2.3 Rayonnement monomode
2.3.6 Faisceau lumineux se propageant dans l’espace libre
Ä
ˆ
a2`e2iω`t+ ˆa+2` e−2iω`t
±ˆa+`aˆ`±aˆ`ˆa+` ä
=±E2
`
Ä
ˆ
a2`e2iω`t+ ˆa+2` e−2iω`t
±2ˆa+`ˆa`±1ä .
(2.84)
On en déduit après quelques calculs sans difficultés :
∆EP = ∆EQ =E2
` . (2.85)
Cette relation montre d’une part que les états quasi-classiques sont des états minimaux
pour la relation (2.77), et d’autre part qu’ils réalisent le meilleur compromis en ce qui
concerne la mesure simultanée des deux composantes de quadrature du champ, puisqu’ils
n’en favorisent aucune : c’est une autre manière de dire que pour un état quasi-classique,
la hauteur du « ruban » de la figure (2.47) est la même au points Ai et Bi, et donc en
tout point.
d. États « comprimés »
Les états quasi-classiques ne sont pas les seuls états minimaux possibles. Il existe des
états appelés « états comprimés » pour lesquels ∆EQ par exemple est plus petit que
E`. La variance ∆EP est alors nécessairement plus grande que E`, pour que le produit
reste égal à E2
`. La figure 2.5 montre l’allure du champ associé dans un cas particulier
d’état comprimé. Le « ruban » est étroit au niveau des intersections Ai avec l’axe des
temps, et donc élargi pour les déterminations aux points Bi, une quadrature plus tard.
Les relations (2.78) montrent que la phase de ce champ est définie avec une précision
plus grande que dans un état quasi-classique. La relation de Heisenberg (2.82) implique
alors que l’amplitude de ce champ est plus « bruyante » que celle d’un état cohérent. Un
tel état permet de réaliser des mesures de phase de grande précision. Le complément 2A
donne un aperçu des propriétés et des méthodes de production de ces états comprimés.
2.3.6 Faisceau lumineux se propageant dans l’espace libre
Les états du champ que nous avons considérés dans cette partie sont associés à des
ondes planes occupant l’ensemble du volumeV utilisé pour discrétiser l’espace réciproque.
Dans le cas où ce volume est réel (cavité optique résonnante), des état de ce type ont une
réalité physique indéniable, et on peut effectivement envisager un état formé de nphotons
2.3. RAYONNEMENT MONOMODE 85
E(t)
A1
B2
t
A2
B1
0
Fig. 2.5: Champ électrique dans un état comprimé en fonction du temps : l’incertitude sur les
mesures du champ est réduite par rapport à l’état quasi-classique aux points tels que A1. Elle
est augmentée aux points tels que B1. Un tel état est bien adapté à la détermination précise de
la phase du champ.
dans un mode propre de cette cavité, ou bien un état quasi-classique associé à un nombre
moyen de photons hNˆ`i = |α`|2. En revanche, ces états ne décrivent pas a priori un
faisceau lumineux. Il ne s’agit pas en effet d’un état stationnaire du champ, mais d’un
état constamment produit en un point de l’espace par une source (par exemple un laser),
et constamment détruit en un autre point (par absorption ou diffusion du rayonnement)
après un intervalle plus ou moins long de propagation libre. On ne peut en particulier
pas définir le nombre de photons dans un tel faisceau. De plus un faisceau lumineux est
limité transversalement (voir Complément 3B du cours « Optique Quantique 1 »), et
ne peut pas être décrit par une onde plane d’extension transverse tendant vers l’infini.
Nous montrons dans ce paragraphe, sans démonstration, qu’on peut cependant dans bien
des cas utiliser les états quantiques du champ monomode pour décrire un faisceau laser
continu monomode se propageant dans l’espace libre21
Soient Φ la puissance lumineuse du faisceau (en W), Π sa puissance lumineuse par
unité de surface (Π est encore appelée éclairement, et s’exprime en W/m2), et S sa
sur-face transverse. On peut alors définir sans ambiguïté des quantités « photoniques » comme
la densité de courant de photons Πphot (nombre de photons traversant un plan
perpen-diculaire à la direction de propagation par unité de temps et de surface), le courant de
photons Φphot (nombre de photons traversant un plan perpendiculaire à la direction de
propagation par unité de temps), et la densité de photons Dphot dans le faisceau, par les
21Pour plus de détails, se reporter à H.J. Kimble, Les Houches session 56, p. 603, J. Dalibard, J.M.
Raimond éditeurs, (North Holland, Amsterdam 19922), ou bien C. Fabre, Les Houches 1995 : « Quantum
fluctuations », S. Reynaud, E. Giacobino éditeurs (North Holland, Amsterdam 1996).
relations :
Πphot = Π
~ω`
, Φphot = Φ
~ω`
=S Π
~ω`
, Dphot = 1
c
Π
~ω`
. (2.86)
À la différence des quantités (2.86), le nombre de photons n` qui intervient dans les
équations écrites plus haut est une quantité non physique, qui dépend du volume L3
utilisé et des conditions de mesure. Ce nombre n` est utile seulement dans les calculs
intermédiaires : il faudra s’assurer dans chaque cas particulier que le facteur L3 disparaît
des expressions finales concernant des résultats de mesures réelles, qui ne doivent dépendre
que de Πphot ou Φphot, ou encore Dphot = n`/L3 (on trouvera un exemple de ce type de
méthode dans le paragraphe 3.4.1).
À titre d’exemple, prenons un faisceau laser monomode de puissance moyenne hΦi
(exprimée en W), de section S, et supposé décrit par un état quasi-classique |α`i dans
un mode bien déterminé. Considérons d’autre part un photodétecteur dont la surface
est supérieure à l’extension transverse du faisceau et qui intègre l’intensité du faisceau
pendant un intervalle de temps de durée T. Il mesure en fait le nombre n` de photons
pendant le temps T, et qui sont contenus dans un volume d’extension cST. La valeur
moyenne du nombre de photons vaut :
hn`i=ThΦi
~ω`
=ThΦphot
i (2.87)
C’est cette valeur de hn`i que l’on va égaler au carré |α`|2 de l’amplitude caractérisant
l’état quasi-classique |α`iqui décrit le faisceau laser.
La dispersion des valeurs du nombre de photons dans l’état quasi-classique (voir
§ 2.3.3b) provoque des fluctuations temporelles (ou « bruit quantique ») sur la mesure
du courant instantané de photons. L’écart quadratique moyen dans un tel état valant
∆n` =|α`|=»hNˆ`i (Eq. 2.61), on en déduit l’écart quadratique moyen des fluctuations
du courant de photons ∆Φphot mesurées par le photodétecteur dans l’intervalle de temps
T :
∆Φphot = ∆n`
T =
s
∆Φphot
T =
s
hΦi
T~ω`
(2.88)
Le photodétecteur, supposé parfait, convertit tout photon en électron de charge q. Le
photocourant moyen détecté hiiet ses fluctuations ∆i sont donc égaux respectivement à :
hii=qhΦphoti= qhΦi
~ω`
,
∆i=q∆Φphot =
s
qhii
T =
»
2qhiiB ,
(2.89)
en notant B = 1/2T la bande passante de mesure. On trouve ici, pour un faisceau
lu-mineux dans un état quasi-classique, la formule habituelle du bruit de grenaille (shot
2.3. RAYONNEMENT MONOMODE 87
noise en anglais), proportionnel à la racine carrée de la puissance moyenne et de la
bande passante. À titre d’exemple, considérons un faisceau lumineux de longueur d’onde
λ = 1µm et de puissance moyenne Φ = 1mW (laser continu de faible puissance), que
l’on suppose décrit par un état quasi-classique. Le courant de photons correspondant
Φphot est d’environ 5×1015 photons par seconde. Prenons un temps de mesure typique
T = 1µs. Le nombre moyen de photons comptés est donc de 5×109. D’après la relation
(2.88), il en résulte un bruit sur la puissance détectée caractérisé par un écart quadratique
moyen ∆Φ = 14nW. Cette valeur est mesurable par une photodiode de bonne qualité.
Cet exemple montre donc qu’il existe des situations physiques aisément accessibles où les
fluctuations d’origine quantique, bien que faibles, sont mesurables22.
Mentionnons pour finir que de l’inégalité de Heisenberg (2.82) entre le nombre de
photons et la phase du champ, on peut déduire une inégalité relative à des faisceaux
lumineux se trouvant dans un état quelconque et caractérisés par leur puissance, ou le
courant de photons associé, et la phase du champ :
∆Φ∆ϕ` ≥ ~2ωT` =~ω`B ,
∆Φphot∆ϕ` ≥ 1
2T =B .
(2.90)
On note que ces relations font intervenir la durée de la mesure.
Remarques
(i) On sait qu’on peut obtenir un bruit de grenaille dans le cas de particules matérielles
classiques ponctuelles indépendantes, décrites par la statistique de Poisson, arrivant sur un
détecteur (grains de sable frappant une paroi, par exemple). On peut donc se représenter
un faisceau dans un état quasi-classique comme formé de photons considérés comme des
particules se propageant de manière indépendante.
(ii) Le bruit de grenaille dans la photodétection est ici obtenu à partir des propriétés
spéci-fiquement quantiques du faisceau lumineux, le photodétecteur se contentant de les convertir
en propriétés électriques. On trouvera dans de nombreux ouvrages des démonstrations
pré-sentant le bruit de grenaille dans la photodétection comme une conséquence des propriétés
quantiques du processus de photodétection lui-même : il apparaît alors comme un bruit de
mesure, indépendant de l’état du champ arrivant sur le détecteur. Tout dépend en fait de
la « qualité » du photodétecteur, exprimée par son rendement quantiqueη(pourcentage de
photons effectivement convertis en électrons). L’approche développée ici est justifiée lorsque
η = 1, alors que l’approche mentionnée dans cette remarque s’applique pour η 1.
Préci-sons que si les photomultiplicateurs utilisés en comptage de photons ont effectivement des
rendements inférieurs à 10%, il existe sur les marchés des photodiodes pour le domaine
vi-sible et proche infrarouge qui ont des rendements quantiques supérieurs à 90%. Dans ce cas,
l’approche que nous donnons ici est indispensable pour décrire les faits observés.
(iii) Il existe des faisceaux lumineux pour lesquels le bruit de photodétection est inférieur
au bruit de grenaille donné par les relations (2.88) et (2.89). De tels faisceaux, produits
par des méthodes décrites dans le Complément (2E), sont souvent qualifiés de « faisceaux
22Il est beaucoup plus difficile d’atteindre ce régime pour les mesures de position et d’impulsion d’une
particule. L’optique est donc un domaine privilégié pour tester les postulats concernant la mesure en
mécanique quantique.
sub-Poissoniens ». Dans ce type de situation, seul s’applique le traitement présenté ici, dans
lequel la lumière est quantifiée. L’approche semi-classique présentée à la remarque (ii) est
incapable de prédire un bruit de détection inférieur au bruit de grenaille.
Dans le document
Optique quantique 2 : Photons
(Page 84-88)