Familles de vecteurs
CHAPITRE 15. FAMILLES DE VECTEURS
15.2 Bases d’un espace vectoriel
15.2.1 Définition et exemples
Définition 15.7 On dit qu’une famille de vecteurs est une base ssi elle est libre et génératrice.
Ainsi, si (xi)i∈I est une base de E, pour tout x∈E, il existe une unique λ∈EI tel que y=X
i∈I
λixi.
La famille (λi)i∈I s’appelle coordonnées de y dans x.
Exemple 15.3
• C est unC-ev de base 1
• Cest unR-ev de base (1, i). Dans ce cas, les coordonnées sont les parties réelles et imaginaires.
• Kn admet comme base ((δk,p)p∈J1,nK)k∈J1,nK appelée base canonique.
• Kn[X] admet (1, X,· · · , Xn) comme base canonique, et pour tout a ∈ K, (1, X −a,· · · ,(X−a)n) en est une base.
Remarque 15.6 Dans K2 muni de la base canonique ((1,0),(0,1)), (1,2) a pour coordonnées (1,2).
Si on le munit de la base ((1,0),(1,2)), (1,2) a pour coordonnées (0,1).
Ne pas confondre coordonnées et composantes.
Attention aussi à Kn[X] : les coordonnées sur lisent à l’envers, celle des 3X2−X+ 1 sont (1,−1,3).
15.2.2 Existence de base
Théorème 15.2 Soit I un ensemble fini non vide, J ⊂I et x∈ EI géné-ratrice et telle que x|J soit libre.
Alors il existe K ⊂I tel que J ⊂K et x|K soit une base de E.
Démonstration. On pose E l’ensemble des sur-familles libres de J et N = {Card(L), L∈ E}.
Comme J ∈ E, N 6=∅ et N est majoré par Card(I) donc N admet un plus grand élément Card(K) avec K ∈ E.
Montrons que x|K est une base. K ∈ E donc x|K est libre.
Pour tout i∈K, xi est clairement une combinaison linéaire de x|K. Soit i0 ∈I\K.
K∪ {i0} ⊂I,J ⊂K∪ {i0}et Card(K∪ {i0})>Card(K), donc x|K∪{i0}
est liée.
Orx|K est libre donc xi0 ∈Vect{x|K} et pour tout i, xi ∈Vect{x|K}. Orx est génératrice donc x|K aussi.
15.2. BASES D’UN ESPACE VECTORIEL
Exemple 15.4 SiE est de dimension finie et non réduit à {0}, alors
• E admet une base
• De toute famille génératrice deE, on peut extraire une base (Théorème de la base extraite)
• Toute famille libre de E peut être complétée en une base (Théorème de la base incomplète)
15.2.3 Notion de dimension
Proposition 15.1 Si E admet une famille génératrice de n vecteurs alors toute famille de E de plus de n+ 1 vecteurs est liée.
Démonstration. On procède par récurrence. Pour tout n∈N∗, on pose Hn : Pour tout K-ev E admettant une famille génératrice de n vecteurs,
toute famille de E de plus de n+ 1 vecteurs est liée.
• Soit E un ev admettant une famille génératrice à un vecteur noté e.
Soit x, y ∈E2.
Par définition, il existe λ, µ ∈ K2 tel que x = λe et y = µe. Si λ = µ = 0 alors x et y sont nuls et (x, y) est liée. Sinon, λy−µx est une combinaison linéaire nulle à cœfficients non tous nuls de (x, y) qui est aussi liée. D’où H1.
• Soit n tel queHn doit vraie,E un K-ev admettant une famille généra-trice de n+ 1 vecteurs (e1,· · · , en+1) et (x1,· · · , xn+2)∈En+2.
Par définition, pour toutk ∈J1, n+ 2K, il existe (λi,k)i ∈Kn+1 tel que xk =
n+1X
i=1
λi,kei
• Si pour tout k ∈ J1, n+ 2K, λn+1,k = 0, x1,· · ·, xn+2 appartiennent alors en fait à Vect{e1,· · · , en}qui admet une famille génératrice de n vecteurs. Cette famille est donc liée par Hn.
• Sinon, il existek ∈J1, n+2Ktel queλn+1,k 6= 0. Sans perte de généralité, il est loisible de supposer λn+1,n+2 6= 0. Pour tout k ∈ J1, n+ 1K, on pose alors
yk =xk− λn+1,k
λn+1,n+2
xn+2
On remarque que y1,· · · , yn+1 appartiennent à Vect{e1,· · · , en}. Par Hn,y1,· · · , yn est liée. Il existe donc µ1,· · · , µn+1 ∈Kn+1 tel que
n+1X
k=1
µkyk = 0 ie n+1X
k=1
µkxk−
n+1X
k=1
µkλn+1,k
λn+1,n+2
!
xn+2 = 0
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Les scalaires apparaissant dans la dernière combinaison linéaire n’étant pas tous nuls, la famille (x1,· · · , xn+2) est liée.
Finalement, toute famille den+ 2 vecteurs de E est liée, il en est donc de même de toute famille de plus den+ 2 vecteurs de E. D’oùHn+1.
• Le principe de récurrence conclut.
Théorème 15.3 Si E est de dimension finie non réduit à {0} alors toutes les bases de E contiennent le même nombre d’éléments.
Démonstration. Soit b et b′ deux bases de E contenant n et n′ vecteurs.
b est génératrice et b′ est libre, donc n′ 6 n. De même n 6 n′ donc n=n′.
Définition 15.8 On suppose E de dimension finie.
Si E ={0}, on appelle dimension deE le nombre 0.
Sinon, on appelle dimension de E le cardinal commun à toutes ses bases.
Dans les deux cas, elle se note dimK(E) ou dim(E) s’il n’y a pas d’ambi-guïté.
Exemple 15.5
• dimC(C) = 1
• dimR(C) = 2
• dim(Kn) =n
• dim(Kn[X]) = n+ 1
Remarque 15.7 Pour connaître la dimension d’un espace vectoriel de dimen-sion finie, il suffit d’en trouver une base.
Exemple 15.6 Soit I un intervalle de R,a ∈C0(I).
L’ensemble des solutions de y′ =ay est un sev de D1(I) de dimension 1 car engendré parx7→eA(x) avec A une primitive dea.
Proposition 15.2 SiE etE′ sont de dimension finie, alors E×E′ est de dimension finie et dim(E×E′) = dim(E) + dim(E′).
Démonstration. C’est clair si E ou E′ est réduit à {0}.
Sinon, on note n = dimE et p = dimE′. Il existe une base (e1,· · · , en) deE et (f1,· · · , fp) de E′.
Montrons que ((e1,0),· · ·,(en,0),(0, f1),· · · ,(0, fp)) est une base deE× E′.
• Soit (x, y)∈E×E′. On écrit x=
Xn i=1
λiei et y=
Xp k=1
µjfj. Alors
(x, y) =Xn
i=1
λi(ei,0) +
Xp j=1
µj(0, fj)
15.2. BASES D’UN ESPACE VECTORIEL
Définition 15.9 On appelle droite tout ev de dimension 1, plan tout ev de dimension 2.
Démonstration. Si on prouve 1⇔2 alors on a le résultat.
1⇒2 On suppose que (e1,· · · , en) n’est pas génératrice. Le théorème de la base incomplète assure qu’il existe une sur-famille stricte de (e1,· · · , en) qui est une base. Or icelle contient au moins n+ 1 vec-teurs. Contradiction.
2⇒1 On suppose (e1,· · · , en) non libre. On peut alors en extraire une base qui contient au plus n−1 vecteurs, ce qui est absurde.
Exemple 15.7
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Donc (L1,· · · , Ln) est libre dans Kn−1[X] qui est de dimension n. C’en est donc une base.
15.3 Étude pratique d’une famille de vecteurs
Soit n ∈ N∗ et (f1,· · · , fn) ∈ En. On construit (g1,· · · , gn) ∈ En en
Démonstration. L’égalité des Vect est déjà montrée.
On suppose f libre. Soit (µ1,· · · , µn) tel que
Définition 15.10 provisoire On appelle rang d’une famille le nombre de vecteurs utiles de cette famille.
On appelle rang d’une matrice le rang de la famille formée par ses co-lonnes.
Remarque 15.8 Le théorème précédent assure que le rang est invariant par pivot de Gauss.
15.3. ÉTUDE PRATIQUE D’UNE FAMILLE DE VECTEURS Extraire de (A, B, C, D) une base de Vect{A, B, C, D} et donner les co-ordonnées de chaque polynôme dans cette base.
Un pivot de Gauss en colonnes assure :
rg(A, B, C, D) = rg
On a donné un algorithme pour extraire une base d’une famille généra-trice. Il reste à donner une méthode pour compléter une famille libre en une base.
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On note ce système d’équations (S).
On note que :
15.4. SYSTÈMES LINÉAIRES
• Tout système linéaire denéquations àpinconnues peut être interprété comme une équation vectorielle àpinconnues dans un espace vectoriel de dimension n muni d’une base.
Théorème 15.6 Soit(S)un système linéaire denéquations àn inconnues.
Les assertions suivantes sont équivalentes :
• (S) admet 0 comme seule solution homogène
• (S) admet au plus une solution pour tout second membre
• (S) admet au moins une solution pour tout second membre Un tel système est dit de Cramer.
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