CHAPITRE 3 : OPTUlALISATJOhl STATIQUE
3.3. CALCUL DU PAS DE LA SUBDIVISIDN
Jusqu’à présent, nous avons seulement défini le pas h pour introduire la discrétisation, sans plus de précisions quant à son choix rée1.
Introduisons maintenant les différentes conditions limitant ce choix. Dans ce but réécrivons les équations extrémisantes du problème discrétisé P^. r .î-xCt,)} = G{uCtJ,xCtJ,t,} (3.3.1] n J+T J J J J Sx tj) y(tj)
iül
t J •‘lïï °
l^i { U ( t J ] , X [ t J ] , X ( t J ) , t J } X( 0] ■= X = 0 j — 0,1,...,p(3.3.2] C3.3.3] i = 1, .. .,r (3.3.4] (3.3.5] X = X ( O ] T •= T(a] (3.3.6]Lorsque le pas h est trop comme par exemple quand il couvre tout l'intervalle de définition (0,T) d’un seul
coup ;
h = T C3.3.7)
le système discrétisé correspondant est généralement impossible parce qu’il existe des contraintes mutuellement exclusives à
satisfaire simultanément.
Lorsqu’une impossibilité de ce type se produit, pn réduit le pas jusqu’à ce qu'il n’existe plus que des contraintes dominantes sur chaque intervalle et qu’il existe une solution. Cette première discussion fournit une borne maximale h pour la longueur du pas. A partir de cette valeur h tous les pas de longueur inférieures
h < h
C3.3.8] sont admissibles.
Or .lorsqu’on discrétise un problème, la longueur du pas
^ a une grande influence sur la précision de la solution obtenue sous forme de splines discrètes.
En effet, un pas trop grand, satisfaisant toutefois C3.3.83, peut fournir des splines discrètes très grossières etmême parfois sans aucun rapport avec la solution optimiale réelle
du problèmej remarquons que dans ce cas, la valeur de la fonction de coût sera évidemment très élevéej le seul avantage d’un
grand pas réside dans la rapidité de 1 ’ a Igorithm.e statique calculant les splines discrètes, puisque le nombre p de noeuds tj (j = 0,1,,..,p]est réduit et, par conséquent, la
dimension du système d’équations (3,3.1] à (3.3.6) aussi. Par centre, l’utilisation d’un petit pas va fournir une solution sous forme de splines discrètes, très fine mais l’algorithme de calcul sera lent, vu la grande dimension du système à rédoudrei dans ce cas, la valeur du coût sera proche de la valeur optimale.
Remarquons qu’en théorie, la commande optimale continue du problème initial P pourrait être obtenue grâce au passage à la limite suivant :
BD notant u^(t) la commande sous forme de splines discrètes. Sans anticiper sur le chapitre consacré à la recherche de
la solution pseudo-optimale continue, précisons seulement brièvement que cette recherche se base sur une interpolation s'appuyant sur les valeurs des splines discrètes aux noeuds. Par conséquent, si le pas est grand et les splines discrètes grossières, l'algorithme pseudo-optimal sera lentj par
contre, dans le cas d'une discrétisation fine, l'algorithme pseudo-optimal se déroulera sur la base d'informations
discrètes précises et sera donc rapide.
En conclusion, nous devons, pour fixer le pas le plus adéquat, trouver un compromis entre les deux situations; a) grand pas -*■ algorithme discret rapide splines
discrètes grossières -»■ algorithme pseudo-optimal lent.
b) petit pas -► algorithme discret lent -*■ splines discrètes précises -*■ algorithme pseudo-optimal rapide.
Nous procédons de la manière suivante :
Nous choisissons au départ un pas h admissible satisfaisant O
la condition (3,3,8] et nous calculons la solution discrète du problème P correspondant. Nous procédons de la même
Ho
façon pour des pas successifs h^.h^ ... tels que :
ho>h^>h2>... (3.3.10]
jusqu'à un pas h^ adéquat, c'est-à-dire conciliant les deux tendances présentées ci-dessus et caractérisé par le test suivant :
Le test nous permettant d'arrêter cet algorithme de calcul des splines discrètes et de commuter sur la recherche
pseudo-optimale, est en fa^it un test double appelé test de commutation.
3'. 3.1 Test de commutation
° ^ li§^_dy _iiDî
Le critère le plus logique et utilisé notamment en optimali sation statique est le suivant s
décrivons ce test à l'itération d'indice i i soit h, , le i -1 pas de la subdivision actuelle. Après avoir calculé les splines discrètes correspondant à la résolution du problème P. , nous calculons la valeur du coût notée J (h. .],
Multiplions ^ par un facteur Y, satisfaisant la relation CS.S.II], pour fixer le pas suivant :
hi = 0<Y<1 (3.3.11)
Procédons, à l'aide de ce nouveau pas h., comme nous l'avons fait pour le pas ce qui nous conduit aune nouvelle valeur du coût :
J(h^).
Calculons maintenant le gradient de la fonction de coût par rapport au pas, sous forme de différence divisée (3.3.12) ;
J(hi_i) i-1
(3.3.12)
Lorsque la quantité (3.3.12) devient inférieure à une certaine valeur 0 fixée à l'avance, ce premier test est vérifié et
suffit à arrêter la.recherche des splines discrètes au pas h^ .
J(h^) J(h^_l)
^i ‘ ^i-1
I < e
(3.3.13)Cela signifie que la valeur du coût est devenue peu sensible à une diminution du pas et que par conséquent la solution discrète obtenue est acceptable.. Réduire à nouveau le pas n'apporterait pas d'informations supplémentaires pour
la recherche de la commande pseudo-optimale continue, mais seulement une meilleure précision.
Ce test peut se visualiser en se référant aux méthodes
d'optimalisation statique du 1er ordre ; par rapport aux différents pas h^ (i=0,1,...), le calcul des splines discrète et des coûts correspondants, constitue une m.inimisation basée sur la méthode du gradient#
Dr nous savons que cet algorithme se ralentit très fort au voisinage du minimum. Par conséquent, l'orsque la dérivée
^ ^ approchée par (3,3,12) devient inférieure à la quantité 6, il est inutile de tenter une nouvelle Itération.
Remarque 1 ! Différence divisée
Remarquons que si on utilise la différence divisée (3.3.12] pour approcher la dérivée ypj--- , c’est essentiellement parce que la calcul réel de ce gradient est très lourd et très long.
Remarque 2 : Valeur de 6
En pratique, la quantité 6 se situe généralement vers 10°/o ; on pourra, dans chaque application, affiner cette valeur par expérience, pour l'adapter le mieux possible aux
conditions réelles d'utilisation.
Notons encore que cette valeur de commutation ne doit pas être considérée comme une frontière rigide mais bien comme une borne plus ou moins souple.
Remarque 3 ; Convergence par excès
Comme dernière remarque, nous avons constaté que les coûts J(h^] des splines discrêtes'successives tendent le plus souvent par excès, c'est-à-dire par valeurs décroissantes, vers le coût de la solution optimale continue réelle u'(t], ce qui est précieux comme nous le verrons dans la suite,
2°) E? _ ^ 5É
Cette deuxième partie du test d'arrêt de la procédure discrète est indispensable pour contourner la difficulté suivante s Dans certains cas particuliers, le coût est fort sensible à une diminution du pas et dès lors, m.ême en utilisant des pas minuscules, le gradient (3.3,12) reste important. Dr, malgré la non-satisfaction du test (3,3,13), on remarque, grâce à la recherche de la solution pseudo-optimale continue, que les splines discrètes obtenues dans ces conditions sont suffisamment précises. Il est donc indispensable de compléter la première partie du test de commutation par un second
critère permettent d'arrêter l'algorithme même si la condition (3,3,13) n’est pas vérifiée.
Introduisons donc la condition supplémentaire à satisfaire : Si les dérivées successives (3,3,12) correspondant aux
pas consécutifs ne diminuent pas de manière significative, nous abandonnons le premier test portant sur ces grandeurs au profit des zones d'activité ; si au cours de deux itérations consécutives, nous n'observons ni création, ni disparition de zones d'activité pour chaque contrainte et
si ces zones successives correspondantes (si elles existent) ont une intersection non vide dans le temps, alors on arrête l'algorithme discret et on passe à la recherche de la solution Pseydo-optimale continue.
Nous avons appelé "zone d'activité" les ensembles constitués de un ou de plusieurs noeuds consécutifs en lesquels les
caractéristiques d'activité des contraintes restent identiques. Prenons le cas d'une seule contrainte, la généralisation
à plusieurs contraintes étant évidente.
Supposons que la contrainte (3,3,14) soit active aux noeuds indiqués ci-dessous :
R. {u(t,),x(t,),t,} = 0 ké (1 , , , , ,r),Vt,>t <t,<t (3,3,14)
kjjj 'Jmjn
où m et ne (0,,,,,p. ) et 0<t <t <T
1 m n
pour la subdivision de pas h^,
pour la subdivision suivante, de pas + nous aurons de la même manière ;
R. {u(t , ),X(t,),tJ = 0 k€(1,,,,,r). Vt,>t ^t,<t (3,3,15) ’JvJw
où V et w e (ü,,,,,p^ ^) et O^t ^t
i + 1 V w
Le test des zones d'activité est satisfait si la condition (3,3,16) est vérifiée ;
(t ,t )0 ,t_ ) ^ 4) (3,3,16)
m n V w
où 4> représente l'ensemble vide.
Cela signifie que si, à partir d'une certaine valeur du pas h^, la subdivision est suffisamment fine pour définir en chaque noeud de discrétisation les contraintes dominantes, utiliser un pas plus petit ne nous apprendra rien quant aux caractériti- ques d'activité des contraintes puisqu'à ce propos le pas
d’activité de ces contraintes. Nous verrons dans le chapitre consacré à la recherche de la solution pseudo-optimale continue, que cette amélioration quantitative n’est pas intéressante
comparativement à 1 ’ a u f,me n ta t i on de la dimension du nouveau problème discrétisé à optimaliser.
Remarque : Utilité d’un test de commutation double
A première vue, le test des zones d’activité peut sembler suffisant à lui seul à réaliser l’arrêt de la procédure discrète. Or, si on conserve la première partie du test portant sur le gradient, c’est pour éviter les absurdités : en effet, si on débute avec un grand pas que l’on réduit, il se peut qu’au cours de deux itérations successives, les zones d’activité des contraintes dominantes satisfassent
ce test (3.3.16] mais soient absurdes. Dès lors si on utilise uniquement la seconde partie du test de commutation, ces
absurdités se répercuteront dans le programme continu de recherche de la solution pseudo-optima1e; dès lors le simple contrôle de la valeur du gradient (3.3.12) suffit à éviter ce genre d’erreurs.
En pratique la différence divisée (3.3.12) doit toujours être de même ordre de grandeur que la valeur numérique 0 de (3.3.13).
3.4 INTERPRETATION DES MULTIPLICATEURS DE KUHN-TUCKER