2.2.1.
Les premières études consacrées à la rupture portaient sur des matériaux fragiles. En particulier, (Griffith 1921) propose une théorie fondée sur la compétition entre l’énergie élastique restituée lors de l’avancée de la fissure et l’énergie dissipée sous forme de création de nouvelles surfaces. Il désigne par G le taux de restitution d’énergie élastique, c’est-à-dire la diminution d’énergie potentielle stockée par incrément de fissure. Un peu plus tard, (Irwin 1957; Irwin 1968) montre que l’énergie de rupture d’une pièce fissurée correspond à une certaine contrainte à rupture définie par :
= !.#$
%
avec σr contrainte à rupture, E module de Young, a profondeur de fissure, et Gc énergie à rupture.
Le facteur d’intensité des contraintes (« FIC ») en mode I, également appelé KI, permet de décrire
l’intensité du chargement mécanique en pointe de fissure, et est finalement une grandeur analogue à G telle que décrite par (Griffith 1921) et (Irwin 1968). Il est fonction de la géométrie de la pièce et du type de chargement mécanique, et décrit ainsi l’ensemble de la singularité spatiale du champ de contraintes en pointe de fissure. Dans le domaine de l’élasticité linéaire, les problèmes de fissuration peuvent être traités en termes de ténacité KIc. Le FIC est couramment utilisé pour
prédire la rupture d’une éprouvette fissurée, puisqu’on le compare à la ténacité pour prévoir la rupture d’un matériau fragile. La fissure se propage en mode I dès lors que KI atteint la valeur
critique KIc.
En élasticité non linéaire, l’intégrale-J ou intégrale de contour décrit l’intensité du chargement en pointe de fissure d’un milieu continu et représente le taux de restitution d’énergie correspondant à une avancée infinitésimale de la fissure, d’après les travaux de (Rice 1968). Dans un matériau élastique isotrope soumis à un chargement mécanique monotone, l’intégrale-J a la propriété d’être invariante par rapport au contour d’intégration choisie pour la calculer, à condition que le contour entoure la pointe de fissure.
Pour les matériaux qui rompent dans le domaine plastique, l’intégrale de contour permet une extension de la mécanique élastique linéaire de la rupture à la mécanique élasto-plastique de la rupture. En plasticité confinée, il est encore possible d’utiliser les concepts de la mécanique de la rupture établis dans le cadre de l’élasticité linéaire, le FIC continue de décrire le champ des
2.2 Procédure de détermination de la ténacité à 25°C des tubes de Zircaloy-4 101 contraintes et des déformations en pointe de fissure. Les conditions de plasticité confinée peuvent être vérifiées au moyen des modèles d’Irwin et de Dugdale-Barenblatt ((Dugdale 1960), (Barenblatt 1962)), qui permettent d’évaluer l’étendue de la zone déformée plastiquement en pointe de fissure. Si l’hypothèse de plasticité confinée n’est plus vérifiée, la singularité plastique sera alors décrite par l’intégrale de contour.
Le critère de rupture repose sur l’hypothèse que la rupture se produit lorsque l’intégrale-J (représentant le chargement mécanique de la fissure) atteint une valeur critique Jc supposée être une caractéristique du matériau.
L’objectif de notre étude est d’estimer la ténacité des tubes de Zircaloy-4 comportant des blisters à 25°C, à partir de la base expérimentale existante d’essais mécaniques. Pour cela, il est nécessaire d’estimer l’intégrale-J à rupture pour chaque essai mécanique effectué sur éprouvette contenant un blister. Il n’existe cependant pas de modèle analytique permettant de déterminer la ténacité de tubes au comportement élasto-plastique, comportant une fissure semi-elliptique, chargés en traction par des demi-mandrins ou par compression de média. Les calculs éléments finis permettent alors de prendre en compte les effets de structure et de la biaxialité des contraintes pour déterminer l’intégrale-J critique pour chacun des essais de la base.
Plusieurs méthodes numériques, basées sur des calculs d’intégrales de contour ou d’intégrales de surface, permettent de déterminer l’intégrale J. Dans un calcul par éléments finis, l’intégrale J est calculée le long d’un contour englobant la pointe de fissure, en accord avec sa définition. En mécanique élasto-plastique de la rupture, l’intégrale de contour peut dépendre du contour choisi, mais plus le contour est éloigné de la pointe de fissure, plus la précision numérique sera bonne. Il sera nécessaire de vérifier lors des simulations numériques cette hypothèse de convergence de J avec la taille du contour.
La méthode d’extension virtuelle de la fissure a été introduite dans les calculs éléments finis par (Parks 1977). On considère deux contours Γ1 et Γ 2 de taille différente autour de la fissure de
longueur « a », ainsi qu’une extension virtuelle « δa » de la fissure. L’extension consiste à déplacer virtuellement d’une longueur « δa » les éléments internes à Γ 1 uniquement, de façon à créer une
distorsion des éléments compris entre Γ 1 et Γ 2. On calcule alors le taux de restitution de l’énergie
par rapport aux éléments compris entre Γ 1 et Γ 2.
De Lorenzi a par la suite généralisé la méthode au cas d’un milieu continu (De Lorenzi 1982), puis (Suo and Combescure 1992) ont retrouvé un résultat analogue faisant intervenir une fonction vectorielle « θ » dont les composantes valent (1,0) à l’intérieur du contour Γ 1, (0,0) à l’extérieur du
la fissure, d’où le nom de méthode G(θ). Ainsi la méthode G(θ) permet soit une extension virtuelle du front de fissure entier, on parlera de J Global, soit une extension virtuelle d’un ou plusieurs nœuds auquel cas on parlera de J Local (Figure 107). C’est cette méthode qui est implémentée en standard dans CAST3M, sous le nom de procédure G_THETA (Suo and Combescure 1992).
a b c
Figure 106 : a) Extension virtuelle de la fissure et distorsion des éléments compris entre les contours Γ 1
et Γ 2 (Parks 1977)
b) Généralisation à un milieu continu (De Lorenzi 1982)
c) Généralisation au milieu continu et introduction du champs θ (Suo and Combescure 1992)
a) b)
Figure 107 : Extension virtuelle pour la définition du a) J global b) J local (Miannay 1995)
Afin de valider notre procédure numérique de détermination de J par la méthode G(θ), nous allons comparer les prédictions du calcul par éléments finis avec les résultats d’un modèle analytique de la littérature, sur un cas simple de plaque fissurée soumise à un effort de traction.
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