Simulation URANS de l’´ecoulement `a travers la grille d’aubes

Comme notre objectif est d’effectuer des simulations LES dans des turbines, nous ´evaluons le sch´ema IRS4 pour la simulation instationnaire bidimensionnelle d’un ´ecoulement autour du rotor de turbine transsonique LS-59 du VKI (Von K´arm´an Institute), qui a ´et´e utilis´e dans de nombreuses ´etudes num´eriques et exp´erimentales [129, 130, 131, 4]. L’´ecoulement est mod´elis´e `a l’aide des ´equations de Navier-Stokes moyenn´ees instationnaires (Unsteady Reynolds-Averaged Navier-Stokes, URANS) ferm´ees par le mod`ele de turbulence k− ω de Wilcox [132]. Le rotor VKI LS-59 est une configuration de turbine fortement charg´ee avec un bord de fuite ´epais et arrondi. Cette aube a ´et´e con¸cue pour des ´ecoulements de sortie proches des conditions soniques. Elle a ´et´e ´etudi´ee dans 4 souffleries europ´eennes diff´erentes [3]. Les r´esultats des campagnes exp´erimentales sont disponibles pour diff´erents points de fonctionnement. Des pho- tographies par strioscopie (Schlieren) montrent l’existence de lˆachers tourbillonnaires dans le sillage. Ces lˆachers tourbillonnaires sont responsables d’une grande partie des pertes g´en´er´ees par l’aube. Nous choisissons des conditions de fonctionnement corres- pondant `a un nombre de Mach proche de 1 et un nombre de Reynolds (bas´e sur la corde de l’aube et les conditions de sortie) de 7.44× 105_{. L’angle d’incidence de l’´ecoulement}

d’entr´ee est de 30◦_{. Le choix de ces conditions de fonctionnement est motiv´e par le}

fait que la plupart des ´etudes num´eriques publi´ees utilisent les mˆemes conditions, pour lesquelles nous disposons de la distribution exp´erimentale du nombre de Mach isen- tropique sur la paroi. Le domaine de calcul contient une seule aube et il est discr´etis´e `a l’aide d’un maillage en ”C” compos´e de 384×32 cellules. La taille de la premi`ere maille adjacente `a la paroi correspond `a ∆y+ _{≈ 2. Nous utilisons des conditions de}

non-r´eflexion `a l’entr´ee et `a la sortie du domaine et des conditions de p´eriodicit´e sur les fronti`eres haute et basse du domaine, afin de simuler une grille infinie. La simulation instationnaire est initialis´ee avec le r´esultat (partiellement converg´e) d’une simulation stationnaire RANS obtenue avec un sch´ema d’Euler implicite r´etrograde disponible dans la plate-forme DynHoLab [122] qui utilise un pas de temps local pour acc´el´erer la convergence.

Tous les r´esultats pr´esent´es pour cette configuration sont simul´es avec le sch´ema DNC3 et avec des coefficients de dissipation k2 = 0.5 et k4 = 0.032. L’IRS4 est appliqu´e

avec un coefficient de lissage ´egal `a θ = 0.01 et un nombre de cellules fantˆomes ´egale `a 2. Le pas de temps correspond `a une valeur maximale de nombre de CF L autour de 7, qui permet de discr´etiser une p´eriode de lˆacher tourbillonnaire avec approximativement 5000 pas de temps.

Seules les instationnarit´es lentes dans la sillage sont captur´ees par les simulations URANS. Le sch´ema explicite RK6 impose une contrainte tr`es forte sur le pas de temps en comparaison avec le temps de vie du ph´enom`ene que l’on veut capturer. `A cause de cette contrainte sur le pas de temps, nous n’avons pas effectu´e de simulation en explicite qui n´ecessiterait un nombre d’it´erations excessivement ´elev´e. Nous comparons les simulations utilisant l’IRS4 avec deux solutions obtenues avec le sch´ema de Gear, qui est a priori tr`es bien adapt´e pour ce type d’´ecoulements instationnaires lents. La premi`ere est ´etablie avec un pas de temps identique `a la simulation IRS4. Avec ce

pas de temps, le sch´ema de Gear n´ecessite entre 6 et 10 sous-it´erations pour atteindre la condition de convergence des r´esidus, correspondant `a une r´eduction de 2 ordres de grandeur par rapport au r´esidu au d´ebut du pas de temps physique. La seconde solution de comparaison est ´etablie avec un pas de temps dix fois plus grand (ie. CF Lmax ≈ 70

avec approximativement 500 pas de temps par p´eriode de lˆacher tourbillonnaire). Dans ce dernier cas, approximativement 20 sous-it´erations par pas de temps sont n´ecessaires au sch´ema de Gear pour atteindre le crit`ere de convergence de la boucle interne. Dans les trois simulations, le calcul est ex´ecut´e sur un temps d’int´egration correspondant `a 20 lˆachers tourbillonnaires.

(a) (b)

(c) (d)

Figure 3.8 – Aube de turbine VKI LS-59 : distribution instantan´ee du gradient de masse volumique calcul´e avec le sch´ema IRS4 `a CF Lmax ≈ 7 (a), et avec le sch´ema de

Gear `a CF Lmax ≈ 7 (b), et CF Lmax ≈ 70 (c) ; Photographie Schlieren de Kiock et al.

Des champs instantan´es du gradient de masse volumique correspondant aux trois simulations que nous venons de d´ecrire sont pr´esent´es sur la figure 3.8. Ils sont com- par´ees `a une photographie Schlieren de Kiock et al. [3]. L’´ecoulement est caract´eris´e par des ondes de chocs de faible intensit´e pr`es du bord de fuite des aubes et d’une all´ee tourbillonnaire dans le sillage. Dans tous les cas, l’instationnarit´e du sillage moyen est capt´ee mais l’all´ee tourbillonnaire est mieux r´esolue dans la solution IRS4 qu’avec le sch´ema de Gear utilisant le mˆeme pas de temps. N´eanmoins, dans les deux cas, les tourbillons du sillage sont rapidement dissip´es. Cela est probablement dˆu au raffine- ment du maillage qui n’est pas suffisant dans cette zone pour simuler correctement les tourbillons sur une plus longue distance. Par ailleurs, nous voyons clairement que la simulation avec le sch´ema de Gear `a CF L ´egal `a 70 ne r´esout pas l’all´ee tourbillonnaire. Aucun tourbillon n’est visible apr`es le bord de fuite et nous remarquons seulement une oscillation du sillage. Dans cette simulation, les tourbillons ne se forment pas car le pas de temps est trop grand pour d´ecrire correctement leur comportement. Dans la photo- graphie Schlieren, les chocs dans la r´egion du bord de fuite sont clairement visibles. Ces ph´enom`enes n’apparaissent pas clairement dans les simulations pr´esent´ees, peut-ˆetre en raison des ´ecarts entre les conditions exp´erimentales et num´eriques ou d’incertitudes sur la g´eom´etrie de l’aube.

La figure 3.9a repr´esente la distribution du nombre de Mach isentropique sur la paroi obtenue en moyennant les solutions sur 10 lˆachers tourbillonnaires. Les r´esultats sont compar´es aux donn´ees exp´erimentales obtenues par Kiock et al. [3] ainsi qu’avec des r´esultats num´eriques obtenus par Michel et al. [4]. Les r´esultats num´eriques de comparaison de Michel et al. ont ´et´e effectu´es avec un mod`ele de turbulence de Spalart- Allmaras, un sch´ema spatial compact bas´e sur les r´esidus (RBC) et un sch´ema temporel implicite du deuxi`eme ordre. Le nombre de Mach isentropique semble peu affect´e par le sch´ema d’int´egration temporel et toutes les simulations sont en bon accord avec les donn´ees exp´erimentales. Le plus grand ´ecart par rapport aux donn´ees exp´erimentales se trouve aux alentours de x/c = 0.6, l’endroit o`u se produit la r´eflexion du choc de l’aube adjacente.

Nous avons ´egalement compar´e la fr´equence du lˆacher tourbillonnaire des diff´erentes simulations. La figure 3.9b montre la transform´ee de Fourier du signal temporel de la force tangentielle appliqu´ee sur une aube. Nous voyons clairement sur cette figure les pics de fr´equence du lˆacher tourbillonnaire. Les nombres de Strouhal bas´es sur l’´epaisseur du bord de fuite et sur les vitesses de sortie sont autour de 0.21 pour les simulations avec les pas de temps les plus petits et autour de 0.20 pour la simulation avec le nombre CF Lmax´egal `a 70. Dans les trois cas, nous avons un bon accord avec les

r´esultats num´eriques fournis par Michel et al. et un accord raisonnable avec les donn´ees exp´erimentales qui pr´evoient un nombre de Strouhal dans la bande de fr´equence [0.2,0.4] dans une configuration proche ´etudi´ee par Sieverding [89]. Les r´esultats restent satis- faisants avec le sch´ema implicite `a CF L = 70 mˆeme si la valeur du nombre de Strouhal est l´eg`erement plus faible. La pr´ecision des r´esultats avec le sch´ema implicite pour- rait ˆetre am´elior´ee en diminuant le crit`ere de convergence des sous-it´erations mais cela impacterait fortement le temps de calcul.

Cette configuration nous a ´egalement servi `a effectuer les premi`eres analyses de performance du sch´ema IRS4. Nous donnons dans le tableau 3.2 les temps de calcul

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x/c 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 Nom bre de Mac h isen tropique IRS4 CFL 7 GEAR CFL 7 GEAR CFL 70 Experimentation 1 Experimentation 2 Michel et al. (a) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Strouhal 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Amplitude (⇥ 10 4) IRS4 CFL 7 GEAR CFL 7 GEAR CFL 70 (b)

Figure 3.9 – Aube de turbine VKI LS-59 : Moyenne temporelle de la distribution pari´etale de nombre de Mach isentropique simul´ee avec plusieurs sch´emas d’int´egration temporels, compar´ee avec des donn´ees exp´erimentales [3] et des r´esultats num´eriques [4] (a) ; Spectre de Fourier de la force tangentielle appliqu´ee sur l’aube avec plusieurs sch´emas d’int´egration temporels (b).

obtenus pour les diff´erentes simulations pr´esent´ees au-dessus. En gardant le mˆeme nombre CF L, l’IRS4 est environ 30% plus rapide que le sch´ema Gear avec une pr´ecision ´equivalente. Avec le sch´ema de Gear, lorsque l’on augmente le nombre CF L `a 70, le calcul est globalement plus rapide mais avec une d´egradation de la pr´ecision du calcul. De plus, si l’on compare les valeurs par it´eration, on voit que l’augmentation du CF L rend les it´erations avec le sch´ema de Gear 3 fois plus longues qu’avec un CF L de 7. Nous voyons sur ce cas, que la m´ethode IRS4 bas´ee sur le sch´ema RK6 nous permet d’´economiser des ressources informatiques de fa¸con non n´egligeable tout en gardant une bonne pr´ecision. De plus, l’IRS4 a l’avantage d’avoir une empreinte m´emoire plus faible que celle du sch´ema de Gear. En effet, l’IRS4 utilise un algorithme de Runge-Kutta `a faible stockage, ne stockant qu’un pas de temps, alors que le sch´ema de Gear a besoin de stocker la solution des deux pas de temps pr´ec´edents.

Table 3.2 – Aube de turbine VKI LS-59 : coˆut informatique pour diff´erents sch´emas d’int´egration temporels ´evalu´es sur un intervalle de temps physique n´ecessaire aux calculs des statistiques.

Sch´ema temporel IRS4 GEAR GEAR

Nombre CF L 7 7 70

Nombre d’it´erations 10000 10000 1000 Temps total CPU (s) 10260 15582 4190 Temps CPU par it´erations 1.026 1.558 4.190