Les dispersions généralisées en tridimensionnel

5.3.1.1 Sélection des écarts aléatoires

Lors des chapitres précédents, nous avons mis en œuvre la simulation avec les écarts de fabrication que nous avons formalisés par différents types de torseurs. L’expression des conditions géométriques d’usinage et des torseurs de mise en position (suite à l’unification) se fait par l’intermédiaire de chaînes de torseurs. Sous sa forme la plus générale, une composante nommée cPk,Pl d’une condition géométrique d’usinage s’exprime par une équation linéaire du

type :

cPk,Pl =

∑

i=1 n

( Ai.αi + Bi.βi + Ci.γi + Mi.ui + Ni.vi + Li.wi )

où (Ai, Bi, Ci, Mi, Ni, Li) sont des constantes, (αi ,βi ,γi ,ui ,vi ,wi) sont les composantes des

torseurs impliqués et n le nombre de torseurs dans la chaîne.

L’étude des variations de cPk,Pl se traite comme un calcul d’erreur, soit « au pire des cas », soit

statistiquement.

Calcul au pire des cas : Soit R[X] l’étendue des écarts d’une variable X.

Alors R[cPk,Pl] s’exprime par la relation, si αi, βi, γi, ui, vi et wi sont indépendants :

R[cPk,Pl] =

∑

i=1 n

( |Ai|.R[αi] + |Bi|.R[βi] + |Ci|.R[γi] + |Mi|.R[ui] + |Ni|. R[vi] + |Li|.R[wi] )

Calcul Statistique : Soit σX2 la variance de la variable X.

Nous partirons de l’hypothèse que les écarts sont indépendants.

σCPk,Pl2 =

∑

i=1 n

( Ai2.σαi2 + Bi2.σβi2 + Ci2.σγi2+ Mi2.σui2 + Ni2.σvi2 + Li2.σwi2 )

Dans les deux cas de calculs, si les écarts sont constants, leur étendue et leur variance sont nulles, alors l’évaluation des variations des composantes est indépendante des écarts de fabrication constants.

Au niveau de l’étude de l’avant-projet de fabrication, dans le but de simuler la gamme de fabrication, nous allons sélectionner et ne retenir que les écarts de fabrication aléatoires (d’étendue et de variance non nulle). C’est à dire les écarts susceptibles de fluctuer lors d’une série stabilisée.

Les écarts systématiques et constants qui sont aussi à l’origine de défauts de fabrication des pièces ne sont pas à négliger pour autant, mais leur prise en compte se fera au niveau de l’étude de la mise au point et du pilotage de la production. Ces écarts pourront trouver une forme de compensation (correction, réglage, ….) qui ne génère pas de modification de la gamme de fabrication.

Pour chaque écart aléatoire recensé, il faut évaluer sa dispersion, c’est à dire soit son étendue soit sa variance.

Pour résumer cette approche : lorsque les écarts de fabrication modélisés et formalisés par les torseurs de petit déplacement sont traités sous la forme de variations d’écarts, ils sont une généralisation de la méthode des « ∆l ».

5.3.1.2 Réduction de la modélisation

Reprenons sur la Figure 5-10, le graphe général que nous avons proposé au chapitre 3 pour modéliser les écarts géométriques dans une phase.

Mmi MT Hh P Pj Pk H Mm Phase n T_{n Mmi,Pj} T_{n Mm,Mmi} T_{n MT,Mm} T_{n MT,H} T_{n H,Hh} T_{n Hh,Pk} T_Pk,P T_Pj,P MT : machine-outil H : porte-pièce

Hh : surface du porte pièce Pk : surface d'appui de la pièce P Mm : opération d'usinage

Mmi : surface d'usinage

Pj : surface usinée de la pièce

A priori il est difficile de cibler sur ce graphe quels sont les écarts aléatoires et les écarts constants. Il n’existe pas de modèle générique permettant de spécifier suivant le type de torseur s’il est constitué de composantes représentant des écarts aléatoires ou constants. Prenons par exemple, la liaison machine-outil / porte-pièce (MT,H). S’il n’y a qu’un seul montage et que celui-ci n’est jamais désinstallé de la machine lors de la production, les écarts qui caractérisent les défauts de liaison (représentés par le torseur Tn MT,H) sont constants. En

revanche, si au cours de la production, il y a démontage du porte-pièce ou s’il y a plusieurs montages (tels des montages d’usinage en panoplie sur un centre de production palettisé, ou sur un tour multibroches,….), le torseur Tn,MT,H sera constitué de composantes variables.

De plus, pour évaluer un ensemble d’écarts, il est nécessaire de procéder à des mesures. En pratique dans un environnement de production, seules les surfaces de la pièce sont accessibles. Sachant que notre proposition de quantification des dispersions unidirectionnelles consiste à palper la pièce dans son porte-pièce par rapport à un référentiel (machine ou autre), nous proposons de réduire le graphe de la phase en compactant le cumul des écarts en ne conservant que les surfaces de la pièce et un référentiel lié à la machine outil.

Le graphe compacté est représenté sur la Figure 5-11 où les torseurs sont réunis et où il ne reste plus que deux types de branches (en gras sur la figure) :

ƒ La branche relative à la mise en position de MT à Pk. (représentée par Tn MT,Pk)

ƒ La branche relative à l’usinage des surfaces de MT à Pj (représentée par Tn MT,Pj)

Figure 5-11 Réduction du graphe et du nombre de paramètres

Ceci revient à ne conserver que des dispersions globales d’usinage et de reprise relatives à chaque branche. Puisque les surfaces de la pièce sont impliquées dans ces deux branches (MT,Pj et MT,Pk), et puisque les caractéristiques géométriques et dimensionnelles des pièces

(sur un lot) sont variables, alors les torseurs compactés ont des composantes variables qui représentent des dispersions tridimensionnelles de fabrication.

La réduction du nombre de paramètres tend à alléger la modélisation. Quoiqu’il en soit, à partir du moment où des méthodes de mesures d’écarts existent (mais restent à définir), il est possible de « décompacter » le modèle. Pour reprendre l’exemple du porte-pièce multiple ou en panoplie, si l’on procède à une mesure (par palpage ou autre) systématique de la position et de l’orientation du porte-pièce dans l’espace machine, on peut générer des dispersions relatives au torseur Tn MT,Hi .

Sur chaque phase, notons que les écarts de reprise et d’usinage sont indépendants conformément à l’hypothèse posée.

5.3.2 Méthode de quantification des dispersions