Ecriture formelle de la simulation d’usinage

A présent, la phase est modélisée avec différents éléments, la gamme de fabrication de la pièce est représentée par l’association de tous les graphes de phase, et les écarts géométriques entre les éléments sont formalisés par des torseurs de petit déplacement. Nous sommes en mesure de procéder à une simulation d’usinage qui va décrire formellement les origines des défauts géométriques d’une pièce.

Valider un avant-projet d’études de fabrication, nécessite de vérifier que toutes les exigences fonctionnelles du produit et les exigences manufacturières des procédés sont satisfaites. Nous allons devoir exprimer ces exigences selon l’approche formelle que nous avons adoptée.

4.4.1 Respect des exigences : Conditions géométriques

d’usinage

Le but de la simulation d’usinage est d’analyser les effets et les incidences des défauts de fabrication sur la pièce finie en fonction de la gamme proposée. Au niveau géométrique et dimensionnel, les exigences à respecter sont d’origine fonctionnelle et manufacturière. En anglais dénommées Geometric Manufacturing Conditions (GMC) [Tic 05], les conditions géométriques d’usinage sont de deux types :

• associées au produit, ce sont les conditions fonctionnelles de la pièce généralement traduites par des spécifications dimensionnelles et géométriques normalisées,

• associées aux procédés, ce sont les conditions relatives imposées par les possibilités de fabrication qui sont fonction des opérations d’usinage, des méthodes de mise en œuvre des procédés et de la gamme choisie.

Ces exigences sont indépendantes. Pour valider une gamme, toutes ces conditions doivent être respectées.

4.4.1.1 Expression des conditions géométriques d’usinage

Les conditions géométriques d’usinage expriment les défauts de positions relatives entre deux surfaces de la pièce. Selon notre approche, elles seront donc exprimées par un torseur défaut. Nous allons mettre en équations les composantes non indéterminées du torseur défaut entre deux surfaces en fonction des autres torseurs mis en place.

Soit une condition géométrique d’usinage entre deux surfaces Pi et Pj à respecter, l’expression mathématique de cette condition est donnée par le torseur défaut TPi,Pj.

4.4.1.2 Relation avec le tolérancement normalisé

Notre choix est d’utiliser un formalisme qui est indépendant des modes de représentation des tolérances. Actuellement les exigences fonctionnelles sur les pièces sont exprimées avec des langages normalisés nationaux ou internationaux (ANSY, ISO,….). Compte tenu de cette diversité, il est délicat d’en choisir une. De plus en cas d’une évolution majeure de ces normes, notre modélisation ne sera pas directement affectée.

Dans notre étude nous présenterons des exemples qui portent sur la position relative entre deux éléments. Le cas des systèmes de référence ou des zones communes, qui font entrer en relation plus de deux surfaces peut-être traité en formulant le torseur défaut entre les éléments associés. JY Choley dans sa thèse [Cho 05] propose une méthode d’identification métrologique des surfaces impliquées dans un système de référence afin de les associer à un élément nominal.

Un lien est établi entre une spécification de tolérancement géométrique normalisée et le torseur défaut que nous allons utiliser.

De plus, nous serons également attentifs sur la nécessité d’exprimer une exigence de fabrication (qui est une condition géométrique d’usinage)sous la forme d’un torseur défaut.

4.4.2 Résolution par chaîne de torseurs

Une condition géométrique d’usinage est une contrainte reliant deux surfaces de la pièce fabriquée. Grâce aux graphes de représentation des phases, l’expression d’une condition sera la somme des torseurs de petit déplacement qui se trouvent sur le chemin entre les deux surfaces.

4.4.2.1 Analyse d’une chaîne de torseurs

Un exemple de chaîne de torseurs est présenté sur la Figure 4-8.

Elle détermine le torseur défaut entre deux surfaces (Pl et Pq) usinées avec un même outil dans la phase n. Dans le cadre de la simulation d’usinage où nous voulons exprimer les sources d’écarts qui interviennent dans la phase, la fermeture de la chaîne s’effectue par les maillons qui passent par les éléments de la phase.

Mmj

Mmi

MT

Hh

P

Pl

Pq

Pk

H

Mm

Phase n

Figure 4-8 Analyse d’une chaîne de torseurs sur le graphe de la phase n

La fermeture de la chaîne de torseurs s’écrit :

TPl,Pq = - Tn Mmi,Pl - Tn Mm,Mmi + Tn Mm,Mmj + Tn Mmj,Pq

Cette condition dépend de 4 torseurs qui concernent les opérations d’usinage des deux surfaces avec le même outil.

Ce formalisme transcrit les défauts géométriques tridimensionnels entre deux surfaces fabriquées en une seule équation utilisant des éléments homogènes (les torseurs) et un seul opérateur mathématique.

Les conditions géométriques d’usinage imposées par la gamme ainsi modélisée, seront mises en équation en deux temps :

• Tout d’abord, une mise en équations des composantes des torseurs défauts à étudier. • Puis, une écriture torsorielle de la fermeture des chaînes de torseurs.

Ces deux séquences sont distinctes et seront exécutées séparément afin de simplifier les traitements mathématiques.

4.4.2.2 Analyse des chemins

En fonction du type de conditions entre deux surfaces, on peut constater que les chemins peuvent être multiples et peuvent passer d’un graphe de phase à un autre.

Comme il en a été fait référence lors de l’étude de la simulation d’usinage unidirectionnelle au paragraphe 2.5.1 du chapitre 2, trois cas de conditions diffèrent :

• Les conditions sont entre deux surfaces actives d’une même phase avec : - deux surfaces usinées,

• Conditions entre deux surfaces réalisées dans des phases différentes.

Afin de clarifier notre méthode de calcul et nos techniques d’association des torseurs, nous proposons d’étudier un exemple bidimensionnel. Il est destiné à expliquer les différents points apportés par notre approche.

4.5 Exemple d’application bidimensionnel