3.3.2.
hydruré
Cette section vise à simuler numériquement le comportement des gaines de Zircaloy-4 détendu hydruré non irradié soumises à différents essais mécaniques à 350°C. L’objectif est d’évaluer la pertinence du modèle de comportement et des hypothèses retenues dans les calculs. Nous discuterons également des effets possibles de la taille de maille et du coefficient de frottement (dans le cas des simulations des essais HT et PST) sur la réponse macroscopique de la gaine.
Description du modèle de comportement (Le Saux, 2008)
3.3.2.1.
Un modèle de comportement viscoplastique anisotrope a été développé pour le Zircaloy-4 détendu hydruré non irradié dans le cadre de la thèse de (Le Saux 2008). Les paramètres du modèle ont été identifiés à partir des essais de traction axiale, traction circonférentielle et de pression interne réalisés au cours de cette même étude. Le domaine d’identification du modèle couvre le domaine du RIA en termes de température (25 à 1100 °C) et de vitesse de déformation (de 3.10-4 s-1 à 5 s-1).
L’état d’hydruration du matériau est pris en compte dans le modèle à travers les concentrations d’hydrogène total, dissous et précipité dans le matériau en fonction de la température, le modèle permettant notamment de représenter la nocivité des hydrures aux basses températures.
Le module de Young est donné par : E (en Pa) = 1.059.1011 – 36.106 T (avec T la température en
Kelvin), Le coefficient de Poisson ν est fixé à 0,342.
Ce modèle phénoménologique repose sur un formalisme standard de l’élastoviscoplasticité à écrouissage isotrope multiplicatif non linéaire sans seuil. Les quatre grandeurs principales du modèle sont la résistance mécanique, l’écrouissage, la sensibilité de la contrainte à la vitesse de déformation et l’anisotropie plastique du matériau.
L’anisotropie plastique du matériau est décrite par le critère quadratique de Hill dont les coefficients sont donnés en fonction de la température T en Kelvin :
p = 0.485 J 9.5. 10 > 1 J Exp •12 ‘ ’740 = 1“” pjj = 1 = p pff = 0,52 J -=0,23 J 4. 10 –’2 —1 J Exp -15 ‘ ’550 = 1“22˜ pj = pf = pjf= 1,5
La contrainte équivalente σH est donnée dans le repère orthotrope radial-circonférentiel-axial du
tube :
m² = ∶ p ∶
m>= p - jj= ff2>J pjj- ff= 2>J pff- = jj2> J 2 pj. j² J 2 pf. f² J 2 pjf. jf²
On obtient le tenseur de vitesse de déformation plastique grâce à la loi de normalité : = d ™š›
™š = dp ∶ š
š› où H est le tenseur de Hill, σ le tenseur des contraintes
La vitesse de déformation viscoplastique équivalente d est donnée par : d = d}„•- ,œ,žš››Ÿ-œ2,ž› 2…
⁄
Avec T la température, CHp et CHs les concentrations massiques d’hydrogène respectivement
précipité et dissous :
OmH-’2 = min- Om ; OH-’2 2 L^ Om -’2 = Om= OmH-’2
Avec CH la concentration massique totale d’hydrogène et Cs(T) la limite de solubilité de
l’hydrogène dans le Zircaloy-4, valable à l’équilibre jusqu’à 550°C :
OH-’2 = 99000. L¤d ‘=¥–¦>¥§œ “ où R = 8,314 J.mol-1.K-1 est la constante des gaz parfaits
Pour une température T = 350°C, et une concentration massique totale d’hydrogène CH = 300 wppm, on a : CHs = Cs (350°C) = 126 wppm et CHp = 174 wppm.
Avec m le paramètre de sensibilité de la contrainte à la vitesse de déformation et η le coefficient d’écrouissage isotrope, caractérisé par le produit de deux paramètres, respectivement K et L, de résistance mécanique et d’écrouissage.
Sensibilité m de la contrainte à la vitesse de déformation : \ =—77,68¨ 1
œJ 4,11-1 = ¨œ2˜ avec ¨œ-’2 = 1/ ©1 J Exp „10,2 ‘ª«>œ = 1“…¬ Coefficient d’écrouissage isotrope : - = &®’, OmH, Om ¯ . ®d, ’, Om ¯ : Paramètre K de résistance mécanique :
& = —1 = 1,175.10 –OmHJ -6,15. 10 ¦= 4,38. 10 °’2Om ˜ —-1,409. 10«= 8,952. 10¦’2&œ J 4,05. 10±-1 = &œ2˜
3.3 Simulation numérique du comportement et de la rupture des gaines de Zircaloy-4 185 Paramètre L d’écrouissage : = -d J 1. 10 –2E²Exp-=kEd2 J -1 = Exp-=kEd22 Avec `}= ®1 J 1,45. 10 –Om ¯—4,86 . 10 >³´œJ 2,35 . 10 >-1 = ³}œ2˜ et ³}œ = µ ¶·¸¹º >•¼A² ½,A½.A² B¾›» ”¿À ; kE= ®53,16 J 1,27. 10 >Om ¯ ©1 J Exp „11,1 ‘ œ ±¥°= 1“…¬ Un écrouissage isotrope suppose que la surface seuil se dilate de façon isotrope dans l’espace des contraintes, c’est-à-dire que le critère de plasticité s’étend avec la même évolution dans l’ensemble des directions. Les coefficients de la matrice de Hill permettent de moduler les rapports des déformations plastiques et les rapports des contraintes selon les trois directions principales du repère d’orthotropie, mais la forme du critère de plasticité sera toujours la même dans les trois directions de sollicitation. Les paramètres d’écrouissage ont été identifiés dans la direction axiale, le comportement est donc mieux représenté dans cette direction que dans la direction circonférentielle, comme l’illustre la Figure 187 .
a b
Figure 187 : Courbes contrainte-déformation plastique expérimentales et simulées des essais de traction a) axiale 3D b) circonférentielle 3D (µ = 0,4) (Le Saux et al. 2015)
Le modèle de comportement développé par (Le Saux 2008) ne représente pas toutes les caractéristiques de l’anisotropie plastique puisqu’il suppose un écrouissage isotrope et ne prend pas en compte la nature cinématique de l’écrouissage des alliages de zirconium. (Le Saux 2008) préconise d’introduire un écrouissage cinématique dont les paramètres seraient identifiés à partir d’essais de chargement cyclique, ou bien de décomposer la déformation plastique en deux déformations viscoplastiques à écrouissage isotrope décrites par des paramètres distincts, dont chacune des deux contributions seraient prédominantes à faibles et à fortes contraintes.
Une application numérique des valeurs des coefficients de la loi de comportement, valable pour les gaines de Zircaloy-4 détendu hydruré, est présentée dans le Tableau 16, pour une température de 350°C et une teneur en hydrogène de 300 wppm.
Paramètre Valeur T(°C) 350 T (K) 623 E (Pa) 8.35E+10 ν 3.42E-01 Hrr 0.568 Hθθ 0.432 Hzz 0.522 Hrθ = Hrz = Hθz 1.500 CH (wppm) 300 CHs (wppm) 126 CHp (wppm) 174 Mt 0.734 m 0.017 Kt 0.663 K 1.04E+09 αn 65.2 N0T 1.00 n0 0.05
Tableau 16 : Application numérique des coefficients de la loi de comportement pour Zy-4 détendu hydruré pour une température de 350°C et pour une teneur en hydrogène de 300 wppm
3.3 Simulation numérique du comportement et de la rupture des gaines de Zircaloy-4 187
Simulation des essais HT
3.3.2.2.
Les essais HT et PST sont simulés en appliquant un déplacement unidirectionnel en paroi interne de mandrin. L’influence du coefficient de frottement entre la gaine et le mandrin sur la réponse macroscopique a été évaluée (Figure 188). On constate que si le coefficient de frottement augmente, l’allongement réparti diminue et la contrainte maximale augmente. La simulation 2D ne reproduit toutefois pas correctement la forme de l’écrouissage observé expérimentalement, cependant la chute de contrainte est satisfaisante lorsque le coefficient de frottement est de 0,4. Les isovaleurs de déformation plastique (Figure 189) montrent que le coefficient de frottement modifie également l’étendue de la zone où se localise la déformation plastique.
Figure 188 : Contrainte en fonction de la déformation plastique – HT Influence du coefficient de frottement
a) b) c)
Figure 189 : Isovaleurs de déformation plastique équivalente (%) lors de simulations d’essais HT à ΔL/Lo = 20 %, en fonction du coefficient de frottement gaine-mandrin :
Une simulation d’un essai HT a été effectuée en 3D avec une taille de maille de 100 µm et pour un coefficient de frottement gaine-mandrin de 0,2. La réponse macroscopique contrainte-déformation de cette simulation 3D a été comparée à celle obtenue lors d’une simulation en 2D contraintes planes avec la même taille de maille et le même coefficient de frottement (Figure 190). La forme de l’écrouissage obtenu dans les simulations en 2D contraintes planes n’est pas la même que celle observée expérimentalement, ni celle obtenue lors de la simulation en 3D. Cela peut être dû à la non prise en compte des congés de part et d’autre d’une zone utile sur l’éprouvette HT, puisque l’on simule en 2D un essai de traction sur anneau « uniforme » ne présentant alors pas de congés ni de longueur utile.
a) b)
Figure 190 : a) Maillage d’un quart de l’anneau HT
b) Contrainte (MPa) en fonction de la déformation plastique (%) – HT Simulation 2D vs Simulation 3D (Taille de maille : 100 µm)
La forme de l’écrouissage ainsi que la pente de la chute de contraintes lors d’une simulation 3D avec un coefficient de frottement de 0,4 sera plus proche de la réponse expérimentale, comme observé sur la Figure 187 b). Cette simulation en 3D est cependant assez couteuse d’un point de vue numérique en raison du contact et du frottement puisque la convergence est difficile à obtenir, malgré une taille de maille relativement grande, l’emploi d’éléments linéaires, et un découpage automatique du pas de temps. Cela justifie ainsi l’emploi de simulations en 2D dans le cadre de notre étude.
3.3 Simulation numérique du comportement et de la rupture des gaines de Zircaloy-4 189
Simulation des essais PST
3.3.2.3.
Les résultats de simulations en 2D déformations planes des essais PST donnent les mêmes évolutions que celles des essais HT. Le coefficient de frottement (Figure 191) joue un rôle non négligeable sur la réponse macroscopique du système. L’écrouissage n’a pas la même forme que celui obtenu expérimentalement, cependant la pente de la chute de contrainte est comparable à celle de la courbe expérimentale. Tout comme observé lors des simulations des essais HT, les isovaleurs de déformation plastique montrent que le coefficient de frottement modifie l’étendue de la zone où se localise la déformation plastique (Figure 192).
Figure 191 : Contrainte en fonction de la déformation plastique – PST Influence du coefficient de frottement
a) b) c)
Figure 192 : Isovaleurs de déformation plastique équivalente (%) lors de simulations d’essais PST à ΔL/Lo = 20 %, en fonction du coefficient de frottement gaine-mandrin
Simulation des essais EDC
3.3.2.4.
Etant donné que les déformations diamétrales à rupture des essais HB-EDC et EDC sont respectivement de 20% et >80 %, il est nécessaire de pouvoir simuler le comportement (sans endommagement) de la portion de gaine 2D soumis à ces essais jusqu’à des déformations diamétrales supérieures ou égales aux valeurs de déformations diamétrales à rupture.
On constate sur la Figure 193 que ce type de calcul est instable, puisqu’il peut apparaitre une localisation de la déformation plastique à partir d’une certaine déformation diamétrale, qui dépend de la taille de maille et/ou du maillage. En effet, il apparait une striction autour de 70 % de déformation diamétrale pour le calcul dont la taille de maille est de 40 µm (Figure 194). Cette instabilité plastique est purement numérique et liée au maillage courbé de la gaine, bien que la taille de maille soit homogène sur l’ensemble du maillage.
Figure 193 : Contrainte en fonction de la déformation diamétrale – EDC Influence de la taille de maille
Figure 194 : Isovaleurs de déformation plastique équivalente (%) – EDC (taille de maille : 40 µm) Striction dans l’épaisseur
3.3 Simulation numérique du comportement et de la rupture des gaines de Zircaloy-4 191
Simulation des essais HB-EDC
3.3.2.5.
D’après la Figure 195, la taille de maille de la structure ne joue pas sur la forme de l’écrouissage. En revanche, les simulations des essais HB-EDC en déformations planes ont également montré l’apparition d’une localisation de la déformation plastique à partir d’une certaine déformation diamétrale (Figure 196), qui dépend également de la taille de maille, comme pour les simulations des essais EDC.
Figure 195 : Contrainte en fonction de la déformation diamétrale – HB-EDC Influence de la taille de maille
Figure 196 : Isovaleurs de déformation plastique équivalente (%) – HB-EDC (taille de maille : 40 µm) Striction dans l’épaisseur
Simulation des essais biaxés de pression interne couplée à la
3.3.2.6.
traction
L’intérêt des essais biaxés de pression interne couplée à la traction axiale réside dans le fait qu’ils ne font pas intervenir d’effets de structure dans la réponse macroscopique du matériau. Ils permettent ainsi d’identifier le comportement du matériau. La Figure 197 présente les courbes expérimentales et numériques des contraintes circonférentielles et axiales en fonction de la déformation diamétrale, obtenues à partir de l’Équation 11 (section 3.2.1.2). Selon la direction circonférentielle, le modèle prédit trois courbes d’écrouissages différentes en fonction des trois taux de biaxialité des contraintes, alors qu’on obtient expérimentalement le même écrouissage pour les trois biaxialités (Figure 161).
a)
b)
Figure 197 : Contrainte a) circonférentielle et b) axiale en fonction de la déformation diamétrale – Coefficients de Hill issus de (Le Saux 2008)
3.3 Simulation numérique du comportement et de la rupture des gaines de Zircaloy-4 193 En modifiant les valeurs des coefficients de Hill ainsi que le paramètre αn de la loi de
comportement, avec les valeurs données dans le Tableau 17, on arrive à réduire l’écart entre les niveaux de contraintes circonférentielles, comme observé expérimentalement (Figure 198).
350°C Hrr Hϴϴ Hzz αn
(Le Saux 2008) 0,568 0,432 0,522 αn (T, CHp)
Macdonald 0,75 0,25 0,61 αn x 2
Tableau 17 : Coefficients de Hill et paramètre αn à 350°C issus de (Le Saux 2008) et coefficients modifiés
a)
b)
Figure 198 : Contrainte a) circonférentielle et b) axiale en fonction de la déformation diamétrale – Coefficients de Hill et paramètre αn modifiés
Les essais biaxés peuvent permettre d’identifier proprement le comportement du matériau, en utilisant également un extensomètre axial, puisqu’on s’affranchit des effets de structure comme on peut observer dans les essais de type traction circonférentielle ou compression de média.