JEn réalité, l'activation de la contrainte (5.4.13) ;
5.7 ANTIVIOLATION DES CONTRAINTES INEGALITES
Le test de violation des contraintes contrôle l’hypothèse Pseud0-oPtima1e par défaut du point de vue de l’inactivité •des contraintes alors que le test d’antivio1ation vérifie
cette hypothèse du point de vue activité pour assurer la propriété de convergence par défaut de l'algorithme.
Comme précédém.ment, considérons le cas d’une seule contrainte (5,7.1), la généralisation multiple étant évidente.
R|^{u(t),x(t),t}^ 0 k£(1,...,r) (5.7.1)
Lors de l'introduction de l'hypothèse pseudo-optimale par défaut, permettant de prolonger les splines discrètes
optimales vers la solution continue, nous avons admis qu’une deux noeuds consécutifs est sur tout l’intervalle encadré
j = 0,1,...,p-1 (5.7.2) contrainte discrète active en
active dans sa forme continue par ces noeuds;
Les relations (5.7.2):
induisant en continu (5,7.3);
R|^{u(t),x(t),t}= 0 V t > t t< t . .
Or, il se pourrait qu'en réalité la contrainte soit inactive sur une partie de l'intervalle Ctj,tj^^) j cela signifie que
C5.7.2) n'implique pas (5,7,3) et que nous ayons (5.7,4) ; R|^{u(t),x(t),t}>0 Wte(t^ t'j^^) C (tj,tj^^) (5.7.4)
Avant d'exposer comment constater une telle anomalie, et de montrer comment y remédier, voyons son influence sur la commande pseudo-optima 1e.
Cette situation d' antiviolation est à proscrire radicalement parce qu'elle met en péril la propriété de convergence par défaut.
En effet, nous introduisons de la sorte des contraintes plus fortes que les contraintes réelles du problème, ce qui est opposé à la définition d'une solution pseudo-optimale.
Montrons maintenant comm.ent se manifeste, en pratique, l'anti vio l'ation • Tout comme dans le casde violation , l'anti violation des contraintes peut se produire de deux manières : 5.7.1 Antiviolation à l'intérieur d'un Intervalle
L'intervalle (t',t' ^) de là relation (5,7.4) est du type (5.7.5) ;
t,<t'.<t’ <t, , J J j+T j+1
(.5.7.5)
où c() représente l'ensemble vide.
5.7.2 Antiviolation aux bornes d'un intervalle
L'intervalle (t',t'.) de la relation (5.7.4) est du type (5.7.6)
w w
etisolt t. = t ’ <t ’ .'Ct. . (5,7.6)
J j j+1
(soit t.^t’-Ct' „ = t . .
Ce deuxième type d'antivio1ation se produit généralement lorsque la fonction (5,7.1), en valeur absolue, est de croissance rapide par rapport au temps à l'instant t^ ou tj + 1*
Contrairement aux tests de violation -, nous n'avons pas ici de moyens directs pour affirmer qu'il y a ou non antivio lation •
En effet, nous devons comparer la solution pseudo-optima 1e
rj fO ^ ÿt
ultj, x(t) à la solution optimale réelle u (t), x (t) qui est inconnue,
Pour remédier à cette difficulté, introduisons le théorème suivant qui permet de déterminer quelles sont les contraintes erronément actives.
5.7.3 Théorème d' antivio 1 ation
Si l'hypothèse . pseudo-optimale par défaut est fausse sur l'intervalle Ctj,tj^^], (j = 0,1, .. . , p-1), c'est-à-dire
si (5.7.2] n'implique pas (5.7.3), alors il existe au moins un temps Tj£(tj,tj^^) tel que le multiplicateur de Kuhn-TucKer Vi|^ relatif à cette contrainte soit négatif et récipro quement .
Avant de passer à la démonstration, insistons sur l'intérêt de ce théorème, non seulement d'un point de vue pratique parce qu'il permet d'assurer la convergence par défaut de
l'algorithme mais aussi d'un point de vue théorique parce qu'il met en évidence et exploite le signe négatif des multiplicateurs de Kuhn-TueKer.
Rappelons que dans les méthodes classiques d'optimalisation dynamique , on impose la condition (5.7.7.)
y(t)>0 (5.7.7)
aux multiplicateurs de Kuhn-Tucker. Lors de la résolution classique, l'expression (5.7.7) est respectée. Par contre, lors de l'utilisation d'un algorithme numérique plutfît qu'une méthode analytique, il se peut que certaines composantes
du vecteur (5.7.7) soient négatives pour certaines valeurs du temps t :
y. (t ) < 0
R|^{u(X),x(t),t}=0 (5.7.9)
est supposé active à tort en ces temps-là.
Les multiplicateurs de Kuhn-TucKer ont donc une signification physique complète, quels que soient leurs signes et ne sont plus définisuniquement sur le demi-axe positif des temps. Résumons cette interprétation par le tableau suivant pour la contrainte (5.7.1j :
Si P (t)>0 et R {U(t],X(t),t} = 0 activité de la contrainte
K K
/V i\)
Si y (t)=0 et R {u(t),x(t],t} > 0 inactivité de la contrainte
K K
A/
Si y ( t )<0 et R { U ( t ) , X ( t ) , t } = 0 an tivio 1 ation de la
contrainte
Après cette visualisation physique de la situation d’antiviola tion, passons à la démonstration du théorème d' antiviolation.
Démonstration
^ *
Notons comme précédemment la solution optimale par u (t),x (t)
m ni
et la solution pseudo-optima1e par u(t),x(t).
Supposons qu’il existe un temps T pour lequel on ait (5.7.10); Rj^{u (T ) , x(T ) , t}= 0 < R|^{u*^(t ) , x*(T ) , t} (5.7.10)
Nous allons démontrer que dans ces conditions, le multiplica teur du Kuhn-Tucker correspondant est négatif et réciproquement
P,^Ct) <0 (5.7.11 )
En effet, les équations extrémisantes du théorème du Maximum exprimées du temps T sont ;
B H 9 U 9R, 9u y^(T) (5.7.12) y. (T) > 0 (5.7.13) l\ R|^{u(t),x(t),t} = 0 (5.7.14)
nj
Si la commande u(t) n'est pas optimale au temps T, il existe un accroissement 6utel que
R{u + ôu,x + 6x,t}> 0 K a) <u a> Il {u + ôu, X + 6x}>/({u,x} (5.7.15) (5.7.16)
et par conséquent, en passant à la limite sur 6u, nous avons les signes (5.7,17) et (5.5.18) :
>0 (5.7.17)
>0 (5.7.18)
Dès lors, en discutant l'équation (5.7.12) du point de vue des signes, nous voyons que nous devons avoir :
U|^(t)< 0
La réciproque est évidente.
5.8 TESTS n ' ANTIVIPLATIDN DES CONTRAINTES
Grâce à des tests identiques à ceux utilisés pour le dépasse ment des contraintes, nous contrôlons facilement si lesmulti- cateurs de Kuhn-Tucker restent bien positifs ou nuis sur tout l'intervalle de définition (0,T).
Remarque 1 ; Calcul des multiplicateurs de Kuhn-Tucker /
Pour pouvoir appliquer le test d'antik/iolation , nous devons disposer des multiplicateurs de Kuhn-Tucker. Cela na consplique en rien le problème parce que, lors de la résolution des sous- systèmes de type (III), nous pouvons calculer, à l'aide de la solution PseudO-optimale, les expressions de ces multiplicateurs correspondant aux contraintes actives.
R G nargue 2 : Mise en évidence direct e c.irr^ antlvljolations
Si le cas d’antiviolation intérieui- à l'intervalle ne peut Être nis en évidence que par le signe négatif du multiplicateur de Kuhn-Tucker correspondant, la situation d' antivlolation
aux bornes de l’intervalle peut être découverte autrement.
Supposons que la contrainte 15,7,1) soit inactive sur l'intervalle (tj ^,tj) et active sur l'intervalle Ctj,tj^^)
«V R.{u(t},x(t),t}> 0 K R|^{u(t),x(t),t}= 0 Vt, (5,8,1) (5,0.2)
Si nous avons antiviolation sur l'intervalle avec tj^^<tj^^, cela signifie que la contrainte s'est activée trop tôt.
Tout comme dans le cas du dépassement, le calcul de la valeur de la contrainte (5.6.2) en tj fournit une valeur
positive, ce qui matérialise bien la situation d' antiviolation sans employer le multiplicateur de Kuhn-Tucker correspondant :
R|^{u ( t J ) , X 11J ) , t J } > (5.8.3)
5,9 ANALOGIE ENTRE VIOLATION ET ANTIVIOLATION
Il existe une correspondance très frappante entre les concepts suivants :
contrainte inactive---«-contrainte active violation --- antiviplation
valeur de la contrainte---«-valeur du multiplicateur de Kuhn-Tucker
Pour bien visualiser cette analogie, considérons à nouveau le cas d’une seule contrainte (5.9.1) :
R|^{u(t),>;(t).t}> 0 ke(l,...,r) (5.9.1) et prenons arbitrairement un tempos x de l’intervalle (0,T);
traitons d'abord la situation de violation (5.9.2) et ensuite, symétriquement la situation d'antiviolation ’ (5,9,3) :
Si R {U(T 5, K V Si Si R. {u (t ) , K V X ( T ) , T }< □ X ( T ] , T } = O X(T],T}>0
alors violation (contrainte violée)
alors contrainte active (5.9.2)
alors contrainte inactive
Si P,lT) < 0 alors antiviolation (contrainte erronément active )
Si y^(T) = 0 alors contrainte inactive (5.9.3)
Si P^(T) > 0 alors contrainte active
L'analogie entre (5.9.2) et (5.9.3) est si complète que les mêmes tests numériques (paragraphe 5.6) permettent de
déterminer si nous avons violation, ou antiviolation en contrôlant respectivement le signe de la valeur de la
contrainte (5.9.2) et du multiplicateur de Kuhn-TucKer correspondant (5.9.3).
Synthétisons les situations(5.9.2) et (5.9.3), en un seul
tableau, en considérant les entrées : valeur de la contrainte et valeur du multiplicateur de Kuhn-TucKer :
<0 = 0 >0
<0 Im.possible antiviolation Impossible
= 0 Violation
ilüiiüi
Inactivité>0 ImpoBsible Activité ^ Impossible
La case hachurée correspond en fait, dans la solution optimale, aux instants exacts oè chaque contrainte s'active ou se
désactive. Cela signifie qu'en ces instants, la trajectoire optimale bute sur la frontière d'une contrainte inégalité ou s'en détache après l'avoir suivie.
Nous pouvons décrire le tableau précédent à l'aide de la figure 5 dans laquelle nous avons représenté les valeurs
numériques de la contrainte (5.9.1) ainsi que son multiplicateur de Kuhn-Tucker associé dans un système d'axes orfnogonaux.
Fig.urg 5
5.10 CONCLUSIONS
Ce chapitre a défini le concept de pseudo-optimalité et, pour préciser celui-ci, a introduit l’hypothèse pseudo-optimale par défaut considérée dans ce travail.
Nous avons ensuite exposé oomment obtenir une telle solution pseudo-optimale par intégration de sous-systèmes de type (III], ne contenant plus de contraintes inégalités mais seulement des équations suplémentaires (contraintes actives].
Nous avons ensuite décrit les situations de violation et
d’antiviolation des contraintes et donné des tests numériques permettant de détecter si de telles situations se produisent.
La discussion détaillée du cas d’antivio 1ation d'une contrainte inégalité complète la définition théorique des multiplicateurs de K.uhn-Tucker et assure la convergence par défaut de
l’algorithme pseudo-optimal que nous exposons dans le chapitre suivant.