6.1 Relation d’ordre sur R
6.1.1 Rappels
Définition 6.1 On admet l’existence d’un corps totalement ordonné (R,+,×,6 ) tel que :
– pour tout (x, y, z)∈R3 vérifiantx6y, on ait x+z 6y+z.
– pour tout (x, y)∈R2 vérifiant 06x et 06y, on ait 06xy.
À partir des points admis, on peut démontrer tout ce qu’on sait faire avec +,×, 6, − et÷.
Exemple 6.1 Soit (x, y, z) ∈ R2 × R− vérifiant x 6 y. Montrons que xz >yz.
x6y donc x+ (−x)6y−x donc 06y−x.
De même, comme z 60, −z >0.
Donc 06xz−yz. Donczy+ 0 6xz−zy+zy.
Donc yz6xz.
Exemple 6.2 Soit (x, y, z, t) ∈ R4 vérifiant x 6 y et z 6 t. Montrer que x+z6y+t.
x6y donc x+z 6y+z.
z 6t donc y+z 6y+t.
Donc x+z 6y+t.
Définition 6.2 Soit x ∈ R. On appelle valeur absolue de x et on note |x| le réel max{x,−x}.
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CHAPITRE 6. LE CORPS DES RÉELS Proposition 6.1 Soit (x, y)∈R2.
|x|= 0 ssi x= 0
|xy|=|x||y| Si y6= 0,
x y
= |x|
|y|
||x| − |y||6|x+y|6|x|+|y|
Définition 6.3 Soit (x, y)∈R2. On appelle distance dexàyle réel|x−y|. Montrer que |x|6y revient à montrer x6y et−x6y.
Montrer que |x|>y revient à montrer x>y ou−x>y.
6.1.2 Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R
Définition 6.4 SoitAune partie deRnon vide. Si l’ensemble des majorants deA admet un plus petit élément, celui-ci est appelé borne supérieure deA et se note sup(A).
Si l’ensemble des minorants de A admet un plus grand élément, celui-ci est appelé borne inférieure deA et se note inf(A).
Remarque 6.1 Soit A une partie de R.
On suppose queA admet un plus grand élément.Aadmet donc une borne supérieure égale à max(A).
On suppose que A admet une borne supérieure qui appartient à A. Alors sup(A) = max(A).
Remarque 6.2 Soit A une partie de R et a ∈ R. Pour montrer que a = sup(A), il faut et il suffit de montrer :
– pour tout x∈A, x6A.
– pour tout b ∈R vérifiant b < a, il existex ∈A tel que x > b.
ou :
– pour tout x∈A, x6A.
– pour tout c∈R vérifiant (pour toutx∈A vérifiantx6c), on a a6c.
Exemple 6.3 Montrons que 1 = sup([0,1[).
– pour tout x∈[0,1[,x <1.
– pour toutb ∈]−∞,1[, on vérifie que maxn12,1+b2 o∈[0,1[ et maxn12,1+b2 o>
b.
Proposition 6.2
• Soit Aune partie non vide de Radmettant a pour borne supérieure et b comme borne inférieure. Alors a>b.
6.2. THÉORÈME DE LA BORNE SUPÉRIEURE
• Soit A et B deux parties non vides de R telles que A ⊂ B. Si A et B admettent une borne supérieure, alors sup(A) 6sup(B). De même, si A etB admettent une borne inférieure, alors inf(A)>inf(B).
Démonstration.
• Il existe x∈A car A est non vide. sup(A) majore A donc x6sup(A).
inf(A) minore A donc x>inf(A).
Finalement, inf(A)6sup(A).
• Soit x∈A. Comme A⊂B,x∈B. Par définition, x6sup(A).
Donc, pour tout x∈b, x6sup(A). Donc sup(A) majoreB.
Remarque 6.3 Soit C une partie non vide de R et z ∈R.
• Pour montrer quesup(C)6z, il suffit de montrer que pour toutt ∈C, t6z.
• Pour montrer que sup(C) > z, il suffit de montrer qu’il existe t ∈ C tel que t>z.
• Pour montrer que inf(C)6z, il suffit de montrer qu’il existet ∈C tel que t6z.
• Pour montrer que inf(C)>z, il suffit de montrer que pour tout t ∈C, t>z.
Exercice : Soit A une partie non vide de R. On admet que pour tout x ∈ R, {|x−y|, y ∈ A} admet une borne inférieure notée d(x, A). Montrer que pour tout (x, y)∈R2, |d(x, A)−d(y, A)|6|x−y|.
Soit (x, y)∈R2. Soit u∈A. On note que |x−u|6|x−y|+|y−u|. Or |x−u| ∈ {|x−θ|, θ∈A}. Donc |x−u|>inf({|x−θ|, θ ∈A}).
Donc d(x, A)6|x−y|+|y−u|donc d(x, A)− |x−y|6|y−u|. Donc d(x, A)− |x−y|minore {|y−θ|, θ∈A}.
Donc d(x, A)− |x−y|6inf({|y−θ|, θ ∈A}).
Donc d(x, A)−d(y, A)6|x−y|.
Finalement, pour tout (d, y)∈R, d(x, A)−d(y, A)6|x−y|. On déduit le résultat par symétrie.
6.2 Théorème de la borne supérieure
6.2.1 Énoncé
Théorème 6.1 Toute partie de R non vide et majorée admet une borne supérieure.
Corollaire 6.1 Toute partie de R non vide et minorée admet une borne inférieure.
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CHAPITRE 6. LE CORPS DES RÉELS
Démonstration. Soit P une partie non vide de R minorée. On pose Q = {−x, x∈P}.Qest non vide et majoré. DoncQadmet une borne supérieure.
On vérifie que−sup(Q) = inf(P).
6.2.2 Partie entière d’un réel
Théorème 6.2 Soit x∈R. Il existe un unique q ∈Z tel que x∈[q, q+ 1[.
q est appelé partie entière de x et noté E(x).
Démonstration. Soit x∈R+.
On pose E ={p∈N, x < p+ 1}.
• – On suppose E =∅, c’est-à-dire pour tout p∈N,x >p+ 1, c’est-à-dire que x majoreN.
Or N 6= ∅ donc N est une une partie non vide et majorée de R. Il admet donc une borne supérieure notée M.
Soitp∈N. On note que p+ 1∈N. Doncp+ 16M doncp6M−1.
Donc pour tout p∈ N, M −1 majore N. Donc il y a contradiction.
Donc E 6=∅.
– Comme E est une partie non vide de N, E admet un plus petit élément noté p.
Par définition, p ∈ E et p−1 6∈ E. Donc p 6 x < p + 1. Donc E(x) =p.
• – Il est clair que pour tout x∈Z−,x6x < x+ 1. DoncE(x) =x.
– Soitx∈R−\Z−.
On sait que −x∈R+ donc il existe q∈Z tel que q6−x < q+ 1.
Comme x 6∈Z−, x 6=q donc q < −x < q+ 1. Donc (−q−1) + 1>
x>−q−1 et −q−1∈Z. Donc E(x) =−q−1.
• Soit x∈R. Soit (q, q′)∈Z2 tel que q6x < q+ 1 et q′ 6x < q′+ 1.
On note que x−1< q6x et x−1< q′ 6x.
Donc−x6−q′ <−x+ 1. Donc−1< q−q′ <1. Or q−q′ ∈Z. Donc q=q′.
Il y a donc unicité de la partie entière.
Application : Soitn ∈N∗eta∈R. Il existep∈Ztel quep610na < p+1.
On note que 10−np6a <10−n(p+1). Doncaadmet une écriture décimale approchée à 10−n près.
Exemple 6.4 Soit a∈N\ {0,1,2}. Déterminer E(√
a2+ 5).
On note que a2 6a2+ 5 et a2 + 5<(a+ 1)2. Comme les nombres sont positifs, a6√
a2+ 5 < a+ 1.
Ora ∈N donc E(√
a2+ 5) =a.
6.2. THÉORÈME DE LA BORNE SUPÉRIEURE
6.2.3 Notion d’intervalle
Définition 6.5 On appelle intervalle de R toute partie I de R telle que pour tout (x, y)∈I2 vérifiant x6y, {z ∈R, x6z 6y} ⊂I.
On vérifie qu’un intervalle I est tel que l’une des propositions suivantes est vraie :
• I =∅
• I =R
• il existe a∈R tel que I = [a,+∞[
• il existe a∈R tel que I =]a,+∞[
• il existe a∈R tel que I =]− ∞, a[
• il existe a∈R tel que I = [−∞, a]
• il existe (a, b)∈R2 vérifiant a6b tel que I = [a, b[
• il existe (a, b)∈R2 vérifiant a6b tel que I = [a, b]
• il existe (a, b)∈R2 vérifiant a6b tel que I =]a, b]
• il existe (a, b)∈R2 vérifiant a6b tel que I =]a, b[
Démonstration pour quelques cas.
• SoitI un intervalle non vide, majoré, non minoré et contenant sa borne supérieure. Montrons que I =]− ∞,sup(I)].
Soitx∈I. Comme sup(I) majoreI,x6sup(I) doncx∈]−∞,sup(I)].
DoncI ⊂]− ∞,sup(I)].
Soit x ∈]− ∞,sup(I)]. sup(I) = I et x 6sup(I). Or x ne minore pas I.
Donc il existe t ∈ I tel que t < x. t et sup(I) appartiennent à I et t < x6sup(I) donc x∈I.
Finalement I =]− ∞,sup(I)].
• SoitI un intervalle non vide minoré et non majoré ne contenant pas sa borne inférieure. Motrons que I =] inf(I),+∞[.
Soit x∈I. Comme inf(I) minore I,x>inf(I).
Comme inf(I) 6∈ I, x > inf(I) donc x ∈] − ∞,sup(I)]. Donc I ⊂ ] inf(I),+∞[.
Soitx∈] inf(I),+∞[. Commexne majore pas I, il existet∈I tel que t > x.
Commex >inf(I),xne minore pasI donc il existez ∈I tel quez < x.
Comme (t, z)∈I2 et z < x < t, x∈I.
Finalement I =] inf(I),+∞[.
Proposition 6.3 Soit (a, b)∈R2 tel que a 6b.
Q∩]a, b[6=∅
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CHAPITRE 6. LE CORPS DES RÉELS (R\Q)∩]a, b[6=∅
Démonstration. On posen =Eb−3a+1. On note quen ∈N∗etn(b−a)>3.
On pose q= E(nb)n−1.
• q∈Q
• E(nb)−1< nb doncq < b
• E(nb)> nb−1 doncE(nb)−1> nb−2. Or nb−2> na donc q > a.
Finalement, q∈Q∩]a, b[.
En notant que {r√
2, r∈Q∗} ⊂R\Q, on déduit le deuxième résultat du premier.
6.3 Droite numérique achevée
Définition 6.6 On appelle droite numérique achevée et on note R l’en-semble formé par la réunion de R et de{−∞,+∞}.
On convient que :
– pour tout x∈R\ {+∞},
(x+ (−∞) =−∞
−∞+x=−∞
– pour tout x∈R\ {−∞},
(x+ (+∞) = +∞ +∞+x= +∞ – pour tout x∈R∗+∪ {+∞},
x×(+∞) = +∞ +∞ ×x= +∞ x×(−∞) = −∞
−∞ ×x=−∞
– pour tout x∈R∗−∪ {+∞},
x×(+∞) = −∞
+∞ ×x=−∞
x×(−∞) = +∞
−∞ ×x= +∞
– pour tout x∈R, (
x6+∞ x>−∞