Signal analytique complexe nD

Nous venons de voir que le signal analytique 1D pouvait fournir des informations utiles au trai- tement des donn´ees. Ce signal est obtenu en supprimant les fr´equences n´egatives du spectre du signal de d´epart, ce qui a pour effet d’ajouter `a ce dernier sa transform´ee de Hilbert comme partie imaginaire d’un signal complexe. Un moyen possible de calculer le signal analytique complexe d’une image est de calculer les signaux analytiques complexes 1D de chaque ligne (ou chaque colonne) de cette image. Cette approche est correcte uniquement dans le cas o`u les structures de l’image sont orthogonales `a l’orientation choisie pour le calcul des signaux 1D. Cette hypoth`ese n’est cependant pas toujours vraie, c’est pourquoi une version diff´erente du signal analytique complexe 2D est souhai- table. [B¨ulow et Sommer, 2001] recensent les diverses extensions de la transform´ee de Hilbert au cas nD qui ont ´et´e propos´ees. Ils d´ecrivent les transform´ees de Hilbert totale, partielle, mais ´egalement l’approche single orthant propos´ee par [Hahn, 1992]. Pour chacune de ces m´ethodes, le signal

aura la forme complexe suivante :

sA(x1, . . . , xn) = s(x1, . . . , xn) + isH(x1, . . . , xn). (2.56)

Dans cette partie du manuscrit, nous d´ecrivons ces trois m´ethodes permettant de calculer la transform´ee de Hilbert nD. La nature complexe de ces signaux permet d’obtenir une information d’amplitude locale et de phase spatiale, par les expressions (2.53) et (2.54), comme pour les signaux analytiques complexes 1D.

2.2.2.1 La Transform´ee de Hilbert Totale

L’expression de la transform´ee de Hilbert Totale nD dans le domaine fr´equentiel est tr`es proche de sa version 1D. Dans ce cas, on prend en compte toutes les composantes fr´equentielles du spectre :

SH(u1, . . . , un) = (−i)nS(u1, . . . , un) n

Y

j=1

On remarque facilement que pour n = 1, on retombe sur l’expression de la transform´ee de Hilbert 1D (2.50). Si l’on d´eveloppe l’expression (2.57) pour n = 2, on obtient la tranfsorm´ee de Hilbert totale 2D qui s’´ecrit donc :

SH(u1, u2) = (−i)2S(u1, u2) 2

Y

j=1

sign (uj)

= (−i)2S(u1, u2) sign (u1) sign (u2) (2.58)

= −S(u1, u2) sign (u1) sign (u2) .

2.2.2.2 La Transform´ee de Hilbert Partielle

Dans le calcul de la transform´ee de Hilbert totale, on combine les informations fr´equentielles de chaque direction du signal. La m´ethode de la transform´ee de Hilbert partielle consiste `a calculer la transform´ee de Hilbert 1D dans chaque direction d´ecrivant le signal. La ke transform´ee de Hilbert dans la ke direction nk correspond, dans le domaine fr´equentiel, `a l’expression suivante :

Snk

Hk(u) = −iS(u) sign u

T _{· n}

k
, (2.59)

o`u u = [u1, . . . , un] et · est le produit scalaire. Cette expression montre que la transform´ee de Hilbert

partielle n’est qu’une transform´ee de Hilbert 1D o`u l’orientation est projet´ee dans la direction p_k, avec nk= [cos(θk), sin(θk)]T.

Le signal analytique complexe partiel issu de cette transform´ee a la forme : snk

part(x1, . . . , xn) = s(x1, . . . , xn) + isHnkk(x1, . . . , xn). (2.60)

Le spectre de ce signal partiel ne poss`ede que des fr´equences positives. L’´equation suivante exprime le spectre en question : Snk part(u) =      2S(u) si uT.nk > 0 S(u) si uT.nk = 0 0 sinon (2.61)

2.2.2.3 Approche Single Orthant

Une variante de la transform´ee de Hilbert a ´et´e propos´ee par [Hahn, 1992]. L’id´ee ici est de ne conserver que le spectre des orthants correspondant `a des fr´equences positives, en ´evitant la redon- dance d’information. Un orthant est un sous-espace d’un espace nD. Un espace nD contiendra 2n orthants. Dans le cas 1D, un orthant correspond `a un demi-axe, en 2D `a un quadrant du spectre de fr´equences, etc. Pour illustrer cette approche, l’exemple pr´esent´e dans la figure 2.10 est utilis´e.

Dans cet exemple, on utilise une image contenant des oscillations dans les deux directions de fr´equence u1 et u2 :

(a) (b)

Figure 2.10 – 2.10(a), Repr´esentation 3D d’une image compos´ee d’une oscillation axiale et une lat´erale. 2.10(b), Spectre de l’image.

Le spectre de cette image est constitu´e de quatrepicscorrespondant aux coordonn´ees (u₁, u₂),

(−u1, u2), (u1, −u2) et (−u1, −u2). Chacun de ces pics se trouve dans un quadrant du spectre de

l’image.

La m´ethode de Hahn consiste `a isoler l’information contenue dans un de ces quadrants. Comme les fr´equences n´egatives sont sym´etriques aux fr´equences positives, il n’est n´ecessaire de conserver que deux de ces quadrants, ce qui donne les ´equations suivantes :

SSO1(u1, u2) = S(u1, u2) (1 + sign(u1)) (1 + sign(u2)) , (2.63)

SSO2(u1, u2) = S(u1, u2) (1 − sign(u1)) (1 + sign(u2)) . (2.64)

Dans ces ´equations, on ne tient compte que du quadrant correspondant au cas o`u on a (u1, u2)

pour l’´equation (2.63) et (−u1, u2) pour l’´equation (2.64). La m´ethode d´ecrite ici pour le cas 2D

peut tr`es facilement s’´etendre aux dimensions sup´erieures.

Comme illustr´e par la figure 2.11, la reconstruction du signal se fait `a partir des transform´ees de Fourier inverses des orthants SSO1(u1, u2) et SSO2(u1, u2). Toujours dans le cas 2D, cette recons-

truction s’exprime par l’´equation : s(x1, x2) =

< (sSO1(x1, x2) + sSO2(x1, x2))

2 , (2.65)

o`u <(s) repr´esente la partie r´eelle de s.

Bien que permettant d’extraire des informations d’amplitude et de phase, aucun de ces signaux analytiques complexes nD ne constitue une extension stricte du signal analytique complexe 1D au cas multidimensionnel. En effet, une repr´esentation complexe ne permet pas de d´ecrire rigoureusement une donn´ee nD car son amplitude locale et sa phase spatiale ne suffisent pas `a satisfaire la propri´et´e d’invariance-´equivariance du signal. La notion d’invariance signifie qu’une certaine caract´eristique du signal reste inchang´ee par une certaine transformation. Au contraire, la notion d’´equivariance signifie

Figure 2.11 – `A gauche, le spectre de l’image illustr´ee dans la figure 2.10(a). Au centre en haut, spectre de l’image sSO1. Au centre en bas, spectre de l’image sSO2. `A droite, spectre du signal

analytique complexe 2D obtenu.

que pour une certaine transformation, une autre transformation existe permettant une d´ependance monotone de cette caract´eristique par la transformation [Granlund et Knutsson, 1995]. Pour respecter la propri´et´e d’invariance-´equivariance, le signal 2D doit poss´eder davantage de degr´es de libert´e, ce qui est possible avec une repr´esentation hypercomplexe. Cela permet d’´eviter que la phase et l’amplitude soient syst´ematiquement affect´ees par une erreur d´ependant de l’angle entre les axes du rep`ere du signal et l’orientation de ses structures.