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Seconde ´etude : condition terminale non born´ee

Le r´esultat de cette derni`ere section consiste `a ´elargir la classe des EDSR de type (Eq1) pour laquelle on a un r´esultat d’existence. On prouve ainsi le r´esultat d’existence ´enonc´e dans le th´eor`eme ci- dessous sous des conditions plus faibles sur la condition terminaleB.

Th´eor`eme 2.3 Il existe au moins une solution (Y, Z, L), dans des espaces `

a pr´eciser, pour l’EDSR de type(Eq1) et de param`etres (F, β, B) telle queF

satisfait(H1)et(H2),β est un r´eel non nul etB est une condition terminale non n´ecessairement born´ee sous les deux conditions qui suivent :

1. Si la variable B satisfait la condition d’int´egrabilit´e :

E(eγeba|B|)<∞, (2.15) (les param`etres a et b sont ceux donn´es par (H1)) alors il existe une solution (Y, Z, L) telle que le processus Y est continu et Z et L sont respectivement dansL2loc(dhMi ⊗dP) et M2

loc([0, T]).

2. Si, de plus, on suppose que B satisfait la condition plus forte : ∃λ > γeba, E(eλ|B|)<∞, (2.16) alors il existe une solution (Y, Z, L) satisfaisant

• ∃p, p >1, tel que : E(sup

t

exp(pγ|Yt|))<∞, (ce qui entraine : Y ∈Sp(R), pour tout p), • Z ∈L2(dhMi ⊗dP) et U ∈ M2([0, T]).

2.4.1 Preuve du r´esultat principal d’existence

On r´esume la d´emarche que nous allons suivre dans cette section pour justifier le r´esultat principal ´enonc´e dans la premi`ere partie de ce th´eor`eme, sous la condition (2.15). Pour ce faire, on se ram`ene d’abord au cas o`uB≥0 et on pose :Bn=B∧n. Les r´esultats des sections pr´ec´edentes donnent l’exis-tence d’un triplet de solutions (Yn, Zn, Ln) `a l’EDSR de type (Eq1) et de param`etres (F, β, Bn). Pour proc´eder dans un second temps `a un passage `

a la limite en n, on adapte `a ce nouveau cadre la proc´edure employ´ee par [BRI06], en justifiant les deux ´etapes suivantes :

• Dans une premi`ere ´etape, on consid`ere une famille (τk) deF-temps d’arrˆet bien choisie en exploitant la nouvelle condition d’int´egrabilit´e sur B. L’ob-jectif est d’obtenir une borne uniforme en n dans S des processus Yk,n

arrˆet´es en τk.

• Dans une seconde ´etape, on justifie un premier passage `a la limite en

n (n → ∞, pour k fix´e) puis un second (`a savoir, lorsque k → ∞), afin d’obtenir un triplet de processus (Y, Z, L) solution de l’EDSR donn´ee par (F, β, B) et tel queZ etU appartiennent respectivement `aL2loc(dhMi ⊗dP) etM2

Estimations a priori pour les approximations

On commence par remplacer la condition terminale B non born´ee par

Bn = B ∧n, en supposant de plus que : B > 0, on en d´eduit alors l’existence du triplet de processus (Yn, Zn, Ln) qui est une solution de l’EDSR(F, β, Bn) de type (Eq1). Notons simplement que lorsque B n’est plus positive, on ´ecrit : B =B+−B et on proc`ede alors comme [BRI06] en utilisant la suite des EDSR(F, β, Bn, p) de type (Eq1) avec la suite des conditions terminales qui est donn´ee comme suit :

Bn, p = (B+∧n)−(B∧p).

D´esormais, on supposera queB est positive. D’autre part, puisque pour n

fix´e, la variable Bn est born´ee (par n), la suite des EDSR de type (Eq1) et de param`etres (F, β, Bn) satisfait le r´esultat de comparaison ´enonc´e au th´eor`eme 2.2. On peut ainsi affirmer que :

∀n, Ysn≤Ysn+1, P-p.s. et pour touts.

On rappelle ci-dessous l’estimation a priori obtenue au lemme 2.1 et qui est valable, puisque, pournfix´e,Bnest une variable al´eatoire born´ee :

P-p.s. et pour toutt, |Ytn| ≤ 1

γ ln(E(φt(|Bn|))|Ft),

o`u la fonction t→φt( ¯B) introduite dans cette preuve, a pour expression

φt( ¯B) = exp(γe

RT

t bαudCu¯ −1

b ) exp(γBe¯ RT

t bαudCu¯ ).. (2.17) On utilise alors, pour toute variable al´eatoire ¯Bpositive et born´ee, la d´ecroissance de la fonctiont→φt( ¯B), la croissance de ¯B →φt( ¯B) ainsi que la propri´et´e :

|Bn| ≤ |B|, afin de conclure que :

P-p.s. et pour toutt, |Ytn| ≤ 1

γ ln(E(φ0(|B|))|Ft), (2.18) ce qui assure la bornitude dansSp(R) (avec p:= eλba,p >1) de la suite de processus (Yn) en exploitant

•la relation (2.17), qui assure le contrˆole suivant

φ0(|B|)≤exp(γ(ebab1+eba|B|)), d’une part,

•et l’hypoth`ese (2.16) du th´eor`eme, d’autre part.

Introduction d’une suite de processus arrˆet´es

On explique d´esormais la proc´edure permettant le passage `a la limite lorsque (n→ ∞) : pour ce faire, il est n´ecessaire d’obtenir des estimations a

priori dansSdes processusYnqui soient ind´ependantes den. Ce n’est pas le cas, puisque les estimations donn´ees par (i) dans le lemme 2.1 d´ependent de sup|Bn|. Pour pallier `a ce probl`eme, on introduit tout d’abord la famille (τk) de F-temps d’arrˆet comme suit :

τk=        inf t∈[0,T]{t, 1 γ ln(E(φ0(|B|))|Ft)≥k}, T, lorsque :{}=∅.

Sous l’hypoth`ese d’int´egrabilit´e du th´eor`eme 2.3, on a : lim

k→∞k) = T, P -p.s. De fa¸con similaire `a [BRI06], on introduit alors les triplets de processus (Yk,n,Zk,n,Lk,n) d´efinis comme suit :

Ytk,n =Ytnτ

k, Ztk,n=Ztn1t≤τk, Lk,nt =Lntτ

k.

Ces processus (dits arrˆet´es au tempsτk) sont solutions des EDSR suivantes et donn´ees par les param`etres (Fk:=F1sτk,β ,Yτn

k) : Ytk,n=Yτkn + β2(hLk,niT − hLk,nit) + Z T t F(s, Ysk,n, Zsk,n)1s≤τkdCs − Z T t Zsk,ndMs−(Lk,nT −Lk,nt ).

L’´etape suivante consiste `a justifier successivement deux passages `a la limite.

Passage `a la limite

Dans cette partie, on applique le r´esultat de stabilit´e donn´e par le lemme 2.3 `a la suite des EDSR(F1t≤τk, β, Bn) de type (Eq1) et pour laquelle on a construit la suite de solutions (Yk,n, Zk,n, Lk,n). On montre ainsi pour-quoi, `a kfix´e, cette suite d’EDSR satisfait les conditions du lemme pr´ecit´e, de sorte que l’on justifie l’existence d’un triplet de processus (Yk, Zk, Lk) qui est une solution de l’EDSR(F1tτk, β, sup

n

Yτn

k) de type (Eq1). D’une part, la suite (Yk,n)n est uniform´ement born´ee park, `a savoir que :

∀t≤τk,∀n, |Ytnτk|=|Ytn| ≤ 1

γln(E(φ0(|B|))|Ft)≤k,

et, d’autre part, elle est croissante, de sorte que l’on peut d´efinir le processus

Yk comme suit :

Ytk = lim

Appliquant alors le r´esultat du lemme 2.3 `a la suite d’EDSR de param`etres (F1t≤τk, β, Bn), on en d´eduit la convergence forte de (Zk,n) et (Lk,n) respec-tivement vers des processusZketLkqui sont tels que le triplet (Yk, Zk, Lk) satisfait l’EDSR : Ytk= sup n Yτn k +β2(hLkiT − hLkit) + Z T t F(s, Ysk, Zsk)1s≤τkdCs − Z T t ZskdMs−(LkT −Lkt).

Il r´esulte de la construction donn´ee que :

∀t ∈[0, τk], Ytnτk+1 =Ytnτk, Zn1t≤τk+1 =Zn1t≤τk, Lntτk+1 =Lntτk,

de sorte qu’apr`es passage `a la limite lorsquen→ ∞, on obtient :

Ytτk+1 =Ytτk, Zt1t≤τk+1 =Zt1t≤τk, Ltτk+1 =Ltτk.

On peut donc d´efinir les processusY,Z etL comme suit :

∀t ∈[0, τk], Yt=Ytk, Zt=ZtketLt=Lkt.

Ces processus sont bien d´efinis sur [0, T], puisque la suite (τk) satisfait :

∃Ω˜, P( ˜Ω) = 1, ∀ω∈Ω˜ ∃k(ω), ∀k, k≥k(ω), τk(ω) =T.

Il reste `a justifier que les processus contruits satisfont les conditions d’int´egra-bilit´e requises. Ainsi, la continuit´e du processusY = (Yt)t[0,T] r´esulte `a la fois des propri´et´es de la suite (τk) et du fait que ce dernier coincide avec

Yk (sur [0, τk] et pour tout k) lui-mˆeme continu. Afin de montrer pourquoi l’int´egrale stochastiqueZ·M ainsi queLsont de carr´e localement int´egrable dans leurs espaces de Hilbert respectifs, il nous faut ´etablir :

P(

Z T 0

|Zs|2dCs=∞) = 0 et P(hLiT =∞) = 0.

On commence par ´ecrire l’´egalit´e ensembliste suivante :

{ Z T 0 |msZs|2dCs =∞} ={ Z T 0 |msZs|2dCs =∞, τk=T}[{ Z T 0 |msZs|2dCs=∞, τk< T}.

Or, sur l’ensemble{τk=T}, on a la relation

Z T 0 |msZs|2dCs= Z T 0 |msZsk|dCs,

et on obtient donc : P({ Z T 0 |msZs|2dCs=∞})≤P({ Z T 0 |msZsk|2dCs=∞}) +P(τk< T).

Comme k est fix´e, Zk·M est une martingale de carr´e int´egrable et par cons´equent, on a :

P({

Z T 0

|msZsk|2dCs=∞}) = 0, ce qui entraine la majoration suivante

∀k, P({

Z T 0

|msZs|2dCs=∞})≤P(τk< T).

Du fait que :P(τk < T)→0, la conclusion s’ensuit.

On proc`ede de la mˆeme fa¸con pour justifier :P(hLiT =∞) = 0.

2.4.2 Propri´et´es compl´ementaires d’int´egrabilit´e

On se place d´esormais sous la seconde hypoth`ese du th´eor`eme 2.3 qui impose une condition d’int´egrabilit´e plus forte sur B : d`es lors, on obtient d’apr`es la section pr´ec´edente l’existence d’une solution (Y, Z, L) avec Y `a trajectoires continues et Z et L respectivement dans L2loc(dhMi ⊗dP) et

M2

loc([0, T]). L’objectif est de prouver que les processus Y, Z et L appar-tiennent respectivement `a Sp(R) (pour tout p, p > 1), L2(dhMi ⊗dP) et

M2([0, T]).

Or, d’apr`es la construction men´ee dans la section pr´ec´edente, la variableYt

est limite monotone et presque sˆure de la suite (Ytn) et, d’autre part, chaque ´el´ement de cette suite satisfait l’estimation a priori (uniforme enn) donn´ee par (2.18). Ceci permet alors d’affirmer :

P-p.s. et pour toutt, |Yt| ≤ 1

γ ln E(φ0(|B|)|Ft).

D’autre part, renvoyant `a l’expression (2.17) de cette fonction, on obtient la majoration qui suit :

E(φ0(|B|)|Ft)≤exp(γe

ba−1

b )E(exp(γeba|B|)|Ft).

D’apr`es l’hypoth`ese donn´ee par (2.16) et posant : p = γeλba (p > 1), l’ap-plication de l’in´egalit´e sur les moments est bien justifi´ee pour la martingale

E(φ0(|B|)|Ft) qui est born´ee dans Lp. Il en r´esulte

∃cp, E(sup t exp(pγ|Yt|)) ≤E( sup t E(φ0(|B|)|Ft)p) ≤cpE(exp(pγeba|B|))<∞.

Afin de justifier l’appartenance des processusZ etU respectivement `a

L2(dhMi ⊗dP) etM2([0, T]), on applique la formule d’Itˆo `a la semimartin-gale ψγ(Y). L’expression de la fonction ψγ est celle donn´ee dans la preuve du lemme 2.1 et que l’on rappelle :

ψγ(x) = e

γx−1−γx γ2 .

On introduit aussi la famille de temps d’arrˆet (τn) suivante

τn= inf{t, Z t 0 e2γYs|msZs|2dCs ≥nou Z t 0 e2γYsdhLis≥n}.

Apr`es des manipulations ´el´ementaires de la fonctionψγ(d´ej`a ´evoqu´ees dans la preuve du lemme 2.1) et exploitant l’hypoth`ese (H1) sur le g´en´erateurF, on obtient la forme suivante (int´egr´ee entre 0 ett∧τn)

ψγ(Y0)−ψγ(Ytτn)≤ Z t∧τn 0 ψγ(Ys)(|α¯s|(1 +b|Ys|)dCs + Z t∧τn 0 ψγ(Ys)(ZsdMs+dLs) −1 2hLit∧τn1 2 Z t∧τn 0 |msZs|2dCs.

D’apr`es la d´efinition de τn, chaque terme de la somme situ´ee `a la seconde ligne et dans le membre de droite est une vraie martingale. On prend alors l’esp´erance dans chaque membre, apr`es avoir transf´er´e le dernier terme du membre de droite `a gauche, pour obtenir :

1 2E Z T∧τn 0 |msZs|2dCs+hLiT∧τn1 γ2E sup t∈[0,T] exp(γ|Yt|)+E Z t∧τn 0 exp(γ|Ys|)(|α¯s|(1 +b|Ys|)dCs.

Exploitant alors la propri´et´e d’int´egrabilit´e de sup

t

exp(pγ|Yt|) pour justifier l’application du lemme de Fatou, i.e. le passage `a la limite (croissante) en

n, on en conclut donc E Z T 0 |msZs|2dCs+hLiT <∞.

Application en Finance

Dans cette partie, on illustre l’int´erˆet de l’´etude th´eorique men´ee au cha-pitre 2 pour une classe d’EDSR `a croissance quadratique. L’objectif consiste `

a r´esoudre le probl`eme d’optimisation introduit `a la section 0.3.2 en appli-quant et en justifiant la m´ethode (MD) pr´esent´ee dans cette derni`ere section 0.3.2 : cette m´ethode qualifi´ee de dynamique a d´ej`a ´et´e utilis´ee pour obte-nir des r´esultats concernant le mˆeme probl`eme d’optimisation dans le cadre brownien dans [ELK00] ou encore dans [HU05] et celle ci permet d’exprimer la fonction valeur en terme de la solution d’une EDSR `a croissance quadra-tique, dont les param`etres sont explicites. Dans ce chapitre, le probl`eme est ´etudi´e pour trois types de fonction d’utilit´e : d’une part et de fa¸con majori-taire, on traite le cas de l’utilit´e exponentielle, d’autre part et lorsque l’actif contingentB est nul, on traite les cas des utilit´es logarithme et puissance.