R´ esultats pour le deuxi` eme jeu d’images

4.5.2.1 Mod`ele affine

Nous pr´esentons maintenant les r´esultats obtenus pour le second jeu d’images. Comme pour le jeu d’images pr´ec´edent, nous pr´esentons les estimations de chaque param`etre par les figures4.25 et

4.26.

La figure 4.25 montre que seul P12 est mieux estim´e par l’intensit´e que par l’usage de la phase

spatiale. Les r´esultats sont cependant plus mitig´es que pour le jeu d’images pr´ec´edentes, notamment pour l’estimation des translations comme on peut le voir dans la figure4.26. Par rapport au premier jeu de donn´ees, les translations lat´erales ne sont plus aussi bien estim´ees par les m´ethodes bas´ees sur la phase de signaux hypercomplexes vis-`a-vis des r´esultats fournis par l’intensit´e. Les MSE, donn´ees en pour cent pour chaque param`etre, sont pr´esent´ees dans la table 4.5pour un SNR de 30 dB.

M SEP11 M SEP12 M SEP21 M SEP22 M SEP31 M SEP32

Intensit´e 10.27 191.63 175.82 3.8 633.86 222.93 ϕM S 8.9133 184.17 198.82 4.14 234.52 24.08

ϕ2DIAS 9.02 190.11 200.39 4.14 138.66 74.77

Table 4.5 – MSE (en %) sur les param`etres affines pour un SNR de 30 dB.

Cette table offre une vision plus pr´ecise du comportement des courbes dans les figures pr´ec´edentes. En effet, bien que les valeurs de la MSE soient proches pour les trois m´ethodes, on peut noter qu’elles restent plus faibles pour les m´ethodes bas´ees sur la phase spatiale, mˆeme pour les translations, axiale comme lat´erale. En revanche, elles fournissent une MSE plus importante pour P21 et P22, comme

pour le jeu d’image pr´ec´edent. Cela montre que malgr´e l’estimation des translations, l’intensit´e a plus de facilit´e `a estimer le d´eplacement axial que lat´eral alors que l’usage de la phase spatiale fournit de meilleures estimations dans la direction lat´erale.

Figure 4.25 – Estimation moyenne sur 128 tirages des param`etres P11, P12, P21et P22pour un SNR

Figure 4.26 – Estimation moyenne sur 128 tirages des param`etres de translation P31`a P32pour un

SNR variant de 5 `a 45 dB.

Nous montrons maintenant les r´epercussions de ces erreurs sur le champ de d´eformation, en pr´esentant les erreurs absolues obtenues, en moyenne sur les 128 tirages de bruit, pour l’estimation bas´ee sur l’intensit´e (Fig.4.27), la phase spatiale issue du signal monog`ene (Fig. 4.28) et celle issue du signal analytique isotrope 2D (Fig.4.29).

Ces figures sont compl´et´ees par la table 4.6, qui donne les valeurs du minimum, du maximum, de la moyenne et de l’´ecart-type de ces champs.

Ces r´esultats montrent une fois de plus qu’utiliser la phase spatiale, qu’elle soit extraite du signal monog`ene ou du signal analytique isotrope 2D, r´eduit de mani`ere significative ces crit`eres dans les deux directions. Il faut toutefois nuancer ce constat en observant que l’´ecart-type dans la direction axiale est l´eg`erement plus ´elev´e pour le signal monog`ene que pour l’intensit´e.

Ces erreurs sont pourtant plus importantes que pour le jeu d’images pr´ec´edent. Les zones uni- formes et la simplicit´e de l’image, constitu´ee de seulement quatre formes g´eom´etriques, sont res-

Figure 4.27 – Erreur absolue (en pixels) sur tout le champ de d´eplacement, de l’estimation du recalage bas´e sur l’intensit´e des pixels pour un SNR de 30 dB.

Figure 4.28 – Erreur absolue (en pixels) sur tout le champ de d´eplacement, de l’estimation du recalage bas´e sur la phase spatiale du signal monog`ene pour un SNR de 30 dB.

Figure 4.29 – Erreur absolue (en pixels) sur tout le champ de d´eplacement, de l’estimation du recalage bas´e sur la phase spatiale du 2D IAS pour un SNR de 30 dB.

ponsables de cela. Ces erreurs sont visibles dans la figure 4.30, o`u des discontinuit´es apparaissent pour les trois d´eformations. Ces discontinuit´es se situent notamment autour du cercle pour les trois m´ethodes. Les zones de discontinuit´es sont repr´esent´ees par des rectangles jaunes dans cette figure. La figure4.31montre un zoom sur la r´egion repr´esent´ee en pointill´es dans les images de la figure

4.30 et met en avant les discontinuit´es obtenues au niveau du cercle pour les trois m´ethodes. 4.5.2.2 Mod`ele ´elastique

Nous pr´esentons d’abord le champ de d´eformation r´eel et celui estim´e, sur 128 tirages de bruit, par l’approche bas´ee sur la phase spatiale du 2D IAS dans les figures4.32et4.33pour un SNR de 30

Intensit´e MS 2D IAS mx1 1.15 9 × 10 −6 _{3 × 10}−6 Mx1 2.38 1.48 1.01 µx1 1.76 0.49 0.36 σx1 0.32 0.34 0.23 mx2 6 × 10 −6 _{1 × 10}−6 _{2 × 10}−6 Mx2 7.62 2.87 3.26 µx2 2.56 0.97 1.19 σx2 1.77 0.68 0.84

Table 4.6 – Minimum, maximum, moyenne et ´ecart-type sur l’ensemble du champ de d´eplacement de l’erreur absolue (en pixels) sur tout le champ de d´eplacement, de l’estimation du recalage bas´e sur les trois approches pour un SNR de 30 dB.

(a) (b) (c)

Figure 4.30 – Juxtaposition des images par RM d´eform´ees par les vrais param`etres (quadrants sup´erieur gauche et inf´erieur droit) et par les param`etres estim´es (quadrants sup´erieur droit et inf´erieur gauche). Les param`etres sont estim´es par le recalage bas´e sur l’intensit´e des pixels (Fig.

4.30(a)), sur la phase spatiale du MS (Fig. 4.30(b)) ou sur la phase du 2D IAS (Fig. 4.30(c)). Les rectangles jaunes montrent des discontinuit´es.

(a) (b) (c)

Figure 4.31 – Zoom sur le cadre en pointill´es dans les images de la figure4.30 pour les estimations obtenues `a partir de l’intensit´e (Fig.4.31(a)), de la phase spatiale du MS (Fig.4.31(b)) et la phase spatiale du 2D IAS (Fig.4.31(c)). Le cercle jaune met en ´evidence les discontinuit´es.

dB. Comme pour le premier jeu d’images, les deux autres approches ont un comportement similaire pour toute valeur du SNR.

Ici encore, l’estimateur conserve l’allure de la d´eformation mais on peut observer dans la figure

4.33que le champ de d´eplacement estim´e ne correspond pas strictement `a un tournoiement. Comme pr´ec´edemment, le maillage d´eform´e par l’algorithme ne correspond pas strictement `a ce type de

Figure 4.32 – Champ dense de d´eformation r´eel, exprim´e en pixels.

Figure 4.33 – Champ dense de d´eformation estim´e sur le deuxi`eme jeu d’images, en moyenne sur 128 tirages de bruit de SNR de 30 dB, par la m´ethode bas´ee sur le 2D IAS, exprim´e en pixels. d´eformation. La diff´erence entre les champs de d´eplacement est toutefois plus importante que pour le premier jeu d’images. Cela s’explique par la nature mˆeme de l’image. Ne contenant que quelques formes g´eom´etriques et des r´egions homog`enes, il est difficile aux algorithmes de d´efinir pr´ecis´ement la position d’un point de contrˆole. De plus, la relation entre les intensit´es est plus directe que la valeur des phases, qui est moins homog`ene que l’image elle-mˆeme (voir Fig. 4.7). On peut donc s’int´eroger sur la pertinance de cette image, dont le contenu semble trop simple.

Comme pour le jeu d’images pr´ec´edent, nous pr´esentons les erreurs obtenues sur les champs denses de d´eplacement pour l’intensit´e (Fig. 4.34), le MS (Fig.4.35) et le 2D IAS (Fig. 4.35).

Figure 4.34 – Erreur absolue (en pixels) sur tout le champ de d´eplacement, de l’estimation du recalage bas´e sur l’intensit´e des pixels pour un SNR de 30 dB.

Figure 4.35 – Erreur absolue (en pixels) sur tout le champ de d´eplacement, de l’estimation du recalage bas´e sur la phase spatiale du signal monog`ene pour un SNR de 30 dB.

Figure 4.36 – Erreur absolue (en pixels) sur tout le champ de d´eplacement, de l’estimation du recalage bas´e sur la phase spatiale du 2D IAS pour un SNR de 30 dB.

Comme pour le premier jeu d’images, le motif des erreurs montre que le maillage ne suit pas parfaitement l’allure d’un mod`ele de tournoiement.

La table 4.7 donne le minimum, le maximum, la moyenne et l’´ecart-type sur le champ dense de d´eformation pour un SNR de 30 dB en moyenne sur 128 tirages de bruit.

Intensit´e MS 2D IAS mx1 1 × 10 −6 _{4 × 10}−6 _{1.05 × 10}−4 Mx1 36.29 42.05 41.99 µx1 8.54 8.99 9.07 σx1 8.76 8.62 8.64 mx2 1.23 × 10 −4 _{1.68 × 10}−4 _{1.11 × 10}−4 Mx2 33.87 36.53 36.39 µx2 14.02 13.62 14.06 σx2 8.76 8.62 8.64

Table 4.7 – Erreur absolue en pixels, moyenne sur tout le champ de d´eplacement et sur les 128 tirages de bruit, obtenues pour les approches bas´ees sur l’intensit´e, la phase spatiale issue du MS et celle extraite du 2D IAS pour un SNR de 30 dB.

On observe que la distinction entre les approches bas´ees sur la phase spatiale et celles bas´ees sur l’intensit´e est moins marqu´ee que pour le jeu d’images pr´ec´edent, comme pour le mod`ele affine. En

effet, l’erreur moyenne et l’´ecart-type obtenus par les m´ethodes utilisant la phase spatiale sont un peu plus ´elev´es que celle bas´ee sur l’intensit´e `a cause de la nature de l’image et de la diff´erence de mod`ele de d´eformation.

Enfin, nous montrons les images d´eform´ees avec la d´eformation r´eelle juxtapos´ees avec les images ayant subi la d´eformation estim´ee pour l’intensit´e (Fig. 4.37(a)), le MS (Fig. 4.37(b)) et le 2D IAS (Fig. 4.37(c)).

(a) (b) (c)

Figure 4.37 – Juxtaposition des images flottantes d´eform´ees par les vrais param`etres (quadrants sup´erieur gauche et inf´erieur droit) et par les param`etres estim´es (quadrants sup´erieur droit et inf´erieur gauche). Les param`etres sont estim´es par le recalage bas´e sur l’intensit´e des pixels (Fig.

4.30(a)), sur la phase spatiale du MS (Fig. 4.30(b)) ou sur la phase du 2D IAS (Fig. 4.30(c)). Les rectangles jaunes montrent des r´egions o`u l’on peut observer des discontinuit´es.

Les cons´equences des erreurs, plus importantes que pour le jeu d’images pr´ec´edent, se font clai- rement voir ici : les discontinuit´es sont bien plus significatives. On remarque cela notamment sur le rectangle blanc, pour lequel un zoom sur la zone de discontinuit´e est pr´esent´e dans la figure 4.38.

(a) (b) (c)

Figure 4.38 – Zoom sur la zone de discontinuit´e du rectangle gris clair de la figure 4.37. Les discontinuit´es apparaissent pour l’intensit´e dans la figure 4.38(a)ainsi que pour les phases issues du MS (Fig. 4.38(b)) et du 2D IAS (Fig.4.38(c)).