La constante ψ a une valeur de 1.83×1018cm−2K−1(km s−1)−1 (Kulkarni et Heiles,1987; Le-
queux,2005) et comprend notamment le coefficient d’Einstein et la longueur d’onde associée à la désexcitation radiative de la transition hyperfine de l’hydrogène neutre (Draine, 2011). Pour une ligne de visée dans la direction z ainsi qu’une distribution des vitesses de type Maxwell-Boltmann, cette dernière hypothèse étant justifiée vu l’équilibre thermodynamique local, NHI(x, y, u)(en cm−2) s’exprime, pour des champs de densité nHI(x, y, z) et de vitesse
vz(x, y, z)connus, par (Miville-Deschênes et al.,2003)) :
NHI(x, y, u)dz = Z nHI√(x, y, z) e−(u−vz (x,y,z)) 2 2∆2 dz, (2.7)
La variable u dans l’exponentielle parcourt tout l’intervalle de vitesse couvert par les obser- vations. De plus, la densité de colonne est une quantité intégrée sur une certaine profondeur et c’est de là que provient dz. En pratique, dz correspond à la taille en pc d’un côté d’un voxel. La variable ∆(x, y, z), quant à elle, correspond principalement à l’élargissement ther- mique de la raie, mais aussi à des effets de limitation de la résolution en vitesse autant dans les simulations que dans les observations (Brunt et Heyer,2002) :
∆2(x, y, z) = kBT (x, y, z) mH + ∂vz(x, y, z) ∂z dz 2 , (2.8)
Pour des quantités comme nHI(x, y, z), TK(x, y, z) et par extension ∆(x, y, z), les champs
tridimensionnels sont seulement disponibles dans les simulations numériques. Les observateurs doivent quant à eux estimer la densité en faisant des hypothèses sur la profondeur de la ligne de visée, tandis que la limite supérieure de la température peut être obtenue à partir de la pleine largeur à mi-hauteur (FWHM) des spectres de température de brillance TB(x, y, u)
en supposant que l’élargissement de la raie est entièrement dû aux mouvements thermiques. L’utilisation de ces variables tridimensionnelles permettra cependant de créer des spectres synthétiques comme expliqué à la prochaine section.
2.3
Construction de spectres synthétiques à partir des
simulations
À partir des équations de la section précédente, il est maintenant possible de construire des spectres synthétiques. Les simulations effectuées au cours de ce projet de maîtrise sont tridi- mensionnelles et la valeur de chaque variable est définie pour chaque voxel d’une grille. Chaque voxel possède sa propre densité nHI(x, y, z), vitesse ~v(x, y, z) et température TK(x, y, z)repré-
sentant une valeur moyenne du volume qu’il occupe. Pour construire les spectres, chaque voxel sur une ligne de visée est considéré comme un nuage isotherme sans turbulence interne et avec une densité uniforme. La température de brillance produite est donc une sommation des tem- pératures de brillance produites par chaque voxel, où chaque terme de la somme est pondéré par l’absorption sur la ligne de visée causée par les autres voxels situés devant. La profondeur optique peut être définie, par analogie avec l’équation 2.6, par :
τ (x, y, z, u) = NHI(x, y, z, u) ψTK(x, y, z)
, (2.9)
La densité de colonne d’un voxel quant à elle est donnée par : NHI(x, y, z, u)dz =
nHI√(x, y, z)
2π∆ e
−(u−vz (x,y,z))2
2∆2 dz, (2.10)
Avant de construire les spectres synthétiques, il faut d’abord distinguer deux cas : les milieux optiquement minces et ceux optiquement épais. Cette distinction est présentée à la prochaine sous-section.
2.3.1 TB et NHI dans le cas optiquement mince
Si le milieu est optiquement mince, la température de brillance peut être approximée par TB(τ (u)) ' τ (u)Tspin. Avec τ(u) définie à l’équation 2.9, les spectres de TB(τ (v)) peuvent
être construits entièrement à partir des variables hydrodynamiques de la simulation par : TB(x, y, u) = 1 √ 2πψ X z nHI(x, y, z) ∆(x, y, z) e −(u−vz (x,y,z))2 2∆2(x,y,z) dz, (2.11)
2.3.2 TB et NHI dans le cas optiquement épais
Dans le cas optiquement épais, il faut conserver la forme de l’équation 2.5. Cette dernière implique que la température de brillance émise par du gaz chaud sera atténuée par la présence de gaz froid situé devant sur la ligne de visée. Puisque la profondeur optique atténuant l’émis- sion d’un voxel sur une ligne de visée provient de la somme des opacités de tous les voxels situés devant, la température de brillance pour un milieu optiquement épais s’obtient avec une double somme (Gibson et al.,2000) :
TB(x, y, u) = X z TK(x, y, z)(1 − e−τ (x,y,z,u)) exp(− X z0<z τ (x, y, z0, u)), (2.12)
2.3.3 Densité de colonne, centroïdes et dispersions de vitesse
Plusieurs quantités importantes peuvent être dérivées de la température de brillance. Tout d’abord, la densité de colonne NHI peut être calculée à partir des températures de brillance
présentées dans les sections 2.3.1 et 2.3.2, ainsi qu’avec l’équation 2.6, si le milieu est opti- quement mince. En tenant ensuite compte de l’absorption sur la ligne de visée, il est possible de quantifier la différence qu’apporte la prise en compte de l’opacité sur la distribution des densités de colonne. Pour une température de brillance TB(x, y, u)et une résolution en vitesse
du, NHI(x, y)est donnée par :
NHI(x, y) = ψ
X
u
TB(x, y, u) du, (2.13)
L’information en vitesse du nuage peut s’obtenir à partir des températures de brillance ou directement à partir des données produites par les simulations. Comme mentionnée plus haut, la température de brillance est proportionnelle à la densité dans le cas d’un gaz optiquement mince (2.11). La vitesse moyenne u de tout le gaz sur une ligne de visée peut donc être pondérée par la température de brillance et correspond au centroïde de vitesse :
C(x, y) = P uu TB(x, y, u) du P uTB(x, y, u) du , (2.14)
Le centroïde de vitesse selon z à partir des variables 3D de la simulation serait plutôt une moyenne de la composante z de la vitesse pondérée par la densité n(x, y, z) :
Csim(x, y) =
P
zvz(x, y, z) nHI(x, y, z)dz
L’intérêt du centroïde de vitesse est de visualiser la présence de gradients de vitesse ou en- core de corrélations en vitesse entre différentes structures d’un nuage. Le centroïde permet aussi d’estimer la dispersion de vitesse turbulente σturb du gaz en prenant l’écart type de la
vitesse des voxels par rapport à C(x, y). Avec TBet le centroïde C(x, y), σturb2 s’écrit (Miville-
Deschênes et Martin,2007) : σ2turb(x, y) = P uu2TB(x, y, u) du P uTB(x, y, u) du − C2(x, y), (2.16) À partir du centroïde Csim(x, y), la dispersion de vitesse turbulente serait plutôt écrite ainsi :
σ2turb, sim(x, y) = P zv2z(x, y, z) nHI(x, y, z) dz P znHI(x, y, z) dz − Csim2 (x, y), (2.17) La dispersion de vitesse thermique aussi est pertinente. Observationnellement, elle s’obtient à partir de la largeur de raie si les autres contributions à l’élargissement de la raie peuvent être estimées. Théoriquement, elle correspond au premier terme de la variable ∆(x, y, z) de l’équation 2.8, soit :
σtherm2 (x, y, z) = kBT (x, y, z) mH
, (2.18)
Finalement, une autre mesure pertinente de la dynamique dans le MIS est le nombre de Mach M = |v|/cson. Les observateurs ne connaissent généralement pas la pression P (x, y, z)
et la densité ρ(x, y, z) = µmHn(x, y, z) qui permettent de calculer la vitesse du son cson =
pγ P (x, y, z)/ρ(x, y, z). Le rapport de la dispersion de vitesse turbulente sur la dispersion de vitesse thermique, qui sont des quantités accessibles observationnellement, permet de savoir si le milieu est subsonique, transsonique ou supersonique :
M(x, y) = h σturb σtherm
ix,y, (2.19)
Avant de procéder à des simulations à haute résolution, de nombreuses simulations à basse résolution ont été effectuées et les quantités ci-dessus permettent de circonscrire quelles condi- tions initiales sont réalistes et peuvent être utilisées à haute résolution.
2.4
Code RAMSES-AMR et équations hydrodynamiques
Afin d’étudier l’impact du cisaillement dans le processus de formation de gaz froid, des simula- tions ont été menées à l’aide du code magnétohydrodynamique RAMSES-AMR. Ce dernier a été développé au début des années 2000 pour des simulations cosmologiques qui nécessitent de résoudre spatialement des structures sur plus de quatre ordres de grandeur (Teyssier,2002). La première version du code traitait l’hydrodynamique et la gravité seulement. Éventuellement, plusieurs ajouts ont été faits à la version initiale de Teyssier (2002). RAMSES peut traiter la magnétohydrodynamique idéale (Teyssier et al., 2006; Fromang et al., 2006), c’est-à-dire que les processus dissipatifs comme la dissipation ohmique et la diffusion ambipolaire sont négligés. Ces derniers ont été implémentés récemment (Masson et al.,2012).
La nécessité de développer un nouveau code provient des limitations imposées par les mé- thodes préexistantes. Les méthodes à grille uniforme deviennent rapidement trop coûteuses en temps de calcul lorsque la résolution est augmentée tandis que les méthodes lagrangiennes avec particules doivent avoir recours à une viscosité artificielle pour simuler les ondes de choc et peinaient à bien les résoudre au début des années 2000. Une nouvelle méthode permettant d’augmenter l’intervalle dynamique des simulations, c’est-à-dire le rapport des tailles des plus grandes et des plus petites structures, s’imposait alors. Le code RAMSES se base sur une structure à arbre récursif pour représenter les données spatiales, permettant d’augmenter la résolution localement plutôt que globalement. À partir d’une grille de base dite coarse grid de dimension 2lmin pour chaque direction, une cellule répondant au critère de raffinement,
appelée cellule parent, est divisée en 2D cellules enfants, où D est le nombre de dimensions de
la simulation. Typiquement, le raffinement a lieu lorsqu’une cellule dépasse un certain seuil en densité ou encore lorsque des gradients importants de vitesse, d’énergie interne ou de pression sont présents. L’arbre est récursif en ce sens que pour chaque niveau de raffinement de la grille, le raffinement est effectué tant que son critère est respecté et que la résolution effective des cellules n’a pas atteint 2lmax, avec l
max ≥ lmin. La structure à arbre est construite telle que les
cellules provenant d’un raffinement possèdent toutes un pointeur vers la cellule parent ainsi que vers d’autres cellules enfants si elles sont raffinées elles-mêmes. Pour tenir compte des variations locales de résolution lors de la résolution des équations hydrodynamiques, celles-ci sont calculées sur les cellules enfants des grilles les plus raffinées et les résultats sont pro- gressivement acheminés aux niveaux moins résolus jusqu’à la coarse grid pour ensuite faire avancer la simulation d’un pas de temps. La structure à arbre permet d’augmenter l’intervalle dynamique à faible coût de calcul, principalement en évitant d’augmenter la résolution dans les milieux exempts de forts contrastes en vitesse ou en densité. L’arbre récursif utilisé par RAMSES est dynamique, dans le sens où il est reconstruit à chaque pas de temps pour suivre l’évolution du flot et ce, cellule par cellule.
Le code RAMSES résout pour un gaz parfait de vitesse u, de densité massique ρ, d’énergie totale spécifique e, d’indice adiabatique γ et de pression thermique p = (γ − 1)ρ(e − u2/2), les
équations hydrodynamiques d’Euler sous leur forme conservative ci-dessous, présentées ici sans champ magnétique et sans auto-gravité (Teyssier, 2002). La première équation correspond à la conservation de la masse, la seconde à celle de la quantité de mouvement et la troisième à la conservation de l’énergie totale ρe. Le symbole ⊗ réfère ici-bas à un produit tensoriel et non au produit de convolution des radioastronomes. Aussi, l’expression e − u2/2correspond à
cinétique macroscopique. ∂ρ ∂t + ∇ · (ρu) = 0, (2.20) ∂ ∂t(ρu) + ∇ · (ρu ⊗ u + p) = 0, (2.21) ∂ ∂t(ρe) + ∇ · [ρu(e + p/ρ)] = −ρL, (2.22) En définissant les variables par parties, comme c’est le cas avec une grille, ces équations peuvent être résolues en utilisant un schéma Godunov (Toro, 2013), qui calcule le flux à chacune des interfaces des cellules en résolvant des problèmes de Riemann à une dimension, autrement dit des problèmes aux valeurs initiales définies d’équations différentielles partielles sous forme conservative possédant une discontinuité. Les solveurs de Riemann déterminent, à partir de l’état de chacune des cellules de part et d’autre de l’interface, quel flux est échangé par la méthode des caractéristiques de Riemann. Le schéma Godunov conserve la masse par construction, ainsi que l’énergie totale et la quantité de mouvement et est pour cette raison bien adapté au traitement des chocs, fréquents dans un milieu compressible comme le milieu interstellaire. Le schéma Godunov est maintenant largement répandu et est utilisé entre autres dans HERACLES (González et al.,2007), RAMSES (Teyssier,2002) , FLASH (Fryxell et al.,
2000), ATHENA (Stone et al., 2008), etc. Deux simulations à haute résolution d’Éléonore Saury, dont le modèle de turbulence compressible est décrit à la prochaine section, ont été effectuées avec le code à grille fixe HERACLES. Les données des deux simulations ont été gentiment rendues disponibles par Marc-Antoine Miville-Deschênes et Éléonore Saury. Pour obtenir une précision au deuxième ordre en temps et en espace, RAMSES utilise la méthode MUSCL-Hancock (van Leer,1979), qui emploie le flux calculé au centre d’un pas de temps pour évoluer le système d’un pas de temps complet. La précision spatiale est obtenue à l’aide de l’extrapolation par le schéma PLM (Piecewise Linear Method) sur les faces des cellules des variables thermodynamiques définies en leur centre. Ces quantités sont avancées dans le temps d’un demi pas de temps par une méthode prédicteur, avant d’être acheminées à un solveur de Riemann pour calculer les flux aux différentes interfaces au centre d’un pas de temps. Les variables thermodynamiques peuvent finalement, pour compléter le pas de temps, être avancées d’un second ∆t/2 à l’aide des flux calculés au centre de l’intervalle ∆t. Le terme de refroidissement ρL de l’équation 2.22, adapté au besoin de ce projet, contient tous les processus de chauffage et de refroidissement du modèle de Wolfire et al.(1995,2003) discuté dans la section 1.6. Il est appliqué après le calcul de la partie conservative des équations d’Euler.
La résolution des équations d’Euler s’effectue pour tous les voxels d’un cube de longueur L et de volume L3 dont la grille de plus basse résolution, dite coarse grid, possède 2l3
min voxels avec
lmin entier. La résolution minimale obtenue pour la simulation est alors L/(2lmin)selon chaque
la grille, et ce, plusieurs fois. La résolution maximale obtenue est fixée par le paramètre lmax,
avec lmin≤ lmax. Les différents choix de conditions de frontières sont : frontière de gaz entrant,
frontière de gaz sortant, frontière réfléchissant le gaz ou encore frontière périodique. Pour des frontières avec du gaz entrant, l’utilisateur choisit la vitesse, la densité et la température qu’auront des afflux de gaz rentrant par ces faces du volume computationnel. Les conditions de frontières avec sortie de gaz permettent quant à elles au gaz de s’échapper du volume alors que le gaz sortant par des frontières périodiques reviendra par les faces parallèles opposées. Les frontières réfléchissantes inversent tout simplement la composante de la vitesse perpendiculaire à la frontière.
2.5
Modèles de formation de gaz froid
Les mouvements de gaz dans la Galaxie proviennent de nombreuses sources. À l’échelle du kpc et au-delà, la source d’énergie généralement invoquée est l’instabilité gravitationnelle à l’échelle de la Galaxie (Hoyle, 1955; Li et al., 2006). Une partie de l’énergie potentielle gagnée par la contraction du gaz en effondrement est dissipée radiativement et chauffe le gaz, mais elle engendre aussi des mouvements de masse à grande échelle responsables des écoulements de WNM. Les chocs provoqués par le passage des bras spiraux et la présence d’une barre peuvent aussi introduire des mouvements turbulents. À une échelle de l’ordre de 102pc, les principaux phénomènes introduisant de l’énergie dans le MIS sont les vents stellaires
d’étoiles massives, les supernovae seules ou en groupe ainsi que l’expansion de régions HII (Elmegreen et Scalo,2004). Tous ces phénomènes peuvent contribuer à produire et entretenir la turbulence présente dans le MIS et à générer des écoulements à grandes échelles. Afin d’étudier les premiers stades de formation des nuages moléculaires à l’échelle de la dizaine de parsecs, les écoulements purement turbulents ainsi que les écoulements convergents de WNM sont les deux modèles utilisés depuis les 15 dernières années. Ceux-ci se ressemblent en ce sens qu’ils supposent une injection d’énergie aux grandes échelles spatiales provoquée par des écoulements générés par la turbulence. Cependant, le type de forçage est différent puisque dans un cas, le forçage est approximativement isotrope et s’effectue dans l’espace de Fourier tandis que dans le deuxième cas, la direction des écoulements est choisie et induit une anisotropie spatiale dans les conditions initiales. Dans le premier cas, les mouvements aléatoires du gaz combinés à la compressibilité du milieu fournissent eux-mêmes la source d’énergie pour comprimer le MIS et faire transiter le WNM vers le CNM par instabilité thermique. Dans le second, les écoulements provenant des frontières du volume de simulation se rencontrent au centre où le gaz choqué se condensera rapidement par instabilité thermique. Les deux sous-sections suivantes décriront plus précisément ces modèles.
2.5.1 Simulations d’écoulements purement compressibles turbulents
L’idée de base derrière le modèle d’écoulements compressibles purement turbulents est d’in- jecter de l’énergie à grande échelle spatiale dans le volume de la simulation via l’espace de Fourier. Cela s’effectue par l’ajout d’une force supplémentaire dans les équations d’Euler de conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie. L’énergie injectée se déplace ensuite progressivement vers les échelles spatiales plus petites où elle sera dissipée. Les premières si- mulations avec ce modèle supposaient le gaz isotherme, avec une pression thermique p alors décrite par p = ρc2
s pour une densité massique ρ et la vitesse du son du milieu cs. L’amplitude
RMS des fluctuations de vitesse était choisie de façon à ce que l’écoulement simulé soit su- personique avec un nombre de Mach autour de 5 à 10 (Federrath et al.,2009,2010), puisque les contrastes en densité nécessaires pour former des structures dans un milieu isotherme vont comme ∆ρ/ρ ' M2 (Vazquez-Semadeni,2012). L’intérêt de Saury et al.(2014) étant d’étu-
dier la capacité de la turbulence à générer des structures de gaz froid à partir du WNM et à reproduire les propriétés du MIS neutre incluant la bistabilité du milieu HI, l’hypothèse isotherme est remplacée par une équation de refroidissement bistable (section1.6).
Afin de produire un champ de vitesse turbulent statistiquement stationnaire, un forçage f est ajouté dans les équations d’Euler (section 2.4) de conservation de l’énergie totale et de la quantité de mouvement. Celles-ci prendront alors les formes suivantes (Saury et al.,2014) :
∂ρ
∂t + ∇ · (ρu) = 0, (2.23)
∂
∂t(ρu) + ∇ · (ρu ⊗ u) = ρf − ∇Ptot, (2.24) ∂
∂t(E) + ∇ · [u(E + Ptot)] = −L(ρ, T ) + ρu · f , (2.25) E est ici l’énergie totale par unité de volume du système, comprenant l’énergie interne, mais aussi l’énergie cinétique volumique du gaz, i.e. E = e + ρu2/2. Aussi, la fonction de refroidis-
sement utilisée est celle de Wolfire et al.(1995,2003) décrite à la section1.6.
Pour une grille tridimensionnelle de côté L contenant N3points de grille, la coordonnée spatiale
en chaque point est donnée par x = (l1∆x, l2∆y, l3∆z)où ∆x = ∆y = ∆z = L/N et les entiers
l1, l2 et l3 vont de 0 à N − 1. L’espace de Fourier quant à lui est discrétisé en N3 nombres
d’ondes k différents, tels que k = (m1k0, m2k0, m3k0)où m1, m2 et m3 sont des entiers allant
de 1 − N/2 à N/2. k0 = 2π/L correspond ici au plus petit nombre d’onde du problème ou
encore à la plus grande échelle spatiale. La vitesse dans l’espace de Fourier au vecteur d’onde k et au temps t s’écrit comme une décomposition en composantes de Fourier des vitesses u(x, t) :
˜ u(k, t) = 1 N3 X l1 X l2 X l3
u(x, t)e−ik·x, (2.26) L’équation de conservation de la masse s’écrit dans l’espace de Fourier comme :
L’équation de conservation de la quantité de mouvement, en ajoutant le forçage des petits nombres d’onde dans l’espace de Fourier, prend la forme suivante (Eswaran et Pope,1988) :
∂˜u(k, t)
∂t = ˜a(k, t) + ˜a
F(k, t), (2.28)
L’accélération ˜a(k, t) contient le gradient de pression et l’advection de quantité de mouvement de l’équation d’Euler, chacun étant décomposé en composantes de Fourier. Le deuxième terme ˜
aF(k, t)quant à lui correspond au forçage pour générer la turbulence, et est non-nul pour les petits nombres d’onde (grandes échelles), tel que 0 < |k| < 2k0 (Saury et al., 2014). Cette
dernière contrainte s’assure que l’énergie est injectée aux grandes échelles spatiales seulement. Une description en profondeur de la méthode utilisée par Saury et al. (2014) pour générer un champ de vitesse turbulent statistiquement stationnaire et calculer ˜aF(k, t)est disponible
dansSchmidt et al.(2004). Une fois le forçage ˜aF(k, t)obtenu, le champ de vitesse turbulent
peut être séparé en modes solénoïdaux et compressibles via une décomposition de Helmholtz. Les modes compressibles sont irrotationnels et produisent des contrastes en densité importants tandis que les modes solénoïdaux sont à divergence nulle et tendent à uniformiser le gaz en le mélangeant (Schmidt et al.,2004).
La décomposition s’opère de la façon suivante. Selon le théorème de Helmholtz, un champ vectoriel F peut être décomposé en une composante irrotationnel Fk provenant du gradient
d’un potentiel Φ, et une composante solénoïdale F⊥ provenant du rotationnel d’un potentiel
vecteur A. Mathématiquement, cela s’écrit :
F(r) = Fk(r) + F⊥(r) = ∇Φ(r) + ∇ × A(r), (2.29)
À noter que F ne possède de solution unique que lorsque ces deux potentiels tendent vers 0 plus rapidement que 1/r2lorsque r → ∞ (Griffiths,1999). Les deux composantes peuvent être
séparées en remarquant que ∇ · F = ∇2Φet que ∇ × F = −∇2A dans le cas où ∇ · A = 0.
Dans l’espace de Fourier, le champ vectoriel peut aussi s’écrire selon une composante parallèle au vecteur d’onde k, ˜Fk(k), et une autre qui lui est perpendiculaire, ˜F⊥(k). ˜Fk(k)s’obtient en
prenant le produit scalaire avec le vecteur unitaire selon k, ˆk, et son orientation est obtenue en le multipliant de nouveau par ˆk. L’opération de projection pour cette composante s’écrit (Saury et al.,2014) : Fk(k) = PkF = k k · F k2 , (2.30)
La composante F⊥(k)s’obtient simplement en soustrayant Fk(k)de F.
F⊥(k) = P⊥F = ˜F − PkF = ˜F − k
k · F k2
, (2.31)
En pratique, la décomposition de Helmholtz est effectuée avec l’opérateur de projection donné