2.3 Simplification
2.3.2 Simplification correcte
En outre, on souhaite que nos simplifications préservent certaines propriétés sé- mantiques de nos réseaux. Ainsi, on définit une relation d’équivalence ∼ sur les réseaux (par exemple, pour la sémantique déterministe, les deux réseaux doivent avoir les mêmes solutions observables), et on souhaite que le réseau simplifié soit équivalent au réseau initial. On dit alors que la simplification est correcte vis à vis de l’équivalence.
Définition 7. Une relation de simplification ⇒∈ S × S est correcte pour une relation d’équivalence ∼∈ S × S si s ⇒ s0implique s ∼ s0.
On peut également définir une notion de simulation entre deux relations de simplification, décrivant le fait qu’une simplification peut en imiter une autre. On peut alors utiliser les propriétés d’une simplification pour prouver des résultats sur l’autre. Considérons deux ensembles de systèmes S1et S2munis respectivement
des relations d’équivalence ∼1 et ∼2. Soit ⇒1∈ S1 × S1 et ⇒2∈ S2 × S2 deux
relations de simplification. Une transformation T : S1 → S2 est une simulation
de (S1, ∼1, ⇒1) dans (S2, ∼2, ⇒2) si, pour tout s, s0 ∈ S1:
• les équivalences correspondent : s ∼1 s0 si et seulement si T (s) ∼2 T(s0),
• les simplifications dans S1 sont imitables dans S2 : s ⇒1 s0 implique
T(s) ⇒2T(s0).
Ces conditions sont représentées dans la Fig.2.22. On verra par exemple que la dérivation d’un système d’équations à partir d’un réseau de réactions cinétiques est une simulation avec leurs relations de simplification respectives.
On a alors la propriété suivante :
Proposition 1. S’il existe une simulation T de (S1, ∼1, ⇒1) dans (S2, ∼2, ⇒2),
et que la simplification ⇒2 est correcte pour ∼2, alors la simplification ⇒1 est
s s0 T(s) T(s0) ∼1 ∼2 T T s s0 T(s) T(s0) ⇒1 ⇒2 T T
Fig 2.22: Diagrammes de la simulation f .
Proof. Soit s, s0 ∈ S1tels que s ⇒1 s0, et soit T la simulation. On a donc T (s) ⇒2
T(s0), et comme ⇒2est correcte, cela implique T (s) ∼2 T(s0), et donc s ∼1 s0.
2.3.3
Confluence
Enfin, on s’intéresse également à la notion de confluence d’une simplification (Huet, 1980). Avoir un système de simplification confluent va impliquer que quelque soit l’ordre dans lequel les règles de simplification sont appliquées, le système obtenu lorsqu’on ne peut plus le simplifier davantage sera toujours le même (modulo éventuellement l’équivalence structurelle). On va donc pouvoir appliquer par exemple les règles de simplification dans un ordre optimal d’un point de vue de la complexité, en garantissant l’obtention du réseau minimal à la fin de la simplification. On s’intéresse toujours ici à des notions de confluence modulo l’équivalence structurelle ≡.
Si ⇒∈ S × S est la relation de simplification, on note ⇐ la relation symétrique définie par ⇐= {(s, s0) | (s0, s) ∈⇒}. La clôture symétrique est définie par ⇔=⇒ ∪ ⇐. On pose ⇒0=≡, et pour tout k > 0, ⇒k=⇒k−1 ◦ ⇒. La clôture transitive est
définie par ⇒+=[
k≥1
⇒k, et la clôture réflexive transitive par ⇒∗= [ k≥0
⇒k. Enfin,
⇒=⇒ ∪ ⇒0.
On dit alors qu’une simplification ⇒ est (globalement) confluente pour (S , ≡) si ⇐∗ ◦ ⇒∗⊆⇒∗ ◦ ⇐∗, comme illustré dans la Fig.2.23. Ainsi, si un système speut être simplifié en un système s1 ou s2 (en zéro, une ou plusieurs étapes de
simplification), alors les systèmes s1 et s2 peuvent être simplifiés en un même
système s0.
Afin de prouver la confluence, on utilisera en général la confluence locale. Une simplification est localement confluente (pour (S , ≡)) lorsque ⇐ ◦ ⇒⊆⇒∗ ◦ ⇐∗,
c’est-à-dire si on peut simplifier un système en une seule étape en deux systèmes différents, alors on peut ensuite les simplifier en un même système (en zéro, une ou plusieurs étapes) (voir Fig. 2.23). Le lemme de Newman indique que toute relation qui termine et qui est localement confluente est également confluente. Une relation ⇒ termine si il n’existe pas de chaîne de réduction infinie, c’est-à-
s s1 s2 s0 ∗ ∗ ∗ ∗ Confluence s s1 s2 s0 ∗ ∗ Confluence locale s s1 s2 s0 ∗ Confluence forte s s1 s2 s0 Confluence uniforme Fig 2.23: Diagrammes de confluence pour la simplification →.
a b c d a1 b1 a2 b2 ... ai bi ... c d c d c d
Fig 2.24: Exemples de confluence locale sans confluence globale.
dire que pour tout système s ∈ S , il existe un entier k tel que {s0 | s ⇒k s0}= ∅. Lemme 1 (Newman, 1942). Soit ⇒∈ S × S une relation bien fondée localement confluente. Alors ⇒ est (globalement) confluence.
Notons que sans la propriété de terminaison, la confluence locale n’implique pas la confluence globale, comme l’illustre l’exemple suivant.
Exemple 21. Les relations illustrées dans la Fig.2.24 ne terminent pas, la pre- mière car elle possède une boucle, tandis que la seconde est définie sur une infinité de systèmes. Elles sont toutes les deux localement confluentes, mais ne sont pas globalement confluentes.
Premièrement, considérons l’ensemble de systèmes S = {a, b, c, d}, et la re- lation ⇒= {(a, b), (b, a), (a, c), (b, d)}, illustrée à gauche de la Fig. 2.24. Cette relation ne termine pas, elle peut boucler infiniment entre les systèmes a et b. La relation est localement confluente. Par exemple, à partir du système a, on peut atteindre en une étape soit le système b, soit le système c. On peut alors réduire (en deux étapes) b en c, et donc atteindre le même réseau. En revanche, ⇒ est pas confluente. Toujours à partir de a, on peut atteindre c et d, et on ne peut ensuite jamais réduire ces réseaux en un même réseau.
De la même façon, considérons l’ensemble infinie suivant S = [
i>1
{ai, bi} ∪
{c, d}, et la relation ⇒= [
i>1
{(ai, bi)(bi, ai+1), (ai, c), (bi, d)}, illustrée à droite de la
Fig.2.24. Encore une fois, ⇒ est localement confluente, mais elle ne termine pas et n’est donc pas confluente.
Comme notre simplification réduit toujours la taille du système, et que la re- lation d’ordre < est bien fondée, notre simplification termine toujours, donc on pourra utiliser la confluence locale pour prouver la confluence globale.
Enfin, on pourra considérer deux notions plus fortes de confluence (Fig.2.23). Une simplification est fortement confluente si ⇐ ◦ ⇒⊆⇒∗ ◦ ⇐. Notons que
cette notion est légèrement plus faible que la notion ⇐ ◦ ⇒⊆⇒ ◦⇐. Elle est uniformément confluente si ⇐ ◦ ⇒⊆≡ ∪(⇒1 ◦1⇐). Clairement, la confluence uniforme implique la confluence forte, qui implique la confluence locale, ainsi que la confluence globale (Huet,1980). De plus, la confluence uniforme implique que toutes les simplifications complètes partant d’un même réseau ont la même taille (Niehren,2000).
Afin de prouver les propriétés de confluence, on définit les deux notions suiv- antes. Soit s un système, et D1et D2deux règles de simplification applicables sur
s, produisant les systèmes s1et s2. On dit que ces règles ne génèrent pas de paires
critiques sur s si s1 = s2. On dit que les paires critiques se ferment uniformé-
mentsi D1est toujours applicable sur s2, et respectivement D2 sur s1, et qu’elles
CHAPITRE
3
Congruence des attracteurs et simplification non
déterministe
On s’intéresse tout d’abord à la simplification de réseaux de réactions tout en préservant certaines propriétés de ces réseaux, avec une sémantique non déter- ministe. Ces propriétés dépendent de l’objectif de la modélisation. Lors de la simplification de réseaux de Pétri (Berthelot, 1985; Lee-Kwang, Favrel, & Bap-
tiste,1987;Desel,1990) par exemple, on cherche principalement à préserver des
propriétés de vivacité, ou leur caractère borné. La sémantique opérationnelle des réseaux de réactions, présentée dans la Sec. 2.1, est en général trop forte. Les simplifications possibles tout en préservant le graphe d’accessibilité sont alors mineures. Il est donc nécessaire de définir une nouvelle sémantique, décrivant ce qui nous intéresse vraiment dans le comportement des réseaux.
En modélisation biologique, on s’intéresse souvent au comportement final, stable, que peut avoir un réseau de réactions. Lorsque l’on étudie la sémantique déterministe, de tels comportements correspondent à ce qu’on appelle les états d’équilibre du système, lorsque la concentration des espèces moléculaires reste constante au cours du temps. Avec une sémantique non déterministe, on peut représenter le comportement final et régulier des réseaux en utilisant la notion d’attracteurs. Un attracteur, comme pour la sémantique booléenne, est une com- posante fortement connexe terminale du graphe d’accessibilité. Cette notion est différente des états d’équilibre en déterministe, puisqu’un attracteur peut représen- ter une oscillation entre différents états. On peut alors étudier la possibilité de converger vers un attracteur, ou au contraire de diverger, c’est-à-dire de ne jamais atteindre de comportement régulier. Ces notions peuvent être définies modulo
la fonction d’observation, afin de s’abstraire de certaines informations non perti- nentes.
Dans ce chapitre, on présente tout d’abord cette nouvelle sémantique, basée sur la convergence vers des attracteurs. On étudie alors un premier ensemble de règles de simplification, confluent, qui préserve la sémantique. On enrichit en- suite cet ensemble avec d’autres règles de simplification plus générales, mais non confluentes. On montre alors comment on peut utiliser la simplification pour com- parer différents modèles d’un même système biologique, sur l’exemple des mod- èles de MAPK (Markevich et al.,2004). Enfin, on discute des propriétés de notre simplification, et de ces liens avec d’autres notions d’équivalences et d’autres re- lations de simplification dans la littérature.
Ce chapitre reprend les résultats de (Madelaine et al., 2014), et les étend en prouvant la confluence d’un sous ensemble de règles, en ajoutant des règles de simplifications plus générales, et en appliquant la simplification pour comparer différents réseaux du système MAPK.
3.1
Congruence des attracteurs
On définit dans cette section la sémantique non déterministe des attracteurs, basée sur la capacité des réseaux à atteindre des composantes fortement connexes ter- minales, ou au contraire à diverger.