3.3 Émission spontanée
3.3.4 Durée de vie du niveau excité. Largeur naturelle
Pour trouver le taux global d’émission spontanée, il suffit d’intégrer le taux différentiel
(3.41) sur toutes les directions d’émission :
Γsp=
Z dΓsp
dΩ dΩ. (3.44)
En coordonnées sphériques l’élément différentiel d’angle solide vaut
dΩ = sinθ dθ dϕ . (3.45a)
L’intégrale (3.44) fait donc apparaître, compte tenu de (3.41)
Z 2π
0 dϕ
Z π
0 dθsin3θ = 8π
3 . (3.45b)
On trouve finalement, pour la transition (l = 1, m= 0) →(l = 0, m= 0) :
=⇒ Γsp = q
2
3πε0
ω0
m2~c3 |ha|pˆz|bi|2 . (3.46)
Ce taux correspond à la probabilité totale d’émission spontanée par unité de temps. La
3.3. ÉMISSION SPONTANÉE 163
Remarque
Si l’état |bipeut se désexciter par émission spontanée vers plusieurs états d’énergies
infé-rieures|a1i,|a2i. . . sa probabilité totale d’émission spontanée est la somme des probabilités
associées à chaque transition et on a donc un taux
Γsp= Γ(1)sp + Γ(2)sp +. . . (3.47a)
ou encore une durée de vie radiative
1
τ =
1
τ1 + 1
τ2 +. . . (3.47b)
Cette situation se produit souvent pour des niveaux très excités. On la retrouve aussi pour
des transitions conduisant vers le niveau fondamental lorsque celui-ci est dégénéré. Il faut
dans ce cas sommer les taux de transition sur tous les sous-niveaux de l’état fondamental
pour obtenir la durée de vie radiative de l’état excité.
Comme nous l’avions indiqué au chapitre 1 du cours « Optique Quantique 1 »
(Équa-tion ? ?) la distribu(Équa-tion en énergie de l’état final du processus est une Lorentzienne de
largeur à mi-hauteur égale au taux de transition. Les photons d’émission spontanée ont
donc un spectre de fréquences centré sur ω0 et de largeur à mi-hauteur Γsp. Plus
préci-sément, la probabilité par unité de bande de fréquence d’observer un photon spontané
autour de la fréquence ω vaut :
dP
dω =
Γsp
2π
1
(ω−ω0)2+ Γ2sp
4
. (3.48)
La largeur à mi-hauteur de cette courbe, que l’on appelle largeur naturelle de la
tran-sition radiative entre les deux états, est donc ici égale au taux d’émission spontanée Γsp
de l’état excité6.
On donne souvent une expression Γsp différente de (3.46), faisant intervenir le dipôle
ato-mique. Il est en effet possible d’utiliser l’élément de matrice de zˆau lieu depˆz, en se servant de
la relation ( ? ?) du cours « Optique Quantique 1 »
ha|pˆz|bi=−iω0mha|zˆ|bi, (3.49a)
et en introduisant l’élément de matrice de l’opérateur dipôle électrique
ha|Dˆz|bi=qha|zˆ|bi. (3.49b)
On obtient alors
Γsp= 1
3πε0
ω30
~c3
ha|Dˆz|bi
2
. (3.49c)
Cette expression se prête bien à des calculs de durée de vie, par exemple dans le cas de l’atome
d’hydrogène où les fonctions d’onde sont connues. Ainsi, dans le cas de la transition Lyman α,
du niveau 2p vers le niveau 1s, le calcul donne un taux Γsp = 6×108 s−1, ce qui correspond à
la durée de vie mesurée qui vaut 1,6 ns.
6La largeur naturelle de la transition ne coïncide avec l’inverse de la durée de vie de l’état excité que
si l’état inférieur de la transition est stable, c’est-à-dire de largeur nulle.
Il peut également être utile d’exprimerΓspen fonction de la force d’oscillateur de la transition,
quantité sans dimension définie par
fab = 2mω0|ha|zˆ|bi|2
~ . (3.50)
On a alors
Γsp=fabΓcl (3.51)
formule dans laquelle on a fait apparaître
Γcl = q
2
6πε0
ω2
0
mc3 (3.52)
qui est l’inverse du temps d’amortissement radiatif classique d’un électron élastiquement lié
(Complément 1A).
Les forces d’oscillateur sont des nombres souvent de l’ordre de 1, ce qui rend la formule (3.50)
particulièrement utile. Par exemple, pour la transition Lymanα de l’hydrogène on afab = 0,42.
Remarques
(i) Dans le cas où les éléments de matrice de pˆx et pˆy entre|ai et |bi ne sont pas nuls, et
pour un état |bi ayant un moment cinétique orbital l nul, la formule (3.51) reste vraie à
condition de généraliser la définition (3.50) sous la forme
fab=2mω0
~ |ha|ˆr|bi|2
. (3.53)
(ii) Comme le montrent les expressions ci-dessus, le taux d’émission spontanée croît avec la
fréquence de la transition considérée (commeω2
0si on avait une force d’oscillateur constante).
Il est donc beaucoup plus grand pour une transition dans l’ultraviolet que pour une transition
dans l’infrarouge. Typiquement, les durées de vie radiative sont de l’ordre de la nanoseconde
dans l’ultraviolet, de la dizaine de nanosecondes dans le visible, de la microseconde dans
l’infrarouge proche. Dans l’infrarouge lointain, et a fortiori dans la gamme des micro-ondes,
l’émission spontanée est un processus extrêmement faible. (Il joue néanmoins un rôle en
astrophysique, par exemple pour l’émission à 21cmde l’hydrogène interstellaire).
(iii) L’émission spontanée croît plus vite avec la fréquence que l’émission induite. Cette
pro-priété est liée au fait que l’émission induite se produit dans un mode déterminé, alors que
l’émission spontanée conduit à l’émission d’un photon dans un nombre de modes qui croît
commeω2
0 à cause de la dépendance en fréquence (3.39) de la densité d’états.
(iv) Il peut arriver, pour des raisons desymétrie, que l’élément de matrice (3.49) de la
tran-sition soit nul. L’émission spontanée ne peut alors pas se produire : il s’agit d’une « raie
interdite ». Il en est ainsi entre niveaux de même parité, les opérateurs dipôle électrique
ou position étant des opérateurs impairs. Un exemple intéressant est celui du niveau 2S
(n = 2, `= 0) de l’hydrogène, qui ne peut pas se désexciter par transition dipolaire
élec-trique vers le niveau fondamental 1S(n= 1, `= 0i), de même parité. Le seul autre niveau
d’énergie inférieure à celle du niveau 2S est le niveau2P1/2), mais la transition
correspon-dante a une fréquence de 1 GHz, dans la gamme des micro-ondes, et le taux d’émission
spontanée correspondant est négligeable. Le niveau 2S est doncmétastable, c’est-à-dire qu’il
est stable bien que n’ayant pas l’énergie minimale. En fait, ce niveau a une petite
probabi-lité de se désexciter vers l’état 1S par une émission spontanée à deux photons, dont le taux
Dans le document
Optique quantique 2 : Photons
(Page 162-165)