3.4 Diffusion d’un photon par un atome
3.4.2 Description qualitative de quelques processus de diffusion
dσ
dΩ(~εj, θ, ϕ). (3.59)
En intégrant sur toutes les directions (θ, ϕ) et en sommant sur les deux polarisations
orthogonales ~ε0j et ~ε00j de deux modes associés à chaque direction, on obtient la section
efficace totale de diffusion d’un photon du mode ` :
σ =
Z
dΩ
Ç
dσ
dΩ(~ε
0
j, θ, ϕ) + dσ
dΩ(~ε
00
j, θ, ϕ)
å
. (3.60)
La section efficace est une quantité homogène à une surface que l’on peut se représenter
de façon imagée comme la surface effective interceptant des photons dans le flux incident
pour les diffuser.
3.4.2 Description qualitative de quelques processus de diffusion
a. Diffusion Rayleigh
La diffusion Rayleigh est un processus de diffusion élastique à basse énergie. Par
pro-cessus de basse énergie on entend que l’énergie des photons est petite devant les énergies
nécessaires pour porter réellement l’atome dans un état excité. Le processus de diffusion
Rayleigh peut être représenté par le schéma de la figure 3.9.
Partant des expression (3.25) et (3.56), il est possible de montrer8 que pour un atome
à deux niveaux (fréquence de Bohr ω0) la section efficace totale de diffusion, Rayleigh est
égale à :
σR = 8π
3 r
2
0
ω4
ω4
0
. (3.61)
Dans cette formule, ω est la fréquence des photons incidents (et diffusés) et r0 est le
« rayon classique de l’électron »9
r0 = q
2
4πε0mc2 (3.62)
qui vaut environ 2,8×10−15m.
8Voir CDG 2, Exercice 3.
3.4. DIFFUSION D’UN PHOTON PAR UN ATOME 169
niveaux b
ωj
a
ω`
excités
Fig. 3.9: Diffusion Rayleigh. L’énergie du photon incident est plus petite que les énergies des
états excités.
On notera que la section efficace de diffusion Rayleigh σR varie comme la puissance
quatrième de la pulsation ω, c’est-à-dire que le rayonnement de petite longueur d’onde est
davantage diffusé que le rayonnement de grande longueur d’onde. Ainsi, dans le domaine
visible, la diffusion est plus grande pour le bleu que pour le rouge, ce qui est à l’origine
de la couleur bleue du ciel, car la diffusion de la lumière du soleil par les molécules
atmosphériques est de type Rayleigh, associée à des résonances moléculaires électroniques
dans l’ultra-violet.
Remarque
Loin de résonance, le modèle de l’atome à deux niveaux n’est pas très réaliste. On peut
néanmoins montrer que la formule (3.61) reste valable, à condition d’y remplacerω0par une
fréquence effective de résonance atomique, définie par
1
(ωeff
0 )2 =~2 Σ
b6=a
fab
(Eb−Ea)2 (3.63)
fabétant la force d’oscillateur de la transition a↔b dont la définition est donnée en (3.53).
b. Diffusion Thomson
La diffusion Thomson est un processus de diffusion élastique à haute énergie,
schéma-tisé sur la Figure 3.10. Le terme « haute énergie » signifie en l’occurrence que l’énergie
du photon est grande devant l’énergie d’ionisation EI de l’atome.
Nous montrerons au paragraphe (3.56) que la section efficace de diffusion Thomson
est égale à
σT = 8π
3 r
2
0 (3.64)
où r0 est la longueur définie en (3.62). Cette section efficace est indépendante de la
fré-quence des photons incidents. La diffusion Thomson est responsable de l’atténuation des
rayons X lors de leur propagation dans la matière ; elle est d’autant plus forte qu’il y a plus
d’électrons. La mesure de cette atténuation permet de déterminer la densité électronique
d’un solide. Des mesures de ce type ont joué un rôle important dans la détermination
du numéro atomique de certaines élements encore mal connus au début du XXème siècle.
ω`
ωj
a
EI
Fig. 3.10: Diffusion Thomson. L’énergie du photon incident est plus grande que l’énergie de
tous les états atomiques excités.
C’est aussi ce phénomène qui est responsable des variations de transparence aux rayons
X des tissus biologiques inhomogènes (principe de la radiographie X). On comprend ainsi
que les éléments « lourds », dont le nombre d’électrons Z est élevé, sont peu transparents
aux rayons X puisqu’ils diffusent beaucoup.
c. Diffusion résonnante
Lorsque la pulsation du photon incident est voisine d’une pulsation atomique ω0, on
se trouve dans une situation intermédiaire entre les deux cas considérés précédemment. Il
s’agit de la diffusion résonnante, schématisée sur la figure 3.11.
Dans ce processus, l’absorption d’un photon du mode`à partir du niveau fondamental
est pratiquement résonnante, puisque le passage de l’atome dans l’état excité |bi
corres-pond à une étape du processus de diffusion qui conserve l’énergie. Si nous analysons les
trois diagrammes possibles de diffusion (Figures 3.4, 3.7 et 3.8), nous constatons que seul
le diagramme de la figure 3.7 possède une étape intermédiaire où le photon incident est
absorbé et l’atome est dans l’état excité. Il s’ensuit que c’est ce diagramme qui a une
contribution dominante dans le calcul de la diffusion résonnante et il décrit le
chemine-ment physique réel du processus. Pour être plus précis, notons que lorsque ~ω` devient
très proche de Eb −Ea, une divergence apparaît dans le premier terme de la formule
(3.56). Cette divergence est liée à l’utilisation de la théorie des perturbations au second
ordre. Un traitement plus complet, faisant intervenir des termes d’ordre plus élevé de la
série de perturbations, permet de l’éliminer. Le résultat d’une telle approche10 est qu’il
faut ajouter un terme imaginairei~Γsp/2au dénominateur résonnant de la formule (3.56),
Γsp étant la largeur naturelle du niveau |bi donnée par la formule (3.46). Le calcul de la
section efficace de diffusion quasi-résonnante (lorsque~ω` ≈Eb−Ea =~ω0), mené suivant
3.4. DIFFUSION D’UN PHOTON PAR UN ATOME 171
cette approche, donne finalement11
σres = 3λ
2
0
2π
1
1 + 4(ω−Γ2ω0)2
sp
(3.65a)
où ω est la fréquence des photons incidents (et diffusés) et λ0 = 2π c
ω0
est la longueur
d’onde de résonnance. À résonance exacte, on obtient la valeur
=⇒ σres = 3λ
2
0
2π . (3.65b)
b
ωj
a
ω`
Fig.3.11:Diffusion résonnante. L’énergie du photon incident est très voisine de l’énergie de l’un
des états atomiques excités.
Il faut noter que la section efficace de diffusion à résonance exacte ne dépend que de
la fréquence de résonance et pas des caractéristiques particulières des niveaux atomiques
(en revanche Γsp en dépend). Pour les fréquences associées à la lumière visible, la valeur
numérique de cette section efficace résonnante est beaucoup plus grande que celle des
sections efficaces Rayleigh (3.61) ou Thomson (3.64). Un calcul élémentaire montre en
effet que dans le domaine visible σres est plus grand que σT par environ 16 ordres de
grandeur (λ0 est de l’ordre 10−6 m, tandis que r0 vaut2,8×10−15 m), la section efficace
Rayleigh étant elle-même plus petite que la section efficace Thomson. Cette section efficace
de diffusion résonnante, correspondant à une dimension de l’ordre de la longueur d’onde
lumineuse, est remarquablement grande comparée aux « dimensions » atomiques (le rayon
de Bohr vaut 0,5×10−10 m).
Cette valeur numérique élevée rend le phénomène de diffusion résonnante facile à
obsserver à l’œil nu sur une vapeur atomique (« résonance optique »). On a même pu
observer la lumière diffusée par un seul ion ou atome piégé, éclairé par un laser résonnant.
Ce fait surprenant se comprend bien si on réalise qu’un faisceau laser de 0,1 milliwatts
transporte1015photons par seconde. Si le faisceau a un diamètre de 1 centimètre, l’ion va
diffuser de l’ordre de 108 photons par seconde et un observateur placé à 0,3 mètre captera
environ 104 photons par seconde ce qui est détectable par l’œil.
Remarques
(i) Le calcul classique de la diffusion d’une onde électromagnétique par un électron
élas-tiquement lié (Complément 1A) donne des sections efficaces de diffusion qui ont la même
forme que (3.61), (3.64) ou (3.65). Si la valeur quantique (3.63) de la section efficace de
diffusion Rayleigh met en jeu la force d’oscillateur des transitions, c’est-à-dire les éléments
de matrice dépendant des fonctions d’onde atomiques, il est remarquable de constater que
les sections efficaces de diffusion Thomson (3.64), ou résonnante (3.65b), obtenues par les
deux approches, sont exactement les mêmes.
On pourrait également montrer que la dépendance angulaire et en polarisation des sections
efficaces différentielles obtenues par le calcul classique sont les mêmes que celles obtenues
par le calcul quantique lorsque l’atome est dans un état|aide moment cinétiquel= 0.
(ii) L’expression (3.65) a été établie à l’ordre le plus bas vis-à-vis de l’intensité du champ
incident et elle ne s’applique donc que lorsque l’intensité incidente est petite devant une
intensité caractéristique appelée intensité de saturation Πsat = π
Dans le document
Optique quantique 2 : Photons
(Page 168-172)