4.4 Simplification de systèmes d’équations
5.1.1 Non confluence de l’élimination des espèces intermédiaires
On considère l’ensemble de réactions (sans cinétique) R suivant, illustré dans la Fig.5.1:
r1 = A A2X
r2 = X AY
r3 = Y AX
r4 = X AB.
On veut supprimer les deux espèces intermédiaires X et Y. En commençant par l’espèce X, avec la règle(Interm´ediaire - Lin´eaire)du Chapitre4, on obtient les réactions RX, illustrées dans la Fig.5.1. Par exemple, la réaction r122 représente
la combinaison de la réaction r1 avec deux fois la réaction r2, et transforme donc
une molécule de A en deux molécules de Y. On peut alors supprimer Y, et obtenir les réactions RXY. Inversement, on peut commencer par supprimer Y, puis X, et
obtenir les réactions RY X.
On remarque alors que RXY possède une réaction supplémentaire, la réaction
r1223242. Donc, si on ne considère que les règles d’élimination d’espèces inter-
médiaires, la simplification n’est pas confluente. Néanmoins, cette réaction est en fait la combinaison d’autres réactions. On pourrait par exemple la supprimer avec la règle (Combinaison)présentée dans le chapitre précédent. Malheureuse- ment, comme l’illustre l’exemple suivant, la règle (Combinaison) n’est pas non plus confluente.
Exemple 41. On considère les réactions suivantes :
r1 = ∅ AA
r2 = A AB
r3 = B A∅
A X Y B r1 r2 r3 r4 2 A Y B r122 r23 r34 r142 2 2 A B r1223242 r23 r142 2 2 R RX RXY A X B r1 r23 r4 2 A B r142 r23 2 RY RY X = RXYd
Fig 5.1: Élimination des espèces intermédiaires X et Y dans les réactions R, dans différents ordres, illustrant le besoin d’élimination des réactions dépendantes. La réaction r4est la combinaison de la réaction r1et deux fois la réaction r2, et on
peut donc la supprimer avec la règle(Combinaison)(en négligeant les cinétiques), et obtenir les réactions {r1, r2, r3}. Mais on peut aussi supprimer la réaction r2,
qui est la combinaison de r3 et r4, et obtenir {r1, r3, r4}. On ne peut alors plus
simplifier ni les réactions {r1, r2, r3} ni {r1, r3, r4}, donc la simplification n’est pas
confluente.
Le problème ici vient du fait qu’une réaction r peut être la combinaison d’un ensemble de réactions contenant une réaction r0, et qu’en même temps r0 peut être la combinaison de réactions contenant r. On propose dans la suite une autre notion de combinaison de réactions, permettant d’éviter ce cas.
Revenons aux réactions de RXY. On veut supprimer la réaction r1223242, mais
avec une règle confluente. Au lieu d’utiliser la règle (Combinaison), qui utilise les vecteurs de stœchiométrie, on va se servir des liens avec les réactions ini- tiales. En effet, par construction, on peut voir que la réaction r1223242 est la
combinaison d’une fois la réaction r1, et de deux fois les réactions r2, r3 et r4.
On peut alors représenter cette réaction comme un vecteur u1223242 = (1, 2, 2, 2),
dans la base composée des réactions initiales (r1, r2, r3, r4). On peut procéder de
même pour les deux autres réactions, et obtenir les vecteurs u142 = (1, 0, 0, 2) et
u23 = (0, 1, 1, 0). On remarque alors que u1223242 = u142 + 2u23. On dit alors que
la réaction r1223242 est dépendante des deux autres réactions, et on peut alors la
dépend de r0et en même temps que r0dépende de r.
5.1.2
Réseaux de flux
Dans cette section, on formalise les notions précédentes : les vecteurs et réseaux de flux, les réactions dépendantes et les nouvelles règles de simplification.
Soit r = (r1, . . . , rm) ∈ Réactionsm un m-uplet fixé de réactions sans ciné-
tique. Un vecteur u = (u1, . . . , um) ∈ Zm, appelé flux, peut alors être utilisé pour
représenté la réaction ur, représentant u1 fois la réaction r1, combinée avec u2
fois la réaction r2, etc. Formellement, ur est la réaction normalisée vérifiant, pour
toute espèce A :
stoicur(A) =
X
1≤i≤m
uistoicri(A).
Un réseau de flux U est alors tout simplement un ensemble de flux, et représente l’ensemble de réactions Ur= {ur | u ∈ U}.
5.1.3
Simplification
On veut alors simplifier, de façon confluente, les réseaux de flux en supprimant les espèces intermédiaires. La combinaison d’un flux produisant du X et d’un flux en consommant peut alors être simplement définie comme la somme des flux, pondérée par la stœchiométrie de X :
u Xu
0 = −stoic
u0r(X)u+ stoicur(X)u0.
On a trivialement stoic(uXu0)r(X) = 0, donc la combinaison des réactions élimine
bien l’espèce intermédiaire. On redéfinit alors dans la Fig.5.2la règle(Interm´e-
diaire)pour les réseaux de flux.
On dit qu’un flux u ∈ U dépend des flux u1, . . . , uk ∈ U\{u} avec les coeffi-
cients a1, . . . , ak ∈ N>0si :
u= X
1≤i≤k
aiui.
La règle (D´ependant) supprime un flux dépendant. On ne peut jamais avoir un vecteur u qui dépend de u0 et en même temps u0 qui dépend de u. En effet, sup- posons que ce soit le cas, on aurait donc u = a0u0+X
i aiuiet u0 = au + X j a0juj, d’où u= aa0 u+X i aiui+ X j
a0a0juj, avec aa0> 0. Cela implique ui = uj = 0 pour
tout i, j, et a = a0 = 1, d’où u = u0, ce qui contredit la définition de dépendance.
Donc, contrairement au cas de la règle(Combinaison), la suppression des réactions dépendantes peut se faire de façon confluente.
(Interm´ediaire) X ∈ I U VInter {uXu 0 | u, u0 ∈ U, stoicur(X) > 0, stoicu0r(X) < 0} ∪{u ∈ U | stoicur(X)= 0} (D´ependant) u1, . . . , uk ∈ U a1, . . . , ak ∈ N>0 U ∪ {P 1≤i≤kaiui} VDepU (Factorisation) a ∈ N, a > 1
U ∪ {au}VFact U ∪ {u}
Fig 5.2: Règles de simplification des réseaux de flux sans cinétique, avec I l’ensemble des espèces internes.
Exemple 42. Soit r = {r1, r2, r3, r4} les réactions du réseau N de la Fig. 5.1.
Soit U = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} le réseau de flux tel que Ur= N.
En simplifiant les espèces intermédiaires X puis Y dans U, on obtient le réseau de flux UXY = {(1, 0, 0, 2), (0, 1, 1, 0), (1, 2, 2, 2)} tel que UXYr= NXY. On note u142
le flux (1, 0, 0, 2), u23le flux (0, 1, 1, 0), etc.
On peut alors utiliser la règle (D´ependant)sur le flux u1223242, qui dépend de
une fois u142 et de deux fois u23, et obtenir le réseau UXYd tel que UXYdr= NXYd =
NY X.
On présente également la règle (Factorisation) adaptée aux réseaux de flux. Elle remplace un flux de forme au par le flux u. Elle est nécessaire pour être confluent, comme l’illustre l’exemple suivant.
Exemple 43. On considère le réseau U représenté dans la Fig. 5.3, avec trois espèces intermédiaires X, Y et Z. Selon l’ordre de simplification des espèces intermédiaires, on peut obtenir soit le réseau UXYZ, soit le réseau UY XZ. Pour être
confluent, il faut donc la règle (Factorisation), qui simplifie UXYZ en UXYZ f =
UY XZ.
Notons qu’on ne définit pas ici de règle pour le contexte. En effet, ce n’est pas nécessaire, car les règles ci-dessus sont déjà définies de façon globales : si on peut simplifier U en U0 avec l’une de ces règles, alors pour tout U00 tel que
Espèces(U00) ∩ I= ∅, on peut directement simplifier U ∪ U00 en U0∪ U00 avec la même règle. Cela permet notamment de simplifier les preuves de confluence.
X Y Z A B r1 r3 r2 2 Y Z A B r123 r223 2 2 U UX A B r122332 2 2 A B r123 UXYZ UY XZ = UXYZ f
Fig 5.3: Élimination des espèces intermédiaires X, Yet Z dans le réseau U, dans deux ordres différents, illustrant le besoin de la règle(Factorisation).
Remarquons que bien qu’on ait ici une simplification sans cinétique, il n’y a pas de lien direct avec la sémantique des attracteurs présentée dans le Chapitre3. En effet, l’élimination des espèces intermédiaires est ici basée sur l’existence d’un équilibre (avec les cinétiques), tandis que celle pour la sémantique des attracteurs repose sur le fait que certaines réactions ne sont pas observables.