Groupes, anneaux, corps
CHAPITRE 12. GROUPES, ANNEAUX, CORPS
Définition 12.4 Soit E une ensemble muni de deux lois de composition internes ⊥et ⋆. On dit que ⊥est distributive par rapport à ⋆ssi, pour tout x, y, z ∈E3,x⊥(y ⋆ z) = (x⊥y)⋆(x⊥z) et (y ⋆ z)⊥x= (y⊥ x)⋆(z ⊥x).
Remarque 12.3 Si ⊥ est une loi de composition interne commutative sur un ensemble E, il faut et il suffit de vérifier une seule des deux égalités précédentes pour obtenir la distributivité de ⊥ par⋆.
Exemple 12.2
• Les lois additives et multiplicatives usuelles sur les ensembles de nombres sont associatives et commutatives, les lois multiplicatives étant distri-butives sur les additives.
• Soit E un ensemble. Les lois ∪ et ∩ sur P(E) sont associatives, com-mutatives et distributives l’une par rapport à l’autre.
• La loi◦de composition usuelle de RR est associative mais pas commu-tative.
• L’application (a, b)7→ ab de (Q∗+)2 dans Q∗+ est une loi de composition interne non associative.
12.1.3 Élements remarquables d’un ensemble
Définition 12.5 Soit ⊥une loi de composition interne sur un ensemble E.
On appelle élément neutre pour ⊥ tout élément e ∈ E tel que pour tout x∈E,e⊥ x=x⊥e=x.
Proposition 12.1 Soit ⊥ une loi de composition interne sur un ensemble E. Si E possède un élément neutre pour⊥ alors icelui est unique.
Démonstration. Soit e ete′ deux neutres. Par définition, e=e⊥e′ =e′. Définition 12.6 Soit ⊥une loi de composition interne sur un ensemble E possédant un élément neutree. On dit qu’un élément a∈E est symétrisable ssi il existe a′ ∈E tel que a⊥a′ =a′ ⊥a=e.
Remarque 12.4 Quand les lois sont commutatives, les définitions précédentes se simplifient.
Exemple 12.3
• L’élément neutre pour E muni de ⊥ est, s’il existe, symétrisable.
• Dans (R+,×), 1 est neutre et tout élément différent de 0 est symétri-sable.
• SoitE un ensemble. Si on munitP(E) de la loi∩(resp.∪),E (resp.∅) est le neutre de P(E) et le seul élément symétrisable de cet ensemble.
• Soit E un ensemble. IdE est le neutre de EE pour la loi ◦ usuelle. Les éléments symétrisables sont les les bijections.
12.1. LOIS DE COMPOSITION
12.1.4 Propriétés des lois associatives
Dans ce paragraphe,Edésigne un ensemble muni d’une loi de composition interne associative possédant un neutre e.
Proposition 12.2 Soitaun élément deE symétrisable. Il existe un unique a′ deE tel que a⊥a′ =a′ ⊥a=e. Cet élément est appelé symétrique de a.
Démonstration. Soit a′ eta′′ deux éléments deE vérifianta ⊥a′ =a′ ⊥a= a⊥a′′ =a′′⊥a=e.
On a (a′ ⊥ a) ⊥ a′′ = a′′ et a′ ⊥ (a ⊥ a′′) = a′ donc par associativité a′ =a′′.
Proposition 12.3 Soit a et b deux éléments symétrisables deE, de symé-triques respectifs a′ et b′. Alors a ⊥ b est symétrisable de symétrique égal à b′ ⊥ a′.
Démonstration. Comme ⊥ est associative,
(a ⊥b)⊥(b′ ⊥a′) =a⊥(b ⊥b′)⊥a′ =a⊥a′ =e
De même (b′ ⊥ a′) ⊥ (a ⊥ b) = e, ce qui assure le résultat par unicité du symétrique.
Remarque 12.5 Ceci prouve en particulier la proposition analogue pour ◦ (corollaire 2.1), en lui ajoutant la partie existence qui avait été montrée à part.
Proposition 12.4 Soit aun élément symétrisable de E. Soit x, y ∈E2 tel que a⊥x=a ⊥y (resp.x⊥a =y⊥a) alors x=y.
Démonstration. Notons a′ le symétrique de a. On a alors par associativité x⊥(a⊥a′) = y⊥(a⊥a′) ie x=y.
12.1.5 Notations multiplicatives
Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne associative et possédant un neutre. On note multiplicativement la loi de E, autrement dit, l’image de (x, y)∈E2 est notée xy.
On note alors usuellement 1 le neutre e de E. Pour tout x, n ∈ E×N, on notexn le produit de x avec lui-mêmen fois si n 6= 0, avec la convention x0 =e.
Pour tout x, n ∈ E ×Z− avec x symétrisable, on note xn le produit du symétrique de x n fois. En particulier, x−1 est le symétrique de x. Avec ces notations, xm+n=xmxn et (xm)n =xmn.
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Remarque 12.6 Soit (x, y) ∈ E2. On a (xy)2 = xyxy et x2y2 = xxyy qui sont a priori différents si la loi n’est pas commutative.
12.1.6 Notations additives
Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne associative, commutative et possédant un neutre. On note additivement la loi de E, autrement dit, l’image de (x, y)∈E2 est notéex+y. (Par convention, la loi doit être commutative)
On note alors 0 le neutre de E et comme précédemment, nx la somme dex avec lui-même n fois sin 6= 0, et 0 sinon. De plus si x est symétrisable etn <0, on notenx la somme du symétrique de x avec lui-même n fois. En particulier,−x désigne le symétrique de x.
Avec ces notations, (n+m)x=nx+mx et (mn)x=m(nx).
12.2 Groupes et morphismes de groupes
Définition 12.7 Un groupe est un ensemble muni d’une loi de composition interne associative, possédant un neutre et pour laquelle tout élément est symétrisable. On dit qu’il est abélien ssi sa loi est commutative.
Exemple 12.4 On a déjà utilisé de nombreux groupes. On peut penser à tous les groupes additifs de nombres comme (Z,+) ou (R,+), à tous les groupes multiplicatifs de nombres comme (Q∗,×), (R∗+,×) ou (U,×).
On pensera aussi à tous les groupes liés aux espaces fonctionnels comme (C2(R),+), (C∞(]0,1[),+).
Tous les groupes précédents sont abéliens. En revanche, si E est un en-semble contenant au moins trois éléments, l’enen-semble des bijections de E dans E muni de la loi de composition usuelle est un groupe non abélien.
Définition 12.8 Soit (G,∗) et (G′,•) deux groupes et f une application de G dans G′. On dit que f est un morphisme de groupes ssi, pour tout (x, y) ∈ G2, f(x∗y) = f(x)•f(y). On dit que f est un isomorphisme de groupes ssif est un morphisme de groupes bijectifs.
Exemple 12.5 ln est un isomorphisme de groupes de (R∗+,×) dans (R,+).
Exemple 12.6 Soit n∈N. L’application
((Cn+1(R),+) → (Cn(R),+) f 7→ f′
est un morphisme de groupes surjectif et non injectif.
12.2. GROUPES ET MORPHISMES DE GROUPES
Exemple 12.7 Soit −→P un plan vectoriel euclidien et −→x ∈ −→P. On note h−→x ,−→yile produit scalaire de deux vecteurs −→x et−→y de−→
P. L’application
(−→
P ,+) → (R,+)
−
→y 7→ h−→x ,−→yi
est un morphisme de groupes non injectif et surjectif ssi −→x 6=−→0 . Exemple 12.8 L’application
((R,+) → (U,×) t 7→ eit
est un morphisme de groupes surjectif et non injectif.
Dans toute la suite, la loi de toute groupe G sera notée additivement si G est abélien et multiplicativement siG n’est pas a priori abélien.
Proposition 12.5 SoitG etG′ deux groupes, f un morphisme de groupes deG dans G′. Pour tout élément (x, n)∈G×Z, f(xn) =f(x)n.
En particulier, l’image du neutre de G est le neutre de G′ (cas n = 0) et l’image du symétrique de x∈G est le symétrique de f(x) (cas n =−1).
Démonstration. Il suffit de traiter les casn= 0 etn=−1 (le reste étant alors vrai par récurrence). On remarque que 1·f(1) =f(1) =f(1·1) = f(1)·f(1) donc f(1) = 1 puisque f(1) est symétrisable.
Soitx∈G. On af(x)·f(x−1) =f(x·x−1) = f(1) = 1 etf(x−1)·f(x) = 1 de même. Donc f(x−1) est symétrisable de symétrique f(x)−1.
Remarque 12.7 Les propriétés générales des structures abstraites s’appliquent dans tous les cas particuliers, évitant ainsi de faire trop de preuves identiques.
La proposition précédente, appliquée dans le cadre de l’exemple 12.5, assure que ln(1) = 0, et pour tout x ∈ R∗+, ln(x1) = −ln(x). Dans le cadre de l’exemple 12.8, assure que e0i = 1et pour tout t∈R, e−it= e1it.
Proposition 12.6 La composée de deux morphismes de groupes est un morphisme de groupes. La réciproque d’un isomorphisme de groupes est un isomorphisme de groupes.
Démonstration.
• Soit G, G′, G′′ trois groupes, f un morphisme de G → G′ et g un morphisme de G′ →G′′. Soitx, y ∈G2.
(g◦f)(xy) = g(f(xy)) =g(f(x)f(y)) =g(f(x))g(f(y)) = (g◦f)(x)(g◦f)(y) Doncg ◦f est un morphisme de groupes de G→G′′.
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• On suppose que f est bijective. Soit (x, y)∈G′2.
f(f−1(x)f−1(y)) =f(f−1(x))f(f−1(y)) =xy
donc en composant parf−1 à gauche,f−1(x)f−1(y) =f−1(xy).f−1 est donc un morphisme de groupes de G′ dans G, et le caractère bijectif résulte des propriétés des bijections.
12.3 Sous-groupes
Définition 12.9 Soit G un groupe. On appelle sous-groupe de G toute partie H de G non vide et telle que pour tout (x, y) ∈ H2, xy ∈ H et x−1 ∈H.
Exemple 12.9 Soit f une fonction réelle périodique définie sur R. L’union de{0} et de l’ensemble des périodes def est un sous-groupe de (R,+).
Remarque 12.8 Le neutre d’un groupe appartient nécessairement à tous ses sous-groupes.
Soit Gun groupe etH un sous-groupe de G. On remarque que H muni de la loi de composition interne qui à x, y dans H associe le produit xy calculé dansGest un groupe. Ce point est souvent utile pour prouver qu’un ensemble est un groupe : on montre que c’est un sous-groupe d’un groupe connu.
Proposition 12.7 Soit G un groupe. L’intersection de deux sous-groupes de G est un sous-groupe de G. En revanche, l’union de deux sous-groupes n’est est pas toujours un, et le complémentaire d’un sous-groupe n’est jamais un sous-groupe de G(ne contient pas l’élément neutre).
Proposition 12.8 SoitGetG′ deux groupes etf un morphisme deGdans G′. L’image directe par f d’un sous-groupe H de G est un sous-groupe de G′. L’image réciproque d’une sous-groupe H′ de G′ est une sous-groupe de G.
Démonstration.
• Par définition, 1 ∈ H. On en déduit f(1) ∈ f(H). Or f(1) = 1 donc 1∈f(H) qui est donc non vide.
Soit x′, y′ ∈ f(H)2. On a par définition x, y ∈ H tel que x′ =f(x) et y′ =f(y).
On a x′y′−1 =f(x)f(y−1) =f(xy−1)∈f(H). Donc f(H) est un sous-groupe de G′.
• Comme 1 ∈ H′ et f(1) = 1, 1 ∈ f−1(H′). De plus, soit (x, y) ∈ f−1(H)2. On a f(x) ∈ H′ et f(y)∈ H′ donc f(xy−1) = f(x)f(y)−1 ∈ H′.
12.4. STRUCTURE D’ANNEAU ET DE CORPS Doncxy−1 ∈f−1(H′). Donc f−1(H′) est un sous-groupe de G.
Définition 12.10 Soit G etG′ deux groupes, f un morphisme de groupes de G dans G′. Le sous-groupe f(G) de G′ est appelé image de f et noté Im(f). Le sous-groupe f−1({1}) de Gest appelé noyau de f et noté Ker(f).
Proposition 12.9 Soit G et G′ deux groupes. Un morphisme de groupes f de G dans G′ est surjectif ssi Im(f) = G′ et injectif ssi Ker(f) est réduit au neutre deG.
Démonstration.
• Le premier point découle de la définition. Supposons f injective. Soit (x, y)∈Ker(f)2. On af(x) = 1 etf(y) = 1 doncf(x) =f(y) etx=y.
Donc Ker(f) a un seul élément et contient 1 car c’est un sous-groupe.
Donc Ker(f) ={1}.
• Si Ker(f) ={1}, soitx, y ∈G2 tel quef(x) =f(y). On af(x)f(y)−1 = 1 donc f(xy−1) = 1 donc xy−1 ∈ Ker(f) = {1} donc x = y et f est injective.
Exemple 12.10 Le noyau du morphisme dans l’exemple 12.8 est 2πZ.
Remarque 12.9 Soit G et G′ deux groupes abéliens, f un morphisme de groupes de G dans G′ etb ∈G′. L’ensemble des solutions de l’équation (E): f(x) = b d’inconnue x ∈ G est {a+y, y ∈ Ker(f)} où a est une solution particulière de (E). En effet, x ∈ G est solution de (E) ssi f(x) = b ssi f(x) =f(a) ssif(x−a) = 0 ssi x−a ∈Ker(f).
Résoudre (E) revient donc à résoudre f(x) = 0 d’inconnue x ∈ G, puis chercher une solution particulière de (E).
12.4 Structure d’anneau et de corps
12.4.1 Définitions et exemples
Définition 12.11 On appelle anneau tout triplet (A,+,×) où A est un ensemble muni de deux lois de composition interne usuellement dénommées addition et multiplication, vérifiant :
• (A,+) est un groupe abélien de neutre 0 appelé élément nul.
• × est associative et possède un neutre noté 1 et appelé élément unité.
• La multiplication est distributive par rapport à l’addition.
On dit queAest un anneau commutatif ssi×est commutative. On appelle anneau nul tout anneau contenant un seul élément (seul type d’anneau où 0 = 1).
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Dans tous les anneaux, on note additivement la première loi et multiplica-tivement la deuxième, sauf s’il existe déjà un nom officiel aux lois considérées.
Définition 12.12 On appelle corps tout anneau non nul où tout élément distinct de 0 est inversible.
Exemple 12.11
• (Q,+,×), (R,+,×) et (C,+,×) sont des corps.
• (C3(R),+,×), (C∞(]1,2[),+,×) sont des anneaux commutatifs mais pas des corps.
• ({x7→ ax, a∈R},+,◦) est un corps.
Définition 12.13 On appelle sous-anneau d’un anneau A toute partie de A qui est un sous-groupe additif de (A,+), stable par × et contient 1.
On appelle sous-corps d’un corps K tout sous-anneau de A qui est un corps.
Remarque 12.10 Comme pour les groupes, prouver queB est un sous-anneau de A permet de prouver que B est un anneau. On montre alors que c’est un sous-anneau d’un anneau connu.
12.4.2 Règles de calculs dans un anneau
Dans un anneau (A,+,×), on dispose des règles valables dans tout groupe abélien et de celles liées au caractère associatif de la multiplication. On a de plus les résultats suivants.
Proposition 12.10 Pour tout (x, y, n)∈A2×Z, x(ny) = (nx)y=n(xy).
Démonstration.
• Montrons le résultat pour n = 0. On a x0 =x(0 + 0) = x0 +x0 donc x0 = 0. De même 0x= 0.
• Montrons le résultat pourn =−1. On a 0 =x0 = x(y−y) =xy+x(−y) donc x(−y) =−(xy). On montre de même que (−x)y=−(xy).
• Le résultat annoncé découle de la distributivité de × sur + et du deuxième point.
Remarque 12.11 Si A n’est pas l’anneau nul, (A,×) n’est pas un groupe, puisque pour tout x∈A, 0x=x0 = 0.
De plus, si(x, y)∈A2, (−x)(−y) =−(x(−y)) =− −(xy) =xy. On peut donc appliquer les règles de signe classique.
Proposition 12.11 Soit (A,+,×) un anneau,n ∈N∗ eta, bdeux éléments
12.4. STRUCTURE D’ANNEAU ET DE CORPS
deA qui commutent (ie ab=ba).
(a+b)n =Xn
p=0
n p
!
apbn−p
an−bn = (a−b)
nX−1 p=0
apbn−1−p = (a−b)
nX−1 p=0
ap−1bn−p Démonstration. Comme dans C.
Remarque 12.12 La première formule est la formule de Newton. La seconde permet de trouve la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de raison a telle que 1−a soit inversible.
Définition 12.14 On dit que x∈A est un diviseur de 0 ssi il existe y6= 0 tel que xy = 0 ou yx= 0.
On dit que A est intègre ssi il n’a pas de diviseur de 0.
Proposition 12.12 Dans la définition de diviseur de 0, y n’est pas inver-sible. De même, un diviseur de 0 est clairement non inverinver-sible.
Proposition 12.13 Un corps est nécessairement intègre.
Démonstration. Contraposée de la proposition précédente.
Exemple 12.12 (RR,+,×) est un anneau non intègre car le produit des deux applications non nullesx7→max{x,0} etx7→min{x,0} est nul.
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