2 é assimptoticamente estável o comportamento do sistema ligado (2.18) em M apenas é controlado pelas oscilações do sistema transporte S1no espaço de fase. Como tal um transporte comum pode conduzir/transportar múltiplas réplicas da resposta, conforme evidenciado por Abarbanel et al. [2].
2.2.1 Ligação unidireccional por controle feedback negativo
Considere a ligação em (2.8) para diferentes valores paramétricos a1 e a2, ˙
u1 = f (u1; a1) ∧ ˙u2 = f (u2; a2) + ρ(u2− u1),
Considere ainda que a trajectória do sistema ˙u1 = f (u1; a1) está num atractor caótico A1 enquanto a trajectória de ˙u2 = f (u2; a2) está num atractor caótico co-existenteA2. Para alcançar sincronização há que perturbar uma das trajectórias, digamos a do atractor A1,
de modo a evoluir para a bacia de atracção B (A2). Sendo R(A1) a região do espaço de fase na qual evolui a trajectória perturbada, a condição necessária para sincronização é dada por
(2.19) R(A1)∩ B (A2)= ∅.
Para satisfazer a relação (2.19) pode ser necessária uma forte perturbação difícil de realizar na prática. No entanto Kapitaniak et al. [32] discutiram a sincronização e perda de sincronização de sistemas quase-hiperbólicos usando esta ligação com um feedback negativo pequeno.
Mesmo que a relação (2.19) não seja inicialmente satisfeita, estes autores introduziram um método simples que permite sincronização de trajectórias caóticas evoluindo em dife- rentes atractores co-existentes A1e A2que estejam próximos de um único atractor caótico A. Assumindo que os valores paramétricos a1 e a2 estão próximos, considere em ambos os sistemas S1 e S2 um valor paramétrico fixado a1 (relativo a A1) que verifique (2.19). Obtem-se comportamento caótico sincronizado dos sistemas através da ligação
˙
u1 = f (u1; a(t)) ∧ ˙u2 = f (u2; a(t)) + ρ(u2− u1), em que a(t) é a parametrização definida por
a(t) =
a1, t∈ [0, τs] a2, t > τs ,
onde τsé o tempo de sincronização de S1 e S2para o valor paramétrico a1. Esta definição de a(t) garante que, quando o estado sincrónico u1 = u2 é atingido (no atractor A1), o parâmetro a é desviado para o valor a2. A igualdade u1(τs) = u2(τs) assegura as mesmas condições iniciais para a evolução transitória na direcção de um dos atractores (co-existentes). Tem-se u1(t) = u2(t) para todo o t > τs e é garantida a sincronização num dos atractores.
2.2.2 Ligação unidireccional por função de controle
Suponha que se pretende obter uma ligação apropriada entre dois sistemas dinâmicos não-idênticos ˙u1= f (u1; a) e ˙u2= g (u2; b) tendo uma determinada função de sincroniza- ção generalizada h como objectivo.
Uma das possibilidades é determinar uma função de controle C (u1, u2) nas variáveis dos sistemas de modo que a ligação unidireccional
˙
conduza a sincronização generalizada. Por outro lado, muitos sistemas, entre os quais o sistema de Lorenz, o sistema de Rössler e o sistema hipercaótico de Rössler, podem ser escritos na forma
˙
u2= A· u2+ B (u2)
onde A é uma matriz constante e B (u2) é a parte não-linear. Considere então o caso particular do sistema ligado (2.18) na forma
(2.20) u˙1= f (u1; a) ∧ ˙u2 = A· u2+ B (u2) + C (u1, u2) , em que C (u1, u2) é uma função de controle a determinar.
Na configuração de ligação (2.20), é possível obter explicitamente uma expressão da função de controle C (u1, u2) para uma escolha arbitrária da função de sincronização generalizada h. Para a variável erro de sincronização e = u2−h (u1), o sistema tranversal é dado por
(2.21) ˙e= ˙u2− ˙h (u1) = A· u2+ B (u2) + C (u1, u2)− Dh (u1)· f (u1; a) onde Dh (u1) é a matriz Jacobiana de tipo l× m da função h.
Considere o sistema transversal (2.21) escrito na forma ˙e = (A − A)· e, para certa matriz constante A de ordem m. A resolução da equação
A· u2+ B (u2) + C (u1, u2)− Dh (u1)·f (u1; a) =A− A· e em ordem a C (u1, u2) conduz a
C(u1, u2) =A− A· e − A · [e + h (u1)]− B (u2) + Dh (u1)· f (u1; a) . Obtem-se então a expressão de C (u1, u2) como
(2.22) C(u1, u2) =−A· e − A · h (u1)− B (u2) + Dh (u1)· f (u1; a) em termos da função de sincronização generalizada h considerada.
Considere a função de Lyapunov L(e (t)) = [e(t)]T · e(t). A derivada em ordem a t, dL dt (e) = deT dt · e + e T ·de dt = A− A· eT · e + eT ·A− A· e, admite a simplificação ˙ L (e) = eT ·A− AT · e + eT ·A− A· e = eT ·!A− AT + A− A"· e.
Tem-se ˙L (e) < 0 sempre que a matriz (A − A)T
+ A− A seja definida negativa. Pelo método directo de Lyapunov, o sistema tranversal (2.21) tem um ponto de equilíbrio as- simptoticamente estável na origem. Conclui-se então que a função de controle C (u1, u2) definida por (2.22) garante sincronização generalizada no sistema ligado (2.20) relativa- mente à função h se a matriz (A − A)T
+ A− A for definida negativa.
A matriz A é única a partir das equações do sistema resposta e, para qualquer caso, basta determinar uma matriz A de modo que A − A seja diagonal e com todos os elementos diagonais negativos. A obtenção de uma tal matriz A − A caracterizando (2.21) garante que e → 0 quando t → +∞.