2.4 Signaux de photodétection
2.4.2 Signaux de photodétection pour différents états quantiques du champ 90
Nous pouvons maintenant utiliser les formules (2.95) et (2.96) pour calculer les
ré-sultats d’une mesure de photodétection sur différents états du champ. Pour mieux
com-prendre les différents aspects de la dualité onde-corpuscule dans le cas de la lumière, nous
considèrerons successivement le cas de l’état quasi-classique et celui de l’état à un photon.
Un photodétecteur est intrinsèquement un système large bande, capable de détecter
des champs électromagnétiques (lumière) dans un domaine étendu de longueurs d’onde.
Les états du champ monomode que nous avons considérés dans la partie 2.3 doivent
donc d’abord être généralisés au cas multimode. C’est ce que nous allons faire pour l’état
quasi-classique et pour l’état à un photon.
a. Mesure sur un état quasi-classique multimode
Un état quasi-classique « multimode » |ψqc(0)iest défini comme un produit tensoriel
d’états quasi-classique dans chaque mode. Il a pour expression, à l’instant t= 0 :
|ψqc(t= 0)i=|α1i ⊗. . .⊗ |α`i ⊗. . . (2.97a)
À l’instant t, cet état devient, d’après l’équation (2.57)
|ψqc(t)i=|α1e−iω1ti ⊗. . .⊗ |α`e−iω`t
i ⊗. . . (2.97b)
On a alors :
ˆ
E(+)(r)|ψqc(t)i= iX
`
E`α` ~ε`ei(k`.r−ω`t)
!
|ψqc(t)i (2.98)
=E(+)⊥ (r, t)|ψqc(t)i (2.99)
où E(+)⊥ (r, t) est le champ complexe classique donné par l’expression (2.92). La formule
quantique (2.95) du signal de photodétection donne alors :
2.4. SIGNAUX DE PHOTODÉTECTION 91
Elle coïncide exactement avec l’expression classique (2.94). D’autre part, l’expression
(2.96) du taux de comptage en coïncidence sur deux photodétecteurs donne le résultat
suivant :
w(2)(r1,r2, t) = s2
E(+)(r2, t)·E(+)(r1, t)|ψqc(t)i
2
=s2|E(+)⊥ (r1, t)|2· |E(+)⊥ (r2, t)|2
(2.100b)
Il s’agit simplement du produitw(r1, t)w(r2, t)des taux de comptage simple, mesurés aux
points r1,r2. C’est aussi ce qu’on aurait obtenu par un calcul classique.
On peut ainsi affirmer de manière générale quel’optique classique et l’optique quantique
conduisent à des prévisions identiques sur les valeurs moyennes des résultats de mesure
dans le cas où le champ est dans un état quasi-classique. Ce résultat généralise au cas
multimode les conclusions du paragraphe (2.3.3c).
b. Mesure sur un état à un photon multimode
On appellera état à un photon multimode un état propre associé à la valeur propre 1
de l’opérateur nombre total de photonsNˆ :
ˆ
N =X
`
ˆ
a+` ˆa` . (2.101)
Nous noterons |1iun tel état. Les états nombres « monomodes » |0, . . . ,0, n` = 1,0, . . .i
sont évidemment des états à un photon, mais ils ne sont pas les seuls. En particulier, les
états « multimodes » de la forme :
|1i=X
`
c`|0, . . . ,0, n` = 1,0, . . .i (2.102a)
avec P
`|c`|2 = 1, sont manifestement des états à un photon. Notons qu’à la différence des
états nombres monomodes, ils ne sont pas des états propres de l’hamiltonien : un état tel
que (2.102a) n’est pas stationnaire. Son expression à l’instant t s’écrit (si on repère les
énergies par rapport à l’énergie Ev du vide) :
|1(t)i=X
`
c`e−iω`t
|0, . . . ,0, n` = 1,0, . . .i. (2.102b)
On trouvera dans le complément 2B une étude plus détaillée des états à un photon, que
l’on peut qualifier d’états « quasi-corpusculaire », parce qu’ils sont les états quantiques
qui ont les propriétés les plus proches de celle d’un corpuscule isolé se propageant à la
vitesse de la lumière, de la même manière que l’état-classique est l’état quantique le plus
proche d’une onde électromagnétique classique. Mentionnons ici simplement qu’un tel état
peut être produit expérimentalement. Il est en particulier l’état final du champ lors du
processus d’émission spontanée pour un atome unique porté dans un état excité.
Lorsque le champ est dans un tel état, le taux de comptage simple sur un
photodétec-teur situé en un point r1, est donné par
w(r1, t) =s
Eˆ(+)(r1)|1(t)i
2
=s
X
`
c`E`~ε`ei(k`·r1−ω`t)
2
. (2.103)
La valeur précise de w(r1, t)dépend donc des coefficientsc`et de la position du détecteur.
Rien ne la distingue a priori du résultat obtenu avec un champ classique.
Le taux de comptage en coïncidence sur deux photodétecteurs est donné par (Eq.
(2.96) :
s2h1(t)| X
i,j=x,y,z
ˆ
Ei(−)(r1)·Eˆj(−)(r2)·Eˆj(+)(r2)·Eˆi(+)(r1)|1(t)i= 0. (2.104)
Dans un état à un photon, il est strictement nul, parce qu’on applique deux fois un
opérateur d’annihilation sur un état ayant au maximum un seul photon. Ce résultat
quantique correspond bien à l’idée qu’on se fait d’un état à un photon : il est impossible
de détecter simultanément un photon unique sur deux photodétecteurs placés en des
points différents. Une telle propriété est inconcevable dans une description classique des
champs électromagnétiques, où w(2)(r1,r2, t) est non nul lorsque le champ est non nul sur
chacun des détecteurs. C’est une propriété spécifiquement quantique caractéristique des
états à un photon (voir Complément 2B).
Remarque
On rencontre parfois l’affirmation qu’une lumière suffisamment faible (dans laquelle
l’éner-gie lumineuse stockée dans une impulsion lumineuse est largement inférieure à ~ω, par
exemple) est formée de photons individualisés. En fait, un tel état résulte de l’atténuation
d’un état « macroscopique » du champ. Il peut s’agir dans le cas monomode d’un état
quasi-classique|αiavechNˆi=|α|21.Dans ce cas, la probabilité de double photodétection vaut
(Eq. (2.55b)) :
w(2)(r1,r2, t) =s2E4`|α|4. (2.105)
Ce taux de comptage en coïncidence, indépendant du temps, est extrêment faible, mais
non strictement nul : une lumière très fortement atténuée contient donc quelques paires de
photons, et ne décrit donc pas un photon unique comme l’état (2.102). La différence entre
les deux situations peut s’observer expérimentalement sans ambiguïté.
2.4.3 Signaux de photodétection à la sortie d’un interféromètre
Les interférences lumineuses sont une des manifestations les plus claires de l’aspect
ondulatoire du rayonnement, et ce paragraphe est consacré à une approche quantique de
ce type d’expérience. L’analyse qui va suivre peut s’appliquer à tout état quantique du
champ utilisé, mais il sera en particulier intéressant de comparer les cas où on envoie à
l’entrée d’un interféromètre un état quasi-classique ou un état à un photon. Nous allons
traiter ici le cas de l’interféromètre de Mach-Zehnder, qui comprend deux lames
semi-réfléchissantes. Il faut donc commencer par analyser au niveau quantique ce dispositif
d’optique classique.
a. Transformation des champs sur une lame semi-réfléchissante
Considérons un faisceau lumineux (1) incident sur une lame semi-réfléchissante, qui
se divise sur celle-ci en un faisceau transmis (3) et un faisceau réfléchi (4). Il existe une
2.4. SIGNAUX DE PHOTODÉTECTION 93
deuxième voie d’entrée (2), symétrique de (1) par rapport à la surface de la lame, sur
laquelle un deuxième faisceau incident donnerait par réflexion et transmission sur la lame
les mêmes faisceaux de sortie (3) et (4) (voir figure 2.6). Pour simplifier, on suppose tous
les faisceaux polarisés perpendiculairement au plan de figure, et on considère donc les
champs électriques comme des grandeurs scalaires.
(4)
(3)
(2)
(1) A
Fig. 2.6: La lame semi-réfléchissante couple au point A les deux champs entrant sur les voies
(1) et (2) aux champ transmis sur les voies (3) et (4) (la deuxième face de la lame comporte un
traitement anti-réfléchissant).
L’optique classique démontre qu’entre les amplitudes complexes des champs classiques
sortants (3) et (4), calculés enAimmédiatement après la lame, et les amplitudes complexes
des champs classiques entrants (1) et (2), calculés au même point immédiatement avant
la lame, existent les relations :
E3(+) = √1
2
E1(+)+E2(+) , (2.106a)
E4(+) = √1
2
E1(+)−E2(+) . (2.106b)
Le signe moins de la deuxième équation permet d’assurer l’égalité entre la puissance
lumi-neuse incidente sur la lame (proportionnelle à|E1(+)|2+|E2(+)|2)et la puissance lumineuse
sortante26 (proportionnnelle à |E3(+)|2 +|E4(+)|2). Le point A de la lame est pris comme
origine des coordonnées.
Pour décrire quantiquement l’effet de la lame semi-réfléchissante, il faut écrire au
niveau quantique comment s’opère l’interaction entre les champs incidents et les atomes
de la lame. On peut ainsi obtenir l’expression du vecteur d’état décrivant le champ après
la lame, sous la forme du résultat de l’action d’un opérateur linéaire sur le vecteur d’état
décrivant le champ incident. Les résultats de mesure s’obtiennent alors en prenant les
26Les relations (2.106) impliquent un choix particulier pour les phases du champ. De manière plus
générale, il suffit d’avoir une transformation linéaire unitaire liant les champs entrants et sortants.
valeurs moyennes des opérateurs des champs se sortie dans l’état transformé. Il s’avère en
fait que cette approche est assez lourde et conduit des calculs souvent compliqués27.
Il existe une deuxième méthode, beaucoup plus commode, pour traiter ce problème,
et aussi d’autres problèmes similaires de transformation par un système optique. La
pro-cédure est la suivante :
i) On exprime les opérateurs champs dans les modes sortantsEˆ3 etEˆ4 en fonction des
opérateurs champs dans les modes entrants Eˆ1 etEˆ2;
ii) on conserve pour décrire l’état du rayonnement son état dans l’espace entrant ;
iii) on calcule les résultats de mesure en prenant, dans l’état entrant du rayonnement,
les valeurs moyennes, des opérateurs champs sortants exprimés en fonction des
opé-rateurs champs entrants28.
L’intérêt de cette méthode est que la transformation des opérateurs champs Eˆi(+)
in-voquée dans la procédure i) est souvent la même que celles des champs classiques
cor-respondants Eˆi(+). On peut donc immédiatement utiliser les relations connues en optique
classique pour traiter le problème correspondant d’optique quantique. C’est en particulier
le cas pour la lame semi-réfléchissante. Les équations (2.106) se transposent donc aux
opérateurs champs complexes sous la forme :
ˆ
E3(+) = √1
2
ˆ
E1(+)+ ˆE2(+) , (2.107a)
ˆ
E4(+) = √1
2
ˆ
E1(+)−Eˆ2(+) . (2.107b)
Même si nous ne les avons pas démontrées, les relations (2.107) sont plausibles, car elles
impliquent que les valeurs moyennes des champs quantiques se transforment comme les
champs classiques. Elles assurent aussi que les commutateurs des opérateurs de création
et d’annihilation des champs sortants, que l’on peut déduire de (2.107) ont bien la valeur
(2.20) requise pour tout mode du champ.
b. Calcul des opérateurs champs à la sortie d’un interféromètre
Considérons maintenant un interféromètre de Mach Zehnder, schématisé sur la figure
(2.92). Il comporte deux miroirsM etM0 et 2 lames semi-réfléchissantesS etS0. Appelons
`−δ`¿
2et`+δ`¿
2les longueurs respectives des deux brasSMS0 etSM0S0, et considérons
27Dans le cas de champs incidents monomodes, cet opérateur, qui s’écrit exp[iπ(ˆa1aˆ+2 + ˆa2ˆa+1)
4] en
fonction des opérateurs d’annihilation et de création agissant dans les modes entrants, est relativement
difficile à manipuler.
28Il est possible de démontrer l’équivalence des deux points de vue en remarquant que les expressions
d’un même signal obtenues dans les deux approches se déduisent l’une de l’autre par application d’une
transformation unitaire, à la fois sur les opérateurs et sur les vecteurs d’état. Cette approche est analogue
à la représentation de Heisenberg qui permet de décrire l’évolution temporelle en mécanique quantique
avec des opérateurs dépendant du temps et des vecteurs d’état indépendants du temps.
2.4. SIGNAUX DE PHOTODÉTECTION 95
pour simplifier le cas de champs monochromatiques et de polarisation fixée. Nous
utili-serons les relations (2.107) au niveau de chacune des lames, et la relation suivante pour
la propagation libre, déduite de l’expression (2.92a) pour le champ quantique complexe
monomode :
ˆ
E(+)(r2) =eik.(r2−r1)Eˆ(+)(r1). (2.108)
On peut ainsi déterminer les opérateurs champs incidents sur la lame S0, puis les
opé-rateurs champs complexes des deux champs sortants de l’interféromètre Eˆ3(+),Eˆ4(+). On
trouve facilement qu’ils se déduisent de celles des deux champs entrants Eˆ(+)
1 ,Eˆ2(+) par
les expressions :
ˆ
E3(+) =eik`
Ç
ˆ
E1(+)cos kδ`
2 +iEˆ
(+)
2 sin kδ`
2
å
, (2.109a)
ˆ
E4(+)=eik`
Ç
iEˆ1(+)sinkδ`
2 + ˆE
(+)
2 coskδ`
2
å
. (2.109b)
D3
(3)
D4
(4)
M
(2)
(1) S
M0 S0
Fig. 2.7: Interféromètre à deux ondes du type Mach-Zehnder. Les signaux de photodétection
mesurés par les photodétecteurs D3 et D4 dépendent de la différence de chemin optique entre
les trajets SM S0 etSM0S0.
Ces relations permettent de calculer les signaux de photodétectionen sortie de
l’inter-féromètre si on connaît l’état quantique des champs entrants. On note ici encore qu’elles
correspondent exactement aux relations entre champs classiques.
c. Signaux de phtotodétection interférométrique pour différents états du champ
entrant.
Considérons tout d’abord le cas où l’état entrant est le produit tensoriel
|1 : α1(t)i ⊗ |2 : 0i de l’état quasi-classique |α1(t)i sur la voie (1) par le vide sur la
voie (2). Le signal de photodétection w3(t)sur la voie de sortie (3) est alors donné par :
w3(t) =s
Eˆ(+)
3 |1 :α1(t)i ⊗ |2 : 0i
2
=s
Ç
ˆ
E1(+)coskδ`
2 +iEˆ
(+)
2 sinkδ`
2
å
|1 :α1(t)⊗ |2 : 0i
2
(2.110a)
=sE2
`|α1|2cos2 kδ`
2 =w1cos
2 kδ`
2 .
On a de même pour la voie (4) :
w4(t) =w1sin2kδ`
2 . (2.110b)
On a notéw1la probabilité de photodétection (constante) que l’on mesurerait directement
sur la voie entrante (1). Ainsi, pour un faisceau entrant dans un état quasi-classique,
on retrouve par le calcul quantique les expressions classiques des signaux de sortie, qui
varient sinusoïdalement en fonction de la différence de marche δ` entre les deux bras de
l’interféromètre. Ce résultat corrobore la conclusion que nous avions énoncée à la fin du
paragraphe 2.4.2a concernant l’équivalence des approches quantiques et classiques dans
le cas des états quasi-classiques.
Considérons maintenant le cas où l’état entrant dans l’interféromètre est de type «
cor-pusculaire ». On le prendra de la forme |1 : 1i ⊗ |2 : 0i, c’est-à-dire formé du vide dans
la voie (2) et d’un état nombre, monomode, à un photon, dans la voie (1). Le signal de
photodétection sur la voie (3) est donné dans ce cas par :
w3(t) = s
Eˆ(+)
3 |1 : 1(t)i ⊗ |2 : 0i
2
=s
e−iωtEˆ3(+)|1 : 1i ⊗ |2 : 0>
2
=sE2`cos2 kδ`
2 =w1cos
2 kδ`
2 .
(2.111a)
Remarquons que w3(t)ne dépend pas du temps car nous avons pris un état, à un photon
monomode et non pas un état de type (2.102). On trouve de même :
w4(t) =s
Eˆ(+)
4 |1 : 1(t)i ⊗ |2 : 0i
2
=w1sin2kδ`
2 . (2.111b)
Cette expression coïncide aussi avec le résultat (D.20) : l’état à un photon donne
exac-tement le même type d’interférence que l’état quasi-classique (et que le champ classique)
si on considère la valeur moyenne du signal de photodétection : l’état « corpusculaire »
formé d’un photon unique, dont on sait qu’il ne peut être détecté à deux endroits
dif-férents, a aussi des propriétés ondulatoires liées à l’existence de deux chemins possibles
de longueur optiques différentes pour ce photon unique. Mais pour l’état à un photon,
le résultat a uniquement un caractère probabiliste : on ne peut évidemment avoir qu’une
seule photodétecton (un « clic ») avec un tel état, et les franges d’interférence ne
pour-ront apparaïtre que si on répète l’expérience un grand nombre de fois en accumulant les
données.
L’équivalence au résultat classique n’est vraie que pour le signal de simple
photodé-tection. Il n’en est pas de même pour les signaux de double photodétection, comme la
2.4. SIGNAUX DE PHOTODÉTECTION 97
détection de coïncidences sur les voies de sortie (3) et (4) de l’interféromètre. Un calcul
analogue à celui du paragraphe (2.4.2b) montre que ce signal est nul dans le cas de l’état
à un photon, et non nul dans le cas de l’état quasi-classique, aussi peu intense soit-il (voir
Complément 2B).
La figure 2.8 donne les résultats d’une expérience d’interférence réalisée avec des états
à un photon29. On constate que les franges d’interférence sont invisibles quand le nombre
moyen de coups comptés à chaque position des miroirs (c’est-à-dire pour une différence
de marche δ` fixée) est inférieure à 1, et qu’elles se construisent progressivement lorsque
ce nombre augmente.
δ` δ`
Fig. 2.8: Enregistrement expérimentaux donnant le nombre de coups comptés sur les voies (3)
(« Z1 ») et (4) (« Z2 ») d’un interféromètre de Mach Zehnder en fonction de la différence de
marche δ`, dans le cas où le champ entrant est dans un état à un photon. Les traces successives
correspondent à des temps d’observation à différence de marche fixe (canal fixé) variant de 10 ms
à 10 s, ce qui correspond à un nombre moyen de détections à chaque position du miroir variant
de 0,1 à 100. Noter que les points au niveau zéro correspondent à des résultats de mesure de zéro
détection observée.
2.5 Conclusion : Dualité onde-corpuscule pour la
Dans le document
Optique quantique 2 : Photons
(Page 90-98)