Simulations

Pour répondre à ces questions, nous avons réalisé des simulations avec le logiciel CPO-3D (pour Charged Particles Optics). C'est un programme qui permet de résoudre des problèmes d'électrostatique à trois dimensions sur la base de la méthode des charges surfaciques. Ce logiciel permet de calculer la valeur du potentiel et du champ électrique en tout point d’un système préalablement défini par l’utilisateur et constitué d’électrodes de formes déterminées.

Méthode des charges surfaciques

Le principe de cette méthode est simple, celle-ci est basée sur le fait que dans un système d’électrodes conductrices, des charges réelles apparaissent à la surface des électrodes lorsqu’on applique des potentiels à chacune de ces électrodes. En l’absence de possibilités de fuite, ces charges resteront quand les branchements responsables des potentiels

appliqués seront retirés. Ces charges surfaciques sont alors les sources de tous les champs et potentiels du système. Dans cette méthode, on remplace ainsi les électrodes par ces charges surfaciques. Chaque électrode est décomposée en un maillage plus ou moins précis déterminé. Chaque maille est ensuite considérée comme portant une charge surfacique uniforme. Cela constitue la seule approximation réalisée dans le cadre de cette méthode. Une fois les électrodes et leur maillage défini ainsi que les potentiels appliqués, CPO va pouvoir calculer les champs et potentiels en tout point de notre système.

On définit donc tout d’abord le système, c’est à dire les différentes électrodes (cathode, nanotube de carbone, anode…) sous la forme de plusieurs surfaces élémentaires (maillage). Les surfaces étant soumises à des variations plus importantes de champs électriques (la pointe du nanotube par exemple) doivent être maillées plus finement que les zones soumises à des champs constants (anode). On applique ensuite des potentiels à ces électrodes et le logiciel calcule le champ électrique en tout point de l’espace.

Il est ainsi possible de modéliser un ou plusieurs nanotube(s) de carbone perpendiculaires au substrat auquel(s) on applique un champE_appliqué. On peut alors calculer le champ local

au bout du nanotubeElocal et ainsi en déduire le facteur d’amplification β qui est donné par: local appliqué E E β =

Équation 2-2: Expression du facteur d'amplification.

Simulation d'un nanotube de carbone

Tout d’abord, nous avons simulé le cas d’un nanotube unique perpendiculaire au substrat (Figure 2-9) pour établir la valeur de son facteur d'amplification en fonction de ses caractéristiques géométriques.

Figure 2-9: Simulation d'un nanotube de carbone soumis à un champ électrique. On peut distinguer le maillage du nanotube en plusieurs électrodes élémentaires.

Sur la Figure 2-10 est représenté le facteur d’amplification en fonction du rapport d’aspect pour différents nanotubes simulés.

Figure 2-10: Facteur d'amplification du champ électrique d'un nanotube de carbone en fonction de son rapport d'aspect géométrique.

Sur cette figure est également représenté la valeur du facteur d’amplification telle que la donne la formule d’Edgcombe et Valdrè. Nos simulations sont en très bon accord avec leurs résultats. Pour des nanotubes de carbone dont le rapport d’aspect se situe entre 0 et 1000, on peut approcher le facteur d’amplification par :

0.67 l

r

β = ×

Équation 2-3: Facteur d'amplification d'un nanotube de carbone en fonction de son rapport d'aspect.

Simulations d'un réseau de nanotubes de carbone

Ensuite pour simuler l’impact de la proximité d’autres émetteurs, nous avons simulé le cas d’un réseau carré de 5x5 nanotubes (Figure 2-11) pour lequel nous avons fait varier le rapport entre le pas (entre deux nanotubes) et la longueur des nanotubes. Nous avons ensuite calculé le facteur d’amplification du nanotube situé au centre en fonction de ce rapport pour quantifier l'impact de la proximité d'autres émetteurs.

Figure 2-11: Simulation d'un réseau de 5x5 nanotubes de carbone. On peut voir ici le maillage de la cathode.

Les résultats sont présentés sur la Figure 2-12 sur laquelle on a tracé (points simulés) le rapport entre le facteur d'amplification du nanotube dans le réseau et le facteur d'amplification lorsqu'il est seul en fonction du rapport pas/longueur. La ligne continue est l'approximation des points issus de la simulation.

Figure 2-12: Facteur d’amplification d’un nanotube dans un réseau en fonction du rapport pas sur longueur.

Pour un rapport élevé le facteur d’amplification d’un nanotube dans le réseau est égal au facteur d'amplification s'il était seul. En revanche, lorsque ce rapport diminue, le facteur

d’amplification du nanotube dans le réseau diminue et chute rapidement pour un rapport inférieur à 2. Nous avons déduit de ces simulations une loi approchant les points simulés :

0 1 exp 1.917 p l β β ⎛ ⎞ = − _⎜− × _⎟ ⎝ ⎠

Équation 2-4: Facteur d'amplification d'un nanotube de carbone dans un réseau en fonction du pas entre les nanotubes.

où β est le facteur d’amplification du nanotube dans le réseau, β0 est le facteur d’amplification du nanotube lorsqu’il est seul, p est le pas entre deux nanotubes dans le réseau et l est la longueur du nanotube.

Ainsi il y a une compétition entre la densité d’émetteurs et le facteur d’amplification : pour une surface de cathode donnée, plus il y a d’émetteurs et plus le facteur d’amplification de ceux-ci diminue à cause de l'écrantage du champ électrique. Et inversement si on diminue le nombre d'émetteurs.

Pour simuler cette compétition et trouver le meilleur compromis, nous avons calculé pour une taille de réseau donnée (1mm2 ce qui correspond à l'ordre de grandeur des réseaux que nous voulons réaliser), comprenant des émetteurs de longueur 5µm et de rayon 25nm (β~140), la densité de courant émise par ce réseau en fonction du rapport pas/longueur et ce pour différents champs électriques appliqués (entre 10 et 30V.µm-1 qui sont les champs appliqués habituellement). Le travail de sortie étant pris égal à 4.9eV.

Les résultats se trouvent sur la Figure 2-13 sur laquelle nous avons représenté la densité de courant normalisée (par rapport au maximum de densité de courant) en fonction du rapport pas/longueur. Les croix indiquent le maximum d’émission. Plus le champ augmente et plus le rapport optimum diminue mais pour les champs que l'on souhaite appliquer, le rapport optimum se situe autour d’un rapport de 2.

La cathode idéale est donc un réseau de nanotubes de carbone orientés perpendiculairement au substrat et séparés d’un pas de 2 fois leur longueur.

Comment réaliser une telle cathode ?

Pour réaliser une telle cathode nous avons choisi de faire croître les nanotubes de carbone par PECVD. Cette technique, ainsi que certaines méthodes dérivées de la PECVD (par exemple : filament chaud [106], plasma micro-ondes [107], et ICP [108]), permet en effet de faire croître les nanotubes de carbone perpendiculairement au substrat et à des endroits bien définis en localisant le catalyseur. Il n’y a ainsi pas d’étape d’extraction, de purification et de manipulation des nanotubes.

Dans le paragraphe suivant sera explicitée la méthode de croissance des nanotubes de carbone par PECVD utilisée dans ce travail.