Cas des utilit´es logarithme et puissance

,τ,Xπ∗

τ

σ d´esigne le processus de richesse satisfaisant :

X^π

∗

,τ,Xπ^∗ τ

τ =X_τ^π∗, dont il r´esulte alors

V_τ^B(x) =E V_σ^B(X_σ^π∗,τ,x)|Fτ

.

3.2 Cas des utilit´es logarithme et puissance

3.2.1 Nouveaux probl`emes : le cadre

Dans cette sous section, on introduit deux nouvelles fonctions d’uti-lit´e, afin de pr´esenter les deux probl`emes d’optimisation qui leur sont rat-tach´es. Comme pour le cas de l’utilit´e exponentielle, on justifie l’approche dynamique de la r´esolution du probl`eme, par la pr´esence de contraintes non convexes sur le portefeuille. L’une des diff´erences majeures par rapport au cas pr´ec´edent est la contrainte suppl´ementaire de positivit´e du processus de richesse (pour les deux types de fonctions d’utilit´e consid´er´es). D’autre part et dans toute l’´etude men´ee, on ne consid`ere que le cas d’un actif contingent nul (i.e. B ≡0) : la fonction valeur associ´ee au probl`eme d’optimisation `a la datet est not´ee Vt(x) au lieu de V<sub>t</sub><sup>0</sup>(x). On conserve ici la mod´elisation de l’´evolution du processus de prix S prise `a la section 3.1 dans le cas de l’utilit´e exponentielle, `a savoir :

dS_s

S_s =dM_s+dhMisλ_s.

Dans les deux cas que nous nous proposons d’´etudier, on est amen´e `a red´efinir la notion de strat´egie permettant de d´efinir de fa¸con pr´ecise la notion de processus de richesse (repr´esentant le portefeuille de l’agent finan-cier).

D´efinition 3.3 On appele strat´egie tout processusd-dimensionnel pr´evisible

ρet tel que le processus de richesseX^ρ associ´e est unidimensionnel et positif et d´efini, pour tout s∈[t, T], par

X_s^ρ=x+ Z s t X_u^ρρu dSu S_u =x+ Z s t X_u^ρρudMu+ Z s t X_u^ρρ^′_udhMiuλu, avec le processusXρ:= Z . t X_s^ρρ_s^dSs Ss

tel que la partie martingale est locale-ment de carr´e int´egrable (condition analogue `a (3.3).

On note que, pour touti,ρⁱ repr´esente la proportion d’argent investie dans l’actif i et que la quantit´e Xs^ρρⁱ_s correspond ici `a la d´efinition donn´ee `a π_sⁱ

dans le cas exponentiel, `a savoir la quantit´e d’argent investie `a la date s

dans l’actifi. On d´eduit alors `a partir de l’´equation du processusX^ρdonn´ee dans la d´efinition 3.3 la forme int´egr´ee :

∀t≤s≤T, Xs^ρ:=xexpRs

t ρudMu−¹₂^R_t^sρ^′_udhMiuρu+^R_t^sρ^′_udhMiuλu

=xEt,s(ρ·M) exp(^R_t^sρ^′_udhMiuλu),

o`u on conserve la notation Et,s, prise `a la page 88 de la section 3.1.2, dans le cas de l’utilit´e exponentielle.

D´esignant par U la fonction d’utilit´e (qui sera sp´ecifi´ee dans chacune des sections 3.2.2 et 3.2.3), le probl`eme consiste `a donner l’expression de la fonction valeur, not´eeV_t(x) et d´efinie `a la datet par :

V_t(x) = ess sup

ρ∈A^˜t

E^Ft(U(X_T^ρ,t,x)), (3.10)

o`u ˜At repr´esente l’ensemble des strat´egiesρ = (ρs)<sub>s∈[t,T]</sub> admissibles : cette notion reste `a d´efinir pour chacun des deux probl`emes associ´es aux utilit´es logarithme et puissance et elle est sp´ecifi´ee dans les paragraphes 3.2.2 et 3.2.3 qui suivent. Elle fournit en particulier une condition d’int´egrabilit´e assurant que l’expression du probl`eme donn´e par (3.10) a un sens.

Dans les sous sections qui suivent, on distingue les probl`emes d’optimi-sation attach´es aux deux fonctions d’utilit´e classiques suivantes :

– L’utilit´e puissance d´efinie pour tout r´eelγ ∈]0,1[ par : Uγ(x) = _γ¹x^γ. (γ ´etant d´esormais fix´e, on ´ecrira dans la suite U¹ au lieu de Uγ). – L’utilit´e logarithme est donn´ee simplement par : U²(x) = ln(x).

3.2.2 Utilit´e puissance :

On commence par d´efinir la notion de strat´egie admissible reli´ee au probl`eme (3.10) ayantU =U¹comme fonction d’utilit´e et de fonction valeur

V¹(x).

D´efinition 3.4 L’ensemble des strat´egies admissibles A^˜t regroupe tous les processus ρ d-dimensionnels et pr´evisibles ρ= (ρ_s)_s∈[t,T] satisfaisant : ρ_s ∈ C, P-p.s. et pour tout s, ainsi que la condition :

Z T t ρ^′_sdhMisρ_s= Z T t |m_sρ_s|²dC_s<∞, P-p.s.

Cette condition entraine que l’int´egrale stochastique suivante : E(^R_t^.ρdM), est bien d´efinie, en tant que martingale locale positive, et on rappelle ci-apr`es son expression : E( Z . t ρ_sdM_s) = exp Z . t ρ_sdM_s− ¹ 2 Z . t ρ^′_sdhMisρ_s .

On peut d`es lors donner la solution au probl`eme (3.10) rattach´e `a la fonction utilit´e puissanceU¹.

Th´eor`eme 3.2 Soit V<sub>t</sub><sup>1</sup>(x)la fonction valeur `a la date treli´ee au probl`eme de maximisation de l’utilit´eU¹ et dont la valeur entest donn´ee par (3.10). Celle ci s’´ecrit sous la forme :

V_t¹(x) = ^x

γ

γ exp(Yt). (3.11)

Y repr´esente la premi`ere composante de la solution (Y, Z, L) de l’EDSR d´efinie sur [t, T]par :

Y_t= 0− Z T t f¹(s, Z_s)dC_s+ Z T t 1 2^dhLis− Z T t Z_sdM_s−(L_T −L_t),

avec L qui est une martingale r´eelle orthogonale `a M (i.e. hL, Mi = 0) et dont le g´en´erateurf¹ est d´efini, P-p.s. et pour touts, par :

f¹(s, z) = inf ρ, ρ∈C γ(1−γ) 2 |ms(ρ−(^z+λs 1−γ ))|² −^γ(1−γ) 2 |m_s(^z+λs 1−γ )|²−¹ 2|m_sz|². (3.12)

D’autre part, il existe au moins une strat´egie optimaleρ^∗₁ satisfaisant, P-p.s. et pour tout s, s∈[t, T],

(ρ^∗₁)(s)∈argmin

ρ, ρ∈C|m_s(ρ−(^Zs+λs

1−γ ))|². (3.13)

Corollaire 3.2 Comme pour le cas de l’utilit´e exponentielle, la fonction valeur V_t¹(x) donn´ee par l’expression (3.11), qui est rattach´ee au probl`eme d’optimisation pour la fonction d’utilit´eU<sup>1</sup>, satisfait le principe de program-mation dynamique, `a savoir :

∀σ, τ F-temps d’arrˆetσ≤τ V_σ¹(x) =E(V_τ¹(X_τ^ρ∗,σ,x)|Fσ), (3.14) avec ρ^∗ une strat´egie optimale (i.e satisfaisant la condition (3.13)).

Remarque et preuve du corollaire 3.2 Dans ce paragraphe, on consid`ere le probl`eme d’optimisation (3.10) rattach´e `a la fonction d’utilit´eU<sup>1</sup> `a la date

t: ce probl`eme consiste `a rechercher une expression deV_t¹(x) et le th´eor`eme 3.2 assure l’existence d’une strat´egie optimale et admissible ρ^∗. Supposant ici que la m´ethode dynamique (MD) est bien justifi´ee, le processus R^ρ∗, qui est d´efini sous la formeR^ρ∗ :=U¹(X^ρ∗)e^Y, est une martingale (le processus

Y ´etant d´efini dans le th´eor`eme 3.2). On ´ecrit alors le th´eor`eme d’arrˆet de Doob pour ce processsus Rρ∗

et on retrouve alors l’´enonc´e du principe dy-namique tel que formul´e par (3.14) dans le corollaire et qui est `a l’origine de la m´ethode de programmation dynamique.

Dans le paragraphe qui suit, on justifie les r´esultats du th´eor`eme 3.2.

Preuve du th´eor`eme 3.2 La preuve du probl`eme d’optimisation (3.10) est similaire `a celle donn´ee dans le cas de l’utilit´e exponentielle et on en donne les grandes lignes.

Application de la m´ethode dynamique

Dans un premier temps, on applique la m´ethode (MD) en introduisant une famille de processus pour lesquels on traduit une propri´et´e de surmar-tingale appropri´ee. On suppose connu au moins un triplet (Y, Z, L) solution d’une EDSR de forme connue et dont on justifie ensuite l’existence. Dans un second temps, on exploite les propri´et´es des solutions de l’EDSR pour justifier l’emploi de (MD) et en d´eduire l’expression (3.11) fournie dans le th´eor`eme ainsi que l’existence d’une strat´egie optimale.

La solution (Y, Z, L) satisfait Y_t= 0− Z T t f¹(s, Z_s)dC_s+ Z T t 1 2^dhLis− Z T t Z_sdM_s−(L_T −L_t).

On pose alors, pour toute strat´egie ρ (d´efinie sur [t, T]), R^ρ := U¹(X^ρ)e^Y

(en particulier, on obtient ainsiR^ρ_t :=U¹(X_t^ρ)e^Yt =U¹(x)e^Yt). D’autre part, on ´ecrit l’´equation du processusX^ρsous forme diff´erentielle donn´ee dans la d´efinition 3.3 X_s^ρ=x+ Z s t X_u^ρρudMu+ Z s t X_u^ρ(muρu)^′(muλu)dCu.

D’autre part, puisque Y est solution de l’EDSR d´efinie par les param`etres (f<sup>1</sup>, <sup>1</sup><sub>2</sub>, 0) comme d´efini dans le Th´eor`eme 3.2), l’expression deeY est donn´ee par : e^Ys =e^Ytexp Z s t f¹(u, Zu)dCu+¹ 2 Z s t |muZu|²dCu Et,s(Z·M+L),

il r´esulte alors de calculs simples sur les exponentielles stochastiques, que l’expression du processus R^ρ, d´efini pour tout s, s ∈ [t, T], par : R^ρs =

1

γ(Xs^ρ)γe^Ys, est :

R_s^ρ=R^ρ_t1

γEt,s(((γρ+Z)·M +L)e^A¯ρs−A^¯ρ_t, (3.15) o`u le processus ¯Aρ est d´efini pour touts,s∈[t, T] par :

¯ A^ρs = ¯A^ρ_t+ Z s t f¹(u, Zu) +¹ 2|muZu|²+^γ(γ−1) 2 |muρu|²dCu + Z s t γ(m_uρ_u)^′(m_u(Z_u+λ_u))dC_u.

D`es lors et pour les mˆemes raisons que dans la preuve du th´eor`eme 3.1 (cas de l’utilit´e exponentielle), une condition suffisante pour obtenir la pro-pri´et´e de surmartingale est d’imposer :d_A¯ρ≤0, pour toute strat´egieρ. Ceci conduit ainsi `a l’expression donn´ee par (3.12) pour le g´en´erateurf¹.

Justification de la m´ethode (MD)

Il ne reste qu’`a justifier les hypoth`eses et calculs effectu´es pr´ec´edemment. Tout d’abord, afin de prouver l’existence d’une solution `a l’EDSR de type (Eq1) de param`etres (f¹,¹₂,0), on v´erifie ais´ement que le g´en´erateurf¹ sa-tisfait les hypoth`eses requises, `a savoir (H₁) et (H₂) :

d’une part,f¹ satisfait (H₁), puisque l’on a :

−^γ(1−γ)

2 |m_s(^z+λs 1−γ )|²−¹

2|m_sz|²≤f¹(s, z)≤ −¹

2|m_sz|²,

et comme, de plus, il est ais´e de voir que l’on a :

|f¹(s, z¹)−f¹(s, z²)| ≤ ^γ

(1−γ)|m_s(z¹−z²)|(2|m_sλ_s|+|m_sz¹|+|m_sz²|),

on conclut donc quef¹ satisfait les hypoth`eses requises et qu’on a existence (et unicit´e) d’une solution `a l’EDSR de param`etres (f¹,¹₂,0).

Afin de prouver que la famille (R^ρ)_ρ∈At˜ satisfait l’ensemble des conditions donn´ees par (MD), il suffit d’assurer la derni`ere assertion (iii). La propri´et´e de surmartingale du processusRρ, dont l’expression est fournie par (3.15), r´esulte alors des deux propri´et´es suivantes :

• d’une part, le processus suivant, d´efini sur [t, T] par

Et,.((γρ+Z)·M+L),

est une martingale locale positive,

d´eduit l’existence d’une famille de F-temps d’arrˆet (τ_k) tels que, pour tout

k, (R^ρ_t∧τk) est une surmartingale. Par simple application du lemme de Fatou `

a cette famille de processus, on obtient donc, lorsquek→ ∞:

∀A∈ Ft, ∀t, s, t≤s, E R_s^ρ1A

≤E R^ρ_t1A

,

ce qui entraine que R^ρ est une surmartingale, ceci pour toute strat´egie ad-missibleρ.

Conclusion pour le probl`eme d’optimisation

Afin de justifier l’expression de la fonction valeur (3.11), il suffit de prou-ver l’existence d’une strat´egie optimale not´eeρ^∗ puis de prouver son admis-sibilit´e. Comme dans le cas de l’utilit´e exponentielle, la relation (3.13) `a satisfaire entraine donc que (m_sρ^∗) r´ealise la distance entre m_s^(Zs+λ)_(1−γ) et

msC := {msρ, ρ ∈ C} (le processus n’est pas n´ecessairement unique, car l’ensemble C n’est pas convexe). L’admissibilit´e d’une telle strat´egie r´esulte alors du contrˆole :

|msρ^∗| ≤ |ms

(Zs+λ)

(1−γ) | P-p.s. et pour touts,

et du caract`ere BMO deZ·M et deλ·M). Par un raisonnement similaire `

a celui de la section 3.1, on obtient queR^ρ∗ est une vraie martingale et, de ce fait, ρ^∗ ∈ A^˜t. On traduit alors la condition de martingale pour obtenir l’expression de V¹(x) `a la date ten terme de la solutionY.

3.2.3 Utilit´e logarithme :

De mˆeme que dans la sous section 3.2.2 pr´ec´edente, on commence par introduire la notion d’admissibilit´e adapt´ee `a notre probl`eme.

D´efinition 3.5 L’ensemble des strat´egies admissibles A^˜t regroupe tous les processus d-dimensionnels et pr´evisiblesρ= (ρ_s)_s∈[t,T] satisfaisant :ρ_s∈ C,

P-p.s. et pour tout s, ainsi que :

E Z T t ρ^′_sdhMisρ_s=E Z T t |m_sρ_s|²dC_s<∞.

D`es lors, la solution au probl`eme (3.10) rattach´e `a la fonction d’utilit´e U²

Th´eor`eme 3.3 La fonction valeur V<sub>t</sub><sup>2</sup>(x) associ´ee au probl`eme de maximi-sation de l’utilit´e logarithme U²:= ln a pour expression :

V_t²(x) = ln(x) +Y_t (3.16) o`uY est la solution d’une EDSR (de condition terminale nulle) et s’´ecrivant :

Yt= 0− Z T t f²(s)dCs− Z T t ZsdMs− Z T t dLs.

L’expression du g´en´erateurf² est la suivante :

f²(s) = inf

ρ, ρ∈C 1

2|m_s(ρ−λ_s)|²− ¹

2|m_sλ_s|². (3.17)

Corollaire 3.3 Utilisant les r´esultats du th´eor`eme 3.3, on obtient conjoin-tement les r´esultats suivants pour le probl`eme associ´e `a l’utilit´eU² : • La fonction valeur V_t²(x) satisfait le principe dynamique suivant :

∀σ, τ F-temps d’arrˆetσ≤τ V_σ²(x) =E(V_τ²(X_τ^ρ∗,σ,x)|Fσ), (3.18) o`u ρ<sup>∗</sup> est optimale au sens de la condition (iii) de (MD) et o`u la notation

X^ρ ∗ ,σ,x τ signifie X^ρ ∗ ,σ,x σ =x.

• Il existe au moins une strat´egie optimale admissible et toute strat´egie optimaleρ^∗ satisfait (P-p.s. et pour tout s)

(ρ^∗)(s)∈argmin

ρ, ρ∈C|ms(ρ−λs)|². (3.19)

Preuve du Th´eor`eme 3.3 Comme pour les deux autres probl`emes d’op-timisation, on met `a nouveau en oeuvre la m´ethode dynamique afin d’ ex-primer la fonction valeur sous la forme (3.16) De fa¸con analogue au cas de l’utilit´e puissance, on d´efinit une famille ad´equate de processus (R<sup>ρ</sup>) `a laquelle on applique la m´ethode (MD). On pose alors R^ρ := ln(X^ρ) +Y

(processus d´efini sur [t, T]), o`u Y est solution de l’EDSR dont la forme est donn´ee dans le th´eor`eme 3.3 et on ´ecrit la formule d’Itˆo pour le processusR^ρ

ainsi d´efini (pour toute strat´egieρ admissible au sens de la d´efinition 3.5). On commence par ´ecrire la formule d’Itˆo pour la semimartingale ln(X^ρ)

ln(X_t^ρ) = ln(x) + Z t 0 ρ_sdM_s−¹ 2 Z t 0 |m_sρ_s|²dC_s+ Z t 0 (m_sρ_s)^′(m_sλ_s)dC_s,

et on redonne ci-dessous l’EDSR satisfaite par le processusY

Yt= 0− Z T t f²(s)dCs− Z T t ZsdMs− Z T t dLs.

Le processusR^ρ s’´ecrit donc sous la forme : ln(X_s^ρ) +Ys = ln(x) +Yt+ Z s t (ρu+Zu)dMu+dLu +A²(s)−A²(t),

o`u le processusA² est donn´e sous forme diff´erentielle :

dA²(s) = (f²(s)−¹

2|m_sρ_s|²+ (m_sρ_s)^′(m_sλ_s))dC_s.

D´efinissant alors le g´en´erateur f² par (3.17), on peut ais´ement, au vu de l’expression du g´en´erateur qui est, dans ce cas particulier, ind´ependant de

z, en conclure `a l’existence au sens classique d’une solution (Y, Z, L), avecY

born´e (un majorant de la norme deY dansS^∞est alors fourni par le lemme 2.2 donn´e en section 2.2.3, dans l’´etape 3 de la preuve de l’existence), ainsi qu’au r´esultat suivant :

• ln(X^ρ) +Y est une surmartingale pour tout processusρ tel que :

ρ:= (ρ_s)_s∈[t,T]∈A^˜t.

• ln(Xρ∗

) + Y est une martingale, pour toute strat´egie ρ^∗ optimale, i.e. satisfaisant (3.19).

D’autre part, l’existence d’une telle strat´egie satisfaisant cette condition (3.19) d’optimalit´e est assur´ee par un argument de s´election mesurable et l’appartenance `a l’ensemble d’admissibilit´e ˜At r´esulte du contrˆole suivant

|m_s(ρ^∗−λ_s)| ≤ |m_sλ_s|,

contrˆole qui est satisfait puisque la srat´egieρ, telle que :ρ≡0, est `a valeurs dansC. A nouveau, une telle strat´egieρ^∗n’est pas n´ecessairement unique, car

Cest seulement ferm´e et non convexe. La formulation du principe dynamique donn´ee par (3.18) r´esulte de l’application du th´eor`eme d’arrˆet de Doob `a la martingale ln(Xρ∗

) +Y.

Dans le document Equations différentielles stochastiques rétrogrades à croissance quadratique et applications (Page 95-103)