SOLUTION APPROCHEE PAR EXCES {36}

A l’hypothèse pseudo-optimale par défaut correspond une hypothèse symétrique ! l’hypothèse pseudo-optimale par excès.

L’application de l’algorithme pseudo-optimal aux problèmes engendrés par cette nouvelle hypothèse rédout une classe de cas particuliers exposés ci-dessous.

Nous avons supposé, en pseudo-optimisation, que les

contraintes pouvaient être légèrement et localement violées. Or dans certains processus, les contraintes inégalités

C 7.4.1 5 ;

R{ U ( t ] , X C t ] , t} > 0 C7.4.1D

ne peuvent en aucun cas être violées sans entraîner des dommages pour l’installation. En réalité, de telles

contraintes devraient s’écrire ;

R{uCt],X(t),t}> 0 C7.4.2)

Etant donné l’approche par violation des contraintes, la méthode pseudo-optimale peut présenter, dans ce cas-ci,

de la solution optimale, limite de convergence des itérations

P sBUdO-O Ptima1es, il se pourrait que la précision du calculateur ne soit pas suffisante pour assurer, aux temps d'activation et de désactivation, l’absence totale de dépassements.

Pour garantir une grande sécurité d’utilisation, une première technique consiste à écrire l'expression C 7.4 . "1 1 sous forme pseudo-optimale (6.5.5} mais avec des tolérances négatives :

R{UCt},XCt},t} + e>0 (7.4.3}

avec

e < 0 (7.4.4}

l'expression (7.4.3} est donc équivalente à (7.4.4}.

Si cette technique est efficace du point de vue de la violation des contraintes, elle ne donne pas entière satisfaction dans la mesure où elle est trop brutale.

En effet, imposer l'expression (7.4.3} revient à hausser le seuil d'activité du vecteur initial des contraintes inégalités

(7.4.1}.

Or, les dépassements se produisent aux voisinages des temps d'activation et de désactivation des contraintes; c’est donc là qu’il faudra imposer des conditions supplémentaires et non pas sur toute la durée d'activation de chaque contrainte comme l’impose l'expression (7.4.3}.

La technique suivante, plus fine et plus efficace que la précédente, découle tout naturellement de la théorie pseudo­ optimale, tout au moins du point de vue raisonnement.

Reprenons la solution sous forme de splines discrètes (7.4.5}:

u^(tj}, x^(tj} j = 0,1,...,p (7.4.5}

et introduisons l'hypothèse suivante : Hypothèse pseudo-optima1e par excès Si une contrainte (7.4.6}

R,{u(t},x(t},ÿ}> 0 k 1,...,t (7.4.6}

K

est activée en un au moins des deux noeuds consécutifs de l’intervalle (tj,t^^^}, (j=0,1,...,p-1}, dans la résolution discrète, alors on suppose que cette contrainte (7.4.6} est active sur tout l'intervalle (t.,t. .} dans la résolution

j 3*^

continue.

Cette hypothèse revient donc à remplacer toutes les violations de la théorie pseu^l^^^f^timale par des aptiviolations .

Dès lors, il suffit, dans les chapitres 5 et 6, de remplacer les termes ” violations " par " antiviolotions " et

"convergence par défaut" par "convergence par excès'". En effet, comme nous imposons à présent des contraintes plus fortes que les contraintes réelles, il n'y a plus convergence par défaut mais bien convergence par excès, c'est-à-dire par valeurs de coût supérieures au coût optimal, ün ne dispose donc plus de solutions pseudo-optimales mais de solutions suboptimales d'un type particulier. En réduisant de plus en plus les antiviolations . par un algorithme identique à l'algorithme pseudo-optima1, on converge vers la solution optimale et la commande utilisée nous donne l'assurance de ne jamais violer les contraintes.

7 . 5 DPTIhALISATION MIXTE

Le paragraphe 7.4 nous a permis de nous approcher des problèmes réels rencontrés en pratique.

En effet, dans les applications réelles, certaines contraintes inégalités doivent toujoürs être respectées et d'autres admettent certaines tolérances, dès lors, dans l'expression introduite plus haut et reproduite ci-dessous :

R{uCt] ,xCt),t} +e > 0 C7 .5.1 ]

e peut être positif ou nul suivant l'existence de l'absence de tolérances ;

e,>0 k£l,...,r C7.5.2]

K

Dans l'algorithme pseudo-optima1 exposé au chapitre 6, nous avons supposé l'existence de tolérances sur toutes les

contraintes inégalités, ce qui n'est plus le cas ici.

Notons le vecteur des contraintes n'acceptant pas de violations par (7.5.3) :

R^{uCt),x(t),t} > 0 (7.5.3)

Supposons le de dimension r^ .

De la même manière, notons le vecteur des contraintes auxquelles on peut associer des tolérances non nulles par (7.5.4) ;

R2{uCtî,xCt},t} ^ 0 _{C 7 . 5.4]}

Supposons le de dimension •

Nous avons évidemment :

r (7.5.5]

Reprenons la première solution pseudo-optimale continue

obtenue après application de l'hypothèse pseudo-optima1e par défaut et constituée des solutions des différents systèmes de type (III].

Nous recensons les violations et les antiviolations' par les tests exposés au chapitre 5. A ce stade, au lieu de transformer toutes ces situations soit uniquement en viola­

tion, soit uniquement en antiviolation ' , nous allons remplacer toutes les violations des contraintes appartenant au groupe

R^, en antiviolations grâce à l'hypothèse pseudo-optima1e par excès; nous gardons naturellement les antivio 1 ations cons­ tatées pour ce groupe R^ ; ensuite, symétriquement, nous gardons les violations relatives aux contraintes appartenant au groupe R^ et nous, transformons les antiviolations en violations.

Nous employons maintenant un algorithme de convergence identique à celui exposé en pseudo-optimisation pure et les violations et antiVi01 atiOns des deux groupes de contraintes inégalités se réduisent progressivement au cours des itérations jusqu'à

l'obtention de la solution optimale.

Remarquons que nous avons une solution très bien adaptée au problème à traiter et conciliant la sécurité de convergence en se rapprochant de plus en plus des contraintes du groupe R_^ et la faculté de violer localement les contraintes du groupe R^•

Remarque 1 : Co n ve rge n ce

Dans ce cas d'optimisation mixte, nous ne pouvons plus parler a priori de signe de la convergence. En effet, nous avons en présence une convergence par défaut et une convergence par excès vers la valeuroptimale de la fonction de coût. Il est donc difficile de fixer laquelle de ces deux tendances

l'emporte. La méthode la plus simple et la plus naturelle

successives et dès lors de déterminer le signe de cette convergence .

Si la convergence se fait par défaut, on dispose d’une solution pseUdo-optima1e, sinon subbptimale.