Introduction d’écarts
4 Approche formelle de la simulation tridimensionnelle d’usinage
4.2 La simulation d’usinage 3D basée sur une représentation des écarts géométriques par les
torseurs
En observant le processus de fabrication d’une pièce, O.Legoff et F. Villeneuve [Vil 01] ont considéré que chaque phase peut-être observée comme un mécanisme ou un assemblage élémentaire. En utilisant les modélisations des défauts dans les mécanismes, il est possible de développer un modèle de simulation des défauts d’usinage pour chaque phase de fabrication d’une pièce.
4.2.1 Identification des éléments et graphes de phase
En reprenant la modélisation d’une phase que nous avons proposée au chapitre 3, l’étude des défauts géométriques de fabrication s’effectue sur les positions et les orientations des surfaces des différents composants qui participent à la phase. Dans une phase d’usinage, nous avons distingué deux types d’entités : les composants physiques et leurs surfaces. Rappelons que les composants sont la pièce, le porte-pièce, la machine-outil et les opérations d’usinage. Le graphe de la phase associé à la modélisation proposée est représenté sur la Figure 4-1.
Figure 4-1 : Liste des composants et exemple d’un graphe d’une phase
La représentation graphique d’une phase que nous avons créée, met en évidence les écarts géométriques potentiels entre les composants ou les surfaces de ces composants. Ces écarts peuvent être perçus comme des dispersions ∆l généralisées en tridimensionnel.
Nous allons choisir une formalisation des écarts géométriques entre composants et l’utiliser pour la modélisation d’une phase.
4.2.2 Hypothèses de la modélisation géométrique retenue
Les hypothèses portent sur les pièces, les surfaces, et les amplitudes des défauts. 4.2.2.1 Pièce indéformable
Certaines surfaces de la pièce peuvent être actives dans différentes phases d’usinage. Lorsqu’elles sont actives, il faut considérer que leur situation géométrique reste inchangée par rapport à la pièce. Une première hypothèse est de considérer la pièce indéformable quelles que soient les actions mécaniques d’usinage et de maintien en position (serrage). Cette hypothèse permet de considérer les surfaces inchangées (caractéristiques, topologie, etc…) dans différentes phases.
4.2.2.2 Surface associée parfaite et sans défaut
Lorsque l’on évoque une surface, on peut envisager deux points de vue :
• La réalité : c’est à dire la surface réelle qui est un élément imparfait et non défini. • Le modèle : c’est à dire la surface nominale qui est un élément parfaitement défini.
La perception de la surface réelle est subjective car la surface n’est connue qu’au travers du procédé métrologique utilisé. Chaque surface réelle sera identifiée par une surface associée dont on évaluera :
- les propriétés intrinsèques (le défaut de forme et les dimensions), - la position par rapport à la surface nominale.
L’approche métrologique tridimensionnelle classique consiste à associer à la surface réelle une surface parfaite de substitution dont la topologie est identique à la surface nominale et qui la représente au mieux. En métrologie, les modèles d’association répondent soit au critère normalisé de défaut de forme mini tangent à l’extérieur de la matière, soit au critère des moindres carrés des écarts ; ce dernier ayant pour intérêt d’avoir une solution non optimale mais unique. Le choix d’un critère d’association sera nécessaire lors de l’évaluation des défauts fabriqués, mais n’a pas d’incidence dans un premier temps sur la modélisation pour la simulation géométrique qui ne traite que de surfaces parfaites.
Figure 4-2 Association des surfaces
On pose les hypothèses relatives aux surfaces :
Toutes les surfaces utilisées dans notre modélisation sont considérées comme géométriquement définies, parfaites et sans défaut.
Puisque l’élément associé est considéré comme parfait, le défaut de forme des surfaces est négligeable devant les défauts de position et d’orientation.
4.2.2.3 Faible amplitude des défauts
Dans le contexte de la technologie mécanique en général et de l’étude des phases d’usinage en particulier, l’ordre de grandeur des écarts géométriques entre les différentes entités est guidé par les normes ISO 2768-1 et 2768-2 qui fixent les tolérances pour les dimensions linéaires et angulaires et les tolérances géométriques pour les composants non affectées de tolérances individuelles (Tableau 4-1). Ces valeurs proposées par la norme sont le meilleur reflet des grandeurs utilisées dans l’industrie mécanique.
désignation description <10 [10;50] [50;120] [120;400] >400 f fine m moyenne c grossière 0,026180 0,017453 0,008727 0,004363 0,002909 v très grossière 0,052360 0,034907 0,017453 0,008727 0,005760 0,001454 classe de tolérance Ecarts angulaires admissibles (±rad) pour une longueur d'élément (mm)
0,017453 0,008727 0,005760 0,002909
Tableau 4-1 Ecarts angulaires admissibles selon la norme ISO 2768-1
Nous constatons que l’ordre de grandeur des écarts angulaires donnés par la norme est faible. On peut poser l’hypothèse H : pour un angle petit, il est possible de le linéariser, c’est à dire en faire une approximation au premier ordre :
Pour une rotation α, l’extrémité de l’élément de longueur L se déplace verticalement de h = L.tg(α)
Figure 4-3 Déplacement h pour un angle de rotation α
L’erreur Eh du déplacement h faite par l’approximation de premier ordre est : Eh = L.(tg(α) – α)
A partir des valeurs angulaires fixées par la norme, on peut calculer l’ensemble des erreurs Eh en fonction des dimensions limites des éléments (Figure 4-4).
0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0 100 200 300 400 500 600 700 800 L : Longueur élément (mm) Eh : Erreur de linéarisation ( µ m) fine/moyenne grossière très grossière Classe de tolérance
Figure 4-4 Erreur de linéarisation par classes de tolérance de la norme ISO 2768-1
On constate que l’erreur Eh n’excède jamais plus 0,7 µm et ce pour la classe de tolérance la plus grossière. Cet ordre de grandeur d’erreur est inférieur aux incertitudes de mesure de moyens de mesure conventionnellement utilisés en mécanique. L’erreur Eh n’est pas détectable par la mesure.
Une étude similaire sur les tolérances géométriques (classe de tolérance H, K et L) proposées par la norme ISO 2768-2 confirme de la même manière cette hypothèse.
Nous concluons de ces résultats que le développement limité du premier ordre des angles de rotation est admissible et peut caractériser les défauts d’orientation.
4.2.2.4 Modélisation géométrique retenue
Parmi les modélisations permettant de représenter des écarts entre deux composants nous retiendrons les matrices de transformation homogènes et les torseurs de petit déplacement. Le choix du torseur de petit déplacement a eu notre faveur par rapport à l’utilisation des matrices de transformations homogènes. Celles-ci permettent également de formaliser les positions relatives de repères attachés à des éléments mais leur manipulation est plus lourde car elle fait intervenir du calcul matriciel manipulant des valeurs angulaires sous une forme non linéaire.
Compte tenu des hypothèses pour l’utilisation de petits angles de rotation constatée dans notre champ d’application, la linéarisation des angles est admissible.
Nous utiliserons une formalisation des écarts géométriques qui sera basée sur les torseurs de petit déplacement qui s’appuient sur nos hypothèses énoncées précédemment.
Les intérêts de l’utilisation des torseurs de petit déplacement sont :
- Une formulation mathématique basée sur l’algèbre linéaire. Ce dernier point sera utile et intéressant lors des résolutions pour l’analyse et l’optimisation.
- Une formulation unique et globale de différents défauts géométriques.
Une étude sur l’erreur de linéarisation des angles commise par l’utilisation des torseurs est proposée en annexe 4.