Structure d’espace vectoriel
CHAPITRE 14. STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL
14.2 Sous-espaces vectoriels
• λ×0 +λ×0 =λ(0 + 0) = λ×0 = λ×0 + 0 doncλ×0 = 0.
De même, 0x+ 0x= (0 + 0)x= 0x= 0x+ 0 donc 0x= 0.
• Soit (λ, x)∈K×E. On suppose λx= 0 et λ6= 0.
K est un corps et λ6= 0 donc λ est inversible.
λ−1(λx) = (λ−1×λ)x= 1x=x Orλ−1(λx) =λ−10 = 0.
Doncx= 0
• Soit (λ, x)∈K×E. On aλx+ (−λ)x= (λ+ (−λ))x= 0x= 0.
Or + commute dansE donc −(λx) = (−λ)x.
De même,λx+λ(−x) =λ(x+ (−x)) = λ0 = 0.
Or + commute dansE donc −(λx) =λ(−x).
On en déduit le résultat.
Remarque 14.4 Soit (λ, x, y) ∈ K×E2. λx = λy si et seulement si λ = 0 ou x=y;
14.2 Sous-espaces vectoriels
14.2.1 Définition
Définition 14.2 Soit (E,+,·) un K-espace vectoriel. Une partie F de E est appelée sous-espace vectoriel deE si et seulement si :
• F 6=∅
• pour tout (x, y)∈F2, x+y ∈F
• pour tout (λ, x)∈K×F, λx∈F Remarque 14.5
• Avec les notations de l’énoncé de la définition,F est un sous-groupe de (E,+). En particulier 0∈F.
• Une partie F de E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F 6=∅ et pour tout (λ, x, y)∈K×E2, λx+y ∈F.
• Soit F un sous-espace vectoriel de E. On considère :
⊕ :
(F ×F → F (x, y) 7→ x+y
⊙ :
(K×F → F (λ, x) 7→ λx
On note que (F,⊕,⊙) est un K-espace vectoriel. En pratique ⊕ est notée + et ⊙ est notée ·.
Donc, pour montrer que (T,+,·) est un K-espace vectoriel, on peut montrer que c’est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel connu.
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CHAPITRE 14. STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL
Exemple 14.4 L’ensemble L des fonctions lipschitziennes muni des opéra-tions usuelles est un sous-espace vectoriel de (RR,+,·), donc est un R-espace vectoriel.
L’ensemble des suites complexes convergentes muni des opérations usuelles est un sous-espace vectoriel de (CN,+,·).
14.2.2 Stabilité de la notion de sous-espace vectoriel
Théorème 14.1 Soit I un ensemble non vide et (Fi)i∈I une famille de sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E.
\
i∈I
Fi
est un sous-espace vectoriel de E.
Démonstration. Pour tout i ∈ I, 0 ∈ Fi donc 0 ∈ T
i∈I
Fi. En particulier,
T
i∈I
Fi 6=∅.
Soit (λ, x, y)∈K× T
i∈I
Fi
!2
et i∈I.
(λ, x, y)∈K×Fi etFiest un sous-espace vectoriel deE. Doncλx+y∈Fi. Donc λx+y∈ T
i∈I
Fi. Donc T
i∈IFi est un sous-espace vectoriel de E.
Remarque 14.6 Soit E un K-espace vectoriel et A une partie de E. On appelle F l’ensemble des sous-espaces vectoriels de E contenant A. F 6= ∅ carE ∈ F.
On pose :
F = \
G∈F
G
F est un sous-espace vectoriel de E. A est une partie de F.
F est, au sens de l’inclusion, le plus petit sous-espace vectoriel deE ayant les deux propriétés précédentes, c’est-à-dire, pour tout sous-espace vectoriel F′ de E contenantA, F ⊂F′.
L’espace F est appelé sous-espace vectoriel de E et engendré par A, noté Vect{A}.
Définition 14.3 SoitE un K-espace vectoriel. On dit que Aest une partie génératrice de A si et seulement si E = Vect{A}.
Exemple 14.5 Vect{∅} ={0}, Vect{E}=E et pour tout x0 ∈ E\ {0}, Vect{x0}={λx0, λ∈K}.
14.2. SOUS-ESPACES VECTORIELS
On travaille dans le R-espace vectoriel RR usuel.
S = Vectnx7→ex, x7→e−4xo En particulier S est un sous-espace vectoriel deRR.
Remarque 14.7 La propriété précédente permet de trouver des sous-espaces vectoriels sans utiliser la définition.
Exemple 14.7 On poseA={(λn+ (3µ+λ)en)n∈N,(λ, µ)∈R2}. On veut montrer queA est un R-espace vectoriel.
• On peut utiliser la définition (si le colleur est cinglé).
• On peut montrer à l’aide de la définition que A est un sous-espace vectoriel de (RN,+,·).
• On écrit A sous la forme Vect{(n+en)n∈N,(3en)n∈N} donc A est un sous-espace vectoriel de (RN,+,·), donc un R-espace vectoriel ;
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CHAPITRE 14. STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL
Remarque 14.8 Le complémentaire d’un sous-espace vectoriel n’est jamais un sous-espace vectoriel (considérer 0). L’union de deux sous-espaces vectoriels n’en est pas forcément un.
Exercice : Soit E un K-espace vectoriel. Soit F et G deux sous-espaces vectoriels deE.
Montrer que F ∪G est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si (F ⊂G) ou (G⊂F).
Si F ⊂G ouG⊂F, F ∪G est un sous-espace vectoriel deE.
On suppose que F ∪Gest un sous-espace vectoriel de E etF 6⊂G.
Il existe x∈F tel que x6∈G. x∈F ∪G.
Soit y ∈ G. y ∈ F ∪G et F ∪ G est un sous-espace vectoriel donc x+y∈F ∪G.
On suppose x+y ∈ G. G est un espace vectoriel donc x+y−y ∈ G, donc x∈G.
Il y a donc contradiction. Donc x+y 6∈ G. Or x +y ∈ F ∪G donc x+y∈F.
F est un espace vectoriel doncy+x−x∈F donc y∈F. On a donc G⊂F.
14.2.3 Somme de sous-espaces vectoriels
Définition 14.4 Soit E un K-espace vectoriel etF etG deux sous-espaces vectoriels deE. On appelle somme de F etG et on note F +G la partie de F égale à {x+y,(x, y)∈F ×G}.
Théorème 14.2 SoitE un K-espace vectoriel etF etG deux sous-espaces vectoriels de E. F +G est un sous-espace vectoriel de E.
Démonstration.
• (0,0)∈F ×Gdonc 0∈F +G donc F +G6=∅.
• Soit (λ, x, y)∈K×(F +G)2.
Il existe (a, b) ∈ F ×G tel que x = a+b. Il existe (c, d) ∈ F ×G tel quey=c+d.
λx+y =λa+λb+c+d= (λa+c) + (λb+d) Orλa+c∈F et λb+d∈G donc λx+y∈F +G.
DoncF +Gest un sous-espace vectoriel.
Remarque 14.9
• F +G= Vect{F ∪G}.
14.2. SOUS-ESPACES VECTORIELS
• SiF est un sous-espace vectoriel deE distinct deE,Vect{E\F}=E.
Théorème 14.3 Soit F et G deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectorielE. La décomposition de tout vecteur deF+Gen somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G est unique si et seulement si F ∩G={0}. Démonstration.
• On suppose F ∩G={0}.
Soit (x, y, x′, y′)∈(F ×G)2 tel que x+y=x′+y′.
On ax−x′ =y′−y. Or x−x′ ∈F ety′−y∈Gdonc (x−x′, y′−y)∈ (F ∩G)2.
Doncx−x′ = 0 ety−y′ = 0. Donc x=x′ et y=y′.
• On suppose que tout élément se décompose de manière unique.
Soit x∈F ∩G.
x+ (−x) = 0 = 0 + 0
Or (x,−x)∈F ×Gdonc 0 = x. DoncF ∩G⊂ {0}. L’autre inclusion est claire.
Définition 14.5 Soit E un K-espace vectoriel, F et G deux sous-espaces vectoriels deE. On dit que F etG sont en somme directe si et seulement si F ∩G={0}.
On dit que F et G sont supplémentaires si et seulement si tout vecteur de E se décompose de manière unique sur F × G. Dans ce cas, on note E =F ⊕G.
Exemple 14.8
• R2 = Vect{(1,2)} ⊕Vect{(3,7)}.
• (C,+, |{z}×
réelle
) est un R-espace vectoriel et C= Vect{1} ⊕Vect{i}.
• On appelle C l’ensemble des suites réelles convergentes, Z l’ensemble des suites convergant vers 0 et A l’ensemble des suites constantes.
C est unR-espace vectoriel et Z etA sont des sous-espaces vectoriels deC. De plus, C =Z ⊕A.
Démonstration.
• Une suite constante qui converge vers 0 est nulle doncZ ∩A ⊂ {0}.
• Il est clair que {0} ⊂Z ∩A.
• Soit u∈C. On note l la limite deu.
On note que u= (u−l) +l, u−l ∈Z etl ∈A. Donc u∈Z +A. DoncC ⊂Z +A.
• Il est clair que Z +A ⊂C. Finalement, Z ⊕A =C.
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CHAPITRE 14. STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL
Exemple 14.9 On noteP l’ensemble des applications de Rdans R paires etI l’ensemble des applications de R dans R impaire. RR=P⊕I. Démonstration.
• Soit f ∈P ∩I. Pour toutx∈R,
f(x) =−f(−x) =−f(x) Donc pour tout x∈R,f(x) = 0.
DoncP ∩I ⊂ {0}.
• Il est clair que {0} ⊂P∩I.
• Soit f ∈RR. On pose : g :
R → R
x 7→ f(x) +f(−x) 2 h :
R → R
x 7→ f(x)−f(−x) 2 On vérifie queg ∈P, h∈I et g+h=f. DoncRR ⊂P +I.
• Il est clair que P +I ⊂RR. Finalement, RR=P⊕I.