J* Le calcul de la valeur de l’expression de cette contrainte grâce à la solution pseudo-optimale relative à
CHAPITRE 7 : SUBOPTJHJSATIOH ET PSEUVÛ-OPTIMISATION
3.6 APPLICATION CONCRETE : NISE A TEMPERATURE D’UN FOUR [38 ] [50 ]
Après avoir appliqué la pseudo-optimisation à des exemples numériques qui avaient avant tout un but de compréhension de la méthode, nous allons maintenant utiliser cette nouvelle technique dans une application industrielle.
Le problème consiste à amener la température d’un four le
plus près possible de la température idéale de fonctionnement, à partir de la température ambiante et durant un temps fixé au départ pour cette opération.
Représentons schématiquement le problème à la figure 12 :
U [ t ]
Figure 12
Le four est constitué d'une enceinte fermée matérialisée par des parois.
Le chauffage du four s’effeotue en fournissant de la chaleur à ces parois qui la transmettent à l’intérieur du four.
Introduisons les grandeurs physiques suivantes, constituant le modèle défini par la suite :
: température intérieure du four X2 s température des parois du four
: capacité calorifique à l'intérieup ju four C2 : capacité calorifique des parois
: coefficient d'échange de la surface Intérieure des parois h^ : coefficient d'échange de la surface extérieure des parois
: aire intérieure des parois : aire extérieure des parois
uCt) : chaleur fournie à l'enceinte pour le chauffage du four
Les variables d'état du système sont les températures x^ et ^2 ■
La variable de commande est constituée du chauffage uCt]. Par une translation de l'échelle des températures, nous imposons que la température initiale Cambiante) soit nulle. Ce problème, dont le modèle comprend deux capacités calorifi ques, est défini par les équations de bilans de chaleur
C3.B.1] C.x,
1 1 A. X. 1 i 2 [x„-X . )1
= A. x.Cx.-x„) + A h C0-x„) + U C3.6.1)
En utilisant des valeurs numériques réelles des constantes dans [3.6.1], nous obtenons le système d’équations définitif [3.6.2] :
^1 " "^1 ^ ^2 [3.6.2]
X2 = 1.25 x^ - 3X2 + U
Les conditions initiales portant sur la température ambiante sont données par les expressions [3.6.3] :
x^[0] = 0
X2[0] = 0
[3.6.3]
Introduisons maintenant la fonction de coût. Nous désirons que la température intérieure du four, soit
au temps final, la plus proche possible de la température idéale de fonctionnement,à savoir :
L’intervalle de temps imparti à cette opération de mise à température est fixé à 2.
Dans ces conditions, la fonction de coût s’écrit sous la forme d'une minimisation du carré de l’écart de la
température finale X^C2] par rapport à la température idéale :
J = 100{2 - C2)}^ [3.6.4]
Nous remarquons donc que l’expression [3.6.4] ne contient pas de terme intégral mais seulement un terme de coût' terminal.
Les contraintes imposées à ce processus sont les suivantes : Tout d’abord, la variable de commande,u,est limitée
supérieurement par la puissance maximale du système de chauffage utilisé :
U $ 7 C3.6.5 ]
Ensuite, le four ne possède pas de système de refroidissement, ce qui conduit à la limitation inférieure naturelle [3.6.6] :
0 ^ U [3.6.6]
Ces deux contraintes, condensées en [3.6.7],sont des
limitations inviolables, c’est-à-dire impossible à dépasser pour des raisons physiques évidentes.
0^u^7 [3.6.7]
En outre, le constructeur du four a fixé une contrainte
théorique sur la température x^ des parois; cette température ne peut être continuellement supérieure à la valeur 2.2 :
X2$2.2 [3.6.8]
En posant [3.6.9]:
'l'o= -J [3.6.9]
la condition de transversalité s’écrit :
'1'^ [2] = x^ [2] - 2 [3.6.10]
'i'2[2] = 0
Comme la commande u n’apparaît qu’au premier degré dans l’hamiltonien [3.6.11] :
le réglage sera du type bang-bang : 7 si '1'^ > 0
u =
0 si 'i'_ < 0
Appliquons maintenant la méthode pseudo-optimale
( 3.6.1 2 ]
3.6.1 Calcul de la solution sous forme de splines discrètes
Le système discrétisé se présente sous la forme C3.B.13] :
.]-x.(t.)} = -x.(t.] + x_(t.] h ^^1 ^ '■j + r ''r j ^ {x^Ct, ,]-x^Ct.]} = 1.25 x^CtJ - 3x„Ct.] + uCt.) r j" ^^2^ j h ^ 2^ "j + 1 ^ ^2^ j 1 j j = 0,1,...,p-1 {'l'.CtJ - 'i' ft, y} = (t, )-1.25'f^Ct J h " 1 j 1 j-1 1 j 2^ “j j = 1. U(tj]= si 'i'2Ctj]>0 si 'i'2Ctj]<0 C 3.6.13] j = 0,1,...,p-1 X (tJ < 2.2 2 J J = 0,1
Imposons , pour le test de commutation, une valeur de 15 % I AJ
Ah < 0.15
Dans la résolution du système C3.6.13D, nous avons volontai rement poussé les itérations jusqu’à des valeurs du pas relativement petites pour bien visualiser le problème. En pratique, on se serait arrêté normalement à une valeur du pas de l’ordre de 0.4. Donnons, pour ne pas s’encombrer de résultats inutilisés dans la suite, les deux dernières itérations, dont les valeurs de h sont respectivement 0.2 et 0.1.
1° 3 h = 0.2
- commande : u(03 = 7 -état: uC 0.2 3 =7 u(0.43=7 uÇO.63 =7 uCO. 8 3 =5.386 uM . 3 =5 . 079 uM .2 3 =4 . 833 uX 1.43 =4.636 uM . 6 3 =4.479 uM . 8 3 = 4.35 3 - coût : JC0.23 = 1.747 (03=0 x^(0.23=0 x^ C 0.43 =0.28 X, (0.63 = 0.616 1 x^( 0.8 3 =0.933 x^ (13 = 1.186 x^ ( 1.2 3 =1.389 x^ ( 1 . 4 3 = 1 . 55 1 x^( 1 . 6 3 =1 . 681 x^( 1 . 8 3 = 1 . 785 x^ (23 =1.868 x^(03 =0 X2(0.23=1 .4 X2C0.43=1 .96 x^(0.63=2.2 x^(0.83 =2.2 X2(13 = 2.2 x^(1.2 3 =2.2 x^d .43=2.2 X2(1.B 3 =2.2 x^(1.83=2.2 x^(23=2.2 (3.6.143 - contraintes : la contrainte u = 7 est active en début
de parcours et x^ = 2.2 en fin de parcours.
2° 3 h = 0.1
- commande U(0 3 = 7 -état u(0.13 =7 u(0.23=7 u(0.33=7 u(0.43=7 u(0.53=7 u(0.63=7 U ( 0.7 3 = 7 u( 0.8 3 =5 . 450 u(0.03=5.290 u(13 = 5.146 u(1.13=5.016 u( 1 . 2 3 =4.900 u( 1 . 3 3 =4.795 u(1.43 =4.700 u(1.53=4.615 u( 1 . 6 3 = 4.539 u(1.73=4.470 u( 1 . 8 3 =4.408 u( 1 . 9 3 =4.352 : x^ (03=0 x^(0.13 =0 x^(0.2 3 =0.07 x^(0.33 =0.182 X.(0.43=0.318 1 x^(0.53=0.466 x^(0.63=0.620 x^(0.73=0.778 x^( 0.8 3 =0.920 x^( 0.9 3 = 1 . 048 x^(13 = 1.163 x^(1 . 13 = 1 .267 x^( 1.2 3 =1 . 360 x^(1.33=1.444 x^(1.43=1.520 x^( 1 . 5 3 = 1 . 587 x^( 1 . 6 3 = 1 . 64 9 x^( 1 . 7 3 = 1 . 704 x^( 1 . 83 = 1 . 75 3 x^( 1 . 9 3 =1 . 798 x^(2 3 = 1.838 X2(03 =0 X2(0.13 =0.7 X2(0.23=1.196 X2( 0.3 3 = 1 . 542 X2 CO. 4 3 = 1 . 802 X2 CO.5 3 =2.001 X2CO.63=2.159 X2 C 0 . 7 3 =2.2 X2CO.83T2.2 X2 C 0 . 9 3 =2.2 X2C13= 2.2 X2 C 1 .13 =2.2 X2CI .23=2.2 X2CI.33=2.2 X2 Cl.43 =2.2 X2 C1.53 =2.2 (1 .63 =2.2 x^Cl.73=2.2 X2CI.83=2.2 X2(1.93 =2.2 x^C23= 2.2 (3.6.153
- coût : JC0.1) = 2.60B
I Aj I
- test de commutation : " 0.112 <15 %
- contraintes : les zones d’aotivité des contraintes de l'itération précédente sont confirmées.
Le test de commutation est satisfait et nous passons à la recherche des solutions pseudo-optimales.
3.6.2 Calcul des solutions pseudo-optimales
Comme nous l'avons indiqué plus haut, nous avons poussé les itérations discrètes trop loin; nous aurions pu nous
arrêter à un pas de l'ordre de 0.4. Par conséquent, utilisons comme base de départ discrète, les splines obtenues grâce
au pas 0.2 C3.B.14], ce qui nous permettra de visualiser, sur cet exemple industriel, l'élimination d'une solution d'antiviolation des contraintes inégalités.
Les s O us - systèmes à résoudre sont les suivants ;
pour 0<t<0.6 C3.6.1B)
pour O.B<t<2 C3.6.17]
Remarq ue ; Système différentiel adjoint
Etant donné que l'hamiltonien ne comprend aucune variable d'état à la deuxième puissance, le système différentiel
adjoint ne contient pas de variables d'état et par conséquent, le système d'équations extrémisantes sur chacune des deux
zones d'activité des contraintes est séparable. Dans [3.6.l6j et (3.6.17), ne retenons que les parties utiles, ce qui
réduit les sous-systèmes à (3.6.18) et (3.6.19): = -xi ^ X2 x^ = .1.25 x^ - Bx^ + 7 - 1.25'1'2 'i'2 = -'i'i " 3'i'2 X, = -x^ + 2.2 1 1 U = -1.25x^ + 6.6 'î'^ = - 1.25 H'2 = -'1'^ + 3'i'2 + y3
r U = 1.25x^ - 3X2 + 7 pour O (t(0 . B = ~ X . + 2 • 2 1 =-1.25 x^ + 6.6 pour 0.6 (t ^2 C3.6.18] C 3 . B . 1 9 ]
L’intégration de ces sous-systèmes, moyennant les conditions initiales et les conditions de continuité, donne les
solutions :
U = 7
x^ = 0.6B667e"^’- 4.666 B 7e”°‘^^ + 4 pour 0<t<0.B (3.6.20} X.2 = - 1 . 66667e‘^'- 2.33 33 3e ' ° ^ ^ + 4
U = 3.58849e ^ +. 3.85
x^= -2.87 079 e'^ + 2.2 pour 0.6 Ct <2 (3.6.21 } X2 = 2.2
Etant donné que les contraintes (3.6.7] sur la commande ne peuvent en aucun cas être violées, la seule manière de
calculer des solutions pseudo-optimales admiss.ibles physique ment, est de faire porter les dépassements sur la contrainte d'état :
^2.2 (3.6.22]
la solution composée de (3.6.20} g-t ( 3.6.2 1 ] répo n d à cette P rpp ri été .
Commençons par lui appliquer le test d’antiviplation : la première partie (3.6.20] ne satisfait pas ce testj la
variable d’état x^ n’atteint pas la frontière de la contrainte (3.6.22] au temps 0.6 :
Pour éliminer cette situation d' antivio 1ation retardons l’activation de cette contrainte d!un intervalle élémentaire
Ch = 0.2]. Dans ces conditions, la solution [3.6.20] et C3.6.21] se transforme en [3.6.24] et [3.6.25].
pour o^t<0.8
[3.6.24]
pour 0.8<t<2
[3.6.25]
Le test d’ antiviolation appliqué à [3.6.24] et [3.6.25] est maintenant vérifié.
Rema rq ue : Antiviolation et pseudo-optimalité
Rappelons que si le test d’antiviolation n'est pas satisfait, la solution correspondante n’est pas pseudo-optimalej en
effet, nous ne pouvons pas garantir que le coût d’une telle solution soit inférieur au coût optimal. Par conséquent, dans ce cas particulier, la solution [3.6.20] et [3.6.21] n’est pas pseudo-optimale alors que [3.6.24] et [3.6.25] satisfait la définition de la pseudo-optimisation .
Appliquons maintenant aux expressions [3.6.2^] et [3.6.25] le test de violation des contraintes inégalités :
La contrainte [3.6.22] est violée de façon maximale au temps t = 0.8 :
x^CO.s"] = 2.33457>2.2 ‘ [3.6.26]
Interprétons physiquement cette violation de contraintes. La variable x^ représente la température de la paroi du four; c’est une grandeur physique sujette à une inertie importante. Or, actuellement, cette variable x^ est discontinue au temps t = Û.8 : U = 7 x^ = 0.66667e"^‘^^ - 4.66667e'°'^^ + 4 x^ = - 1.66667e"^'- 2.33333e"°‘^^ + 4 I» frJ - t U = 3.58205e + 3.85 X, = -2.86564e"^ +2.2 1
><2 CO.6") = 2.33457
x„ (0.e" ) = 2.2 V Z
CB qui est inacceptbble.
(3.6.27]
A ce stade, introduisons le concept de tolérance sur la contrainte C3.6.2 2] pour éliminer cette discontinuité inadmissib1e .
Nous appliquons l’algorithme de conve-rgence ps.eudo-optimal donnant les solutions suivantes dont les tolérances sont de plus en plus réduites au cours des itérations.
1°] Si le four peut supporter un dépassement de la tempéra ture des parois (2.2] inférieur à 7 % pendant une dutée plus courte que le temps total de mise à température, la solution pseuso-optimale s'écrit :
/rv
U = 7
x^= 4.6B667e"^ ■ - 4.3333e”°'^^ + 4 pour 0<t<0.8 ><2= - 1 . 6B667e”^ ■ -2.33333 e" ° + 4 C3.6.28 ] 'V -1 U = 3.95B42e + 4.08550 x^= -3.16513e ^ + 2.33457 pour ü.8<t<2 X2= 2.33457 C3.6.29 ] La température x^ est continue et la température intérieure finale du four vaut ;
x^C2] = 1.90620 (3.B.30]
Le coût de cette solution pseudo-optimale est :
J = 0.87984 C3.6.31 ]
Nous avons représenté [3.6.20] et [3.6.29] dans la figure 13
Si cette première solution pseudo-optima1e est inacceptable, ce qui signifie que le dépassement est trop important (7 %
2°) Calculons un meilleur temps d’activation T de la contrainte C3.6.22) à partir des expressions (3.6.20) et
(3.6.2 9) : (0.5' ) = 2.33457 x^tO.e") = 1.13677 X2(t) = 2.2 = x^CO.e") + x^CO.a') At 2.2 =2.33457 +1.13677 At (3.6.32) où t=0.8+ At
L’équation (3.6.32) donne le temps d’activation T suivant;
T = 0.7
En satisfaisant la continuité de la variable d’état X2 comme nous l’avions fait en 1°), la remise à jour de la solution pseudo-optimale à l’aide de ce nouveau temps 0.7, donne les expressions (3.6 .33) et (3.6.34) ;
•V
U = 7
x^ = 0.66667e“^’^^ - 4.66667e"°‘^^ + 4 pour 0<t<0.7 x^ = -1.66667e"^'^^ -2.33333e'°'^^ + 4 (-3.6.33) U = 3.63212e“^ + 3.87084 x^ = -2.90570e"^ + 2.21191 pour 0.7<t<2 X = 2.21191 • ^ (3.6.34)
Si le processus peut supporter une violation de la contrainte (3.6.22) inférieure à 1 %, la solution pseudo-optimale
»(3.6.3 3) et (3.6.34) est admissible et conduit à la valeur de la température intérieure finale (3.6.35) :
X . (2 ) = 1 . 81 865 (3.6.35 )
1
et au coût ;
J = 3.28876 (3.6.36)
Si le dépassement (1%) est toujours trop important, continuons les Itérations.
3°) Par une procédure identique à C3.B.32} calculons une nouvelle valeur du temps d’activations T de la contrainte
(3.6.223 :
T= 0.691
La solution pseudo-optima le remise à jour s'écrit maintenant:
ru
U = 7
0.66667e"^■- 4.66667e~° ^^ + 4 pour G$t<0.691 X2= -1.66667e”^'- 2.33333e"°+ 4 (3.6.373 V -1 U = 3.60234e + 3.85 x.= -2.88187e“^ + 2.2 pour 0.691<t<2 ( 3 . B . 3B 3
Cette solution p s, e udo-o p t ima 1 e ne provoque aucun dépassement de la contrainte (3.6.223 et se confond donc avec la
solution optimale réelle.
La valeur terminale de la température Intérieure du four est :
x^(2 3 = 1.80997 ( 3 •6.3g 3
ce qui donne le coût optimal
J=3.61114 (3.6.403
En comparant les différentes valeurs du coût et les violations des contraintes des deux solutions pseudo-optimales 1°3 et 2°3 à la solution optimale 3°3 obtenue par la convergence par défaut de l'algorithme, noua remarquons que :
- la solution pseudo-optima1e 1°3 provoque un dépassement de la contrainte (3.6.223 inférieure à 7 % et une diminution du coût, par rapport au coût optimal (3.6.40 3^ de l’ordre de 75 % ce qui est appréciable.
- la solution pseudo-optimale 2°3 provoque un dépassement de la contrainte (3.6.223 inférieur à 1 % et une diminution du coût, par rapport au coût optimal (3.6.403, de l’ordre de 9 % ce qui reste sensible vu la faible violation
engendrée.
Nous avons représenté les solutions pseudo-optima 1 es 1°3 et 2°3 ainsi que la solution optimale 3°3 dans les figures
Figura 13.a
H--- J.
1 2
X
Figure 13 c
3.7 CONCLUSIONS
Dans ce chapitre nous avons choisi, parmi l'ensemble des
exemples auxquels nous avons appliqué la pseudo-op11mi s a11on, les cas mettant le mieux en évidence les propriétés de cette nouvelle technique. La réalité physique a parfois été
négligée dans le but d’exposer, sur des exemples simples, certaines caractéristiques particulières à certte méthode et se produisant généralement dans des applications plus
Si la convBrgence des différentes solutions pseudo-optima 1 es successives se fait toujours par valeurs de coût croissantes» il est par contre difficile de fixer a priori le sens de la convergence des splines discrètes consecutives obtenues grâce à des pas de plus en plus petits.
En effet, l’utilisation d'une subdivision plus fine produit deux effets antagonistes ; d’une part affiner la commande, ce qui diminue le coût et d’autre part, améliorer les temps d'activation et de désactivation des contraintes inégalités actives, ce qui augmente le coût.
Il est très difficile de prévoir au départ lequel de ces deux effets sera prépondérant. En outre, dans certains cas particuliers, l’influence dominante peut porter sur le
premier effet pendant un certain nombre d'itérations puis sur le second effet, ce qui produit une convergence oscilla toire.
Le dernier paragraphe de ce chapitre a exposé une application concrète et a montré que, grâce à l'utilisation de la
technique pseudo-optimale, on peut obtenir des diminutions de coût importantes. En effet, l’introduction d’une tolérance prudente inférieure à 1 % de violation en amplitude de la
température de la paroi du four à permis une diminution du coût de l’ordre de 9 %. Une tolérance plus audacieuse, à- savoir inférieure à 7 % a produit une diminution du coût bien plus importante, de 75 % par rapport à la commande optimale réelle.
En pratique, la plupart des cas particuliers à optimiser comportent un certain nombre de contraintes inégalités sujettes à des tolérances locales; cette nouvelle manière d’envisager le respect des contraintes inégalités, par introduction d’une souplesse et d’une adaptabilité
inexistantes dans les résolutions classiques, permet d’espérer des gains sensibles sans nuire à l'installation. Au
stade de la position de chaque problème à optimiser, il est donc essentiel de dissocier les contraintes sur lesquelles il existe des tolérances de celles à respecter absolument comme nous l’avons fait dans l’exemple du four.
Ces conclusions générales terminent l’étude de la pseudo-optimi sation, nouvelle approche de la résolution des problèmes d'optimi sation dynamique continue.
L’idée fondamentale de la pseudo-optimisation existait déjà
à l’état latent dans certains algorithmes d’optimisation statique notamment lorsque le point courant des itérations converge vers le minimum de la fonction de coût en tolérant des excursions dans le domaine inadmissible; les méthodes dites à fonction de pénalisation appartiennent à cette catégorie.
La P seudo-optimisation, étudiée dans cette thèse, généralise ce concept original dans le domaine dynamique.
1 Les moyens utilisés pour calculer une solution pseudo-optimale
peuvent se résumer d'une part en une restriction du problème continu au problème discret et d’autre part en une prolongation de la solution optimale discrète vers une solution continue particulière.
Ces moyens, paraissant fort détournés au premier abord, sont
assez différents des résolutions classiques. En effet, la pseudo optimisation se caractérise par un développement théorique plus indirect mais aussi par une mise en oeuvre pratique plus aisée.
La trajectoire pseudo-optimale est obtenue en tolérant des violations locales ou transitoires des contraintes inégalités
et en convergeant par diminution du nombre et des amplitudes de ces violations au cours des itérations jusqu ’ à les annuler à l’optimum. Cett-e méthode peut sembler dangereuse alors qu’au contraire elle est très sécurisante . En effet, les contraintes inégalités les plus restrictives apparaissent tout naturellement au cours du
déroulement de l'algorithme; par conséquent, nous pouvons apporter un soin tout particulier à ce que certaines violations intolérables ou dangereuses ne se produisent pas.
Les algorithmes pseudo-optimaux sont les seuls à traduire une espèce de sensibilité du système aux différentes contraintes inégalités.
En définitive, cette nouvelle approche a pour conséquence de mieux connaître le système à optimaliser sans y consacrer une étude spéciale.
Il est possible de classer les contraintes inégalités actives suivant leur importance et de discuter avec l'utilisateur des valeurs les plus adéquates des tolérances admissibles sur chacune d'elles.
Certaines contraintes peuvent avoir une forme telle qu'elles soient difficiles sinon impossibles à traiter par les moyens classiques. La pseudo-optimisation permet de contourner cette difficulté en faisant abstraction, au départ, de ce genre de contraintes pour le calcul de la solution; généralement, cette solution intermédiaire viole la ou les contraintes négligées. Dn utilise alors l'algorithme pseudo-optimal réduisant ces violations jusqu'aux tolérances admissibles.
De manière générale, nous introduisons les contraintes embarrassantes à postériori.
Pour définir un type de solution pseudo-optimale particulier , nous avons introduit dans ce travail une hypothèse qui nous a paru fort intéressante quant à ses développements pratiques, mais il en existe bien d'autres. Le chapitre sept de la
première partie a montré à quel point un simple changement de signe dans cette hypothèse pouvait totalement modifier les propriétés de la solution.
L'hypothèse pseudo-optima1e par défaut introduite ici porte sur la durée d'activité des contraintes inégalités.
On pourrait, par exemple, développer une autre orientation de recherche en travaillant sur les amplitudes locales des
contraintes inégalités.
Actuellement, nous n'avons pas la prétention d'avoir couvert ni délimité tout le domaine de la pseudo-optimisation,
bien au contraire, nous avons seulement posé les premiers jalons d'une nouvelle technique de résolution.
Nous formulons l'espoir que l’avenir confirmera l’intérêt de cette approche originale tant sous l’aspect théorique, par l’étude de nouvelles hypothèses, que sous l’aspect pratique par l’affinement des algorithmes de travail.