Preuve du r´esultat d’existence

Dans cette partie et afin d’´etablir le r´esultat d’existence ´enonc´e au th´eor`eme 2.1, nous allons d´ecouper la preuve en trois ´etapes.

Dans une premi`ere ´etape, on justifie qu’il est ´equivalent de montrer l’exis-tence sous une nouvelle hypoth`ese plus simple not´ee (H₁^′) sur le g´en´erateur

F de l’EDSR(F, β, B) ou de la montrer sous l’hypoth`ese (H₁).

Dans une seconde ´etape, on introduit, par l’interm´ediaire d’un calcul for-mel, une EDSR interm´ediaire de la forme (Eq2). L’objectif consiste alors `a ´etablir une correspondance entre l’existence de solutions `a l’EDSR(F, β, B) de type (Eq1) et `a celle de type (Eq2) caract´eris´ee par (g, e<sup>βB</sup>) (o`u l’ex-pression de gest donn´ee en fonction de F par (1.2)). Cette correspondance est ´etablie lorsque le g´en´erateurF de la premi`ere EDSR satisfait (H<sub>1</sub><sup>′</sup>). Ceci permet de justifier a posteriori le changement de variable ayant conduit `a l’EDSR du type (Eq2) et d’exprimer une solution de l’EDSR(F, β, B) en fonction d’une solution de l’EDSR(g, eβB) de type (Eq2).

La derni`ere ´etape consiste alors `a construire une solution `a l’EDSR(g, e<sup>βB</sup>) de type (Eq2) et dont le g´en´erateur g satisfait (H<sub>1</sub><sup>′</sup>), ce qui permet via le r´esultat de correspondance ´etabli `a l’´etape 2 de conclure au th´eor`eme 2.1.

• _{Etape 1 : Troncature en la variable y}´

On utilise les estimations du lemme 2.1 afin de simplifier les hypoth`eses sur le g´en´erateurF de l’EDSR(F, β, B) de type (Eq1). Le but de cette ´etape est de se restreindre `a l’hypoth`ese suivante not´ee (H₁^′)

(H₁^′) ∃α¯ ≥0 Z T 0 ¯ α_sdC_s≤˜a(˜a >0), |F(s, y, z)| ≤α¯_s+^γ 2|m_sz|².

Supposons d`es lors possible la construction d’une solution de l’EDSR (Eq1) sous (H₁^′) et expliquons alors comment en d´eduire la construction sous (H₁).

F satisfaisant (H₁) avec les param`etresa,betγ, on d´efinitK en posant :

K=|c|+|C|(les constantescetCsont donn´ees par l’assertion (i) du Lemme 2.1 ), et on introduit l’EDSR suivante :

dY_s^K =−F^K(s, Y_s^K, Z_s^K)dC_s−^β₂dhL^Kis+Z_s^KdM_s+dL^K_s , Y_T^K =B,

o`u on a pos´e : F<sup>K</sup>(s, y, z) = F(s, ρ<sub>K</sub>(y), z) et o`u la fonction troncatureρ_K

est d´efinie comme suit :

ρ_K(x) =    −K six <−K, x si|x| ≤K, K six > K,

ce qui conduit donc au contrˆole suivant :

∀s,∀y ∈R, z ∈R^d, |F^K(s, y, z)| ≤α¯_s(1 +b|ρ_K(y)|) +^γ

Puisque|ρ_K(x)| ≤ |x|,F^K satisfait encore (H₁) avec les mˆemes param`etres queF. Pour toute solution (Y^K, Z^K, L^K) de l’EDSR caract´eris´ee par (F^K,

β,B), K est un majorant de la norme de Y^K dans S^∞. D’autre part, F^K

satisfait (H₁^′), quitte `a remplacer le processus ¯α par un nouveau processus ˜α

d´efini, pour touts, par : ˜αs:= ¯αs(1 +bK). Ce processus ˜αsatisfait la mˆeme hypoth`ese d’int´egrabilit´e que ¯α (`a savoir :

Z T 0

˜

αsdCs≤a˜(1 +bK)<∞, P -p.s.).

Ceci justifie que, par abus et dans toute la suite, on conserve la notation ¯α

prise dans l’hypoth`ese (H₁).

L’EDSR de type (Eq1) et de param`etres (FK, β, B) est telle que FK

satisfait (H₁^′) : du fait de l’hypoth`ese initiale faite dans cette ´etape, il existe au moins une solution not´ee (Y^K, Z^K, L^K) de cette EDSR. La condition

|YK| ≤K ´etant clairement ´etablie, FK et F coincident le long des trajec-toires de cette solution, ce qui entraine que (Y^K, Z^K, L^K) est aussi une solution de l’EDSR (Eq1) caracteris´ee par (F,β,B).

• _{Etape 2 : l’EDSR interm´}´ _ediaire

On veut d´esormais justifier que, si on sait construire une solution (U, V, N) `

a l’EDSR de type (Eq2) et de param`etres (g,eβB) avec g satisfaisant (H<sub>1</sub>), on est en mesure de d´efinir une solution (Y, Z, L) de l’EDSR de type (Eq1) et de param`etres (F,β,B) en posant :

Y := ^ln(U)

β ^{, Z} := ^V

βU^, et L:= ¹

βU ·N. (2.5)

Afin de mettre en ´evidence le lien entre les solutions respectives aux deux EDSR pr´ec´edemment ´evoqu´ees, on en donne une justification formelle : on suppose connue une solution (Y, Z, L) `a l’ EDSR de type (Eq1) et de pa-ram`etres (F, β,B) et on d´efinit alors le processus U en posant : U = eβY. D’apr`es la formule d’Itˆo, le processusU satisfait l’´equation :

(1.2)

dU_s =−g(s, U_s, V_s)dC_s+V_sdM_s+dN_s U_T =eβB,

avec V et N d´efinis par : V = βU Z, N = βU ·L, de sorte que V ·M +

N correspond `a la partie martingale de l’EDSR satisfaite par U, dont le g´en´erateurga pour expression (en fonction de F) :

g(s, u, v) =βuF(s,ln(u)

β ^, v βu)− ¹

2u|msv|².

La difficult´e d´esormais est de donner un sens aux relations donn´ees par (2.5) et, pour ce faire, on commence par d´emontrer l’existence d’estimations pr´ecises de la norme du processusU dansS^∞, pour toute solution (U,V,N)

de l’EDSR (Eq2) caract´eris´ee par (g, e^βB). Ceci n’est pas possible directe-ment du fait de la singularit´e degen la variableuet justifie donc l’introduc-tion d’une nouvelle EDSR (plus particuli`erement d’un nouveau g´en´erateur

G, d´efini `a partir deg `a l’aide d’une troncature ad´equate). On r´esume l’ob-jectif de cette d´emarche : il s’agit de prouver que, sous l’hypoth`ese que le g´en´erateurF de l’EDSR (Eq1) satisfait (H<sub>1</sub><sup>′</sup>), le g´en´erateurGde la nouvelle EDSR de param`etres (G, e^βB) (et de type (Eq2)) satisfait (H₁). Utilisant alors le lemme 2.1, il est possible de donner des estimations pr´ecises, afin de conclure que toute solution de cette nouvelle EDSR caract´eris´ee par (G,

e^βB) est aussi solution de l’EDSR donn´ee par (g,e^βB).

On d´efinitGcomme suit (avecc¹ etc² des constantes positives, dont les expressions seront pr´ecis´ees plus tard)

G(s, u, v) =βρ_c2(u)F(s,ln(u∨c¹)

β ^, v

β(u∨c1)⁾− ¹

2(u∨c1)|m_sv|²,

o`u la d´efinition de la fonction de troncature ρ<sub>c</sub>2 est identique `a celle de l’´etape 1. PuisqueF satisfait (H₁^′), on peut ´ecrire

|G(s, u, v)| ≤(|β||u| ∧c²)( ¯α_s+ ^γ|m_sv|2

2|βc1|2 ) + |m_sv|2

2c1 ≤ |β|α¯_su+^γˆ

2|m_sv|²,

avec ˆγ = _|β^γc_||c²1|2 + _c¹1 et ˜β =|β|α¯. Par cons´equent,G satisfait (H₁) avec les param`etres (toujours not´esa,betγ) :

a:=|β^˜|_L1(dC), b:= 1, γ := ˆγ.

Grˆace `a l’estimation (i) du lemme 2.1, on obtient l’estimation ci-dessous, pour toute solution not´ee (U^{c1, c2}, V^{c1, c2}, N^{c1, c2}) de l’EDSR donn´ee par (G,eβB) :

U_s^{c1, c2} ≤e^a−1 +|e^βB|∞e^a, P-p.s. et pour touts.

Ceci justifie de d´efinir c² par l’expression suivantec² := e^a−1 +|e^βB|∞e^a. Il est int´eressant de constater l’ind´ependance vis `a vis du param`etreγ.

Reste `a montrer pourquoi pour toute solution (Uc<sup>1</sup>, c<sup>2</sup>, Vc<sup>1</sup>, c<sup>2</sup>, Nc<sup>1</sup>, c<sup>2</sup>) le processus U<sup>c1,c2</sup> poss`ede un minorant strictement positif. Soit (U,V,N) une solution de l’EDSR caract´eris´ee par (G, e^βB). On d´efinit le processus adapt´e ¯U pour tout t par ¯Ut = e^−R0^t_βsdCs˜

Ut (avec : ˜β = |β|α¯ sign(Us), ˜β

dans L¹(dC)). On applique la formule d’Itˆo (sous forme int´egr´ee entret et

T) `a ce processusZ : ¯ U_t−U^¯_T = Z T t e^−R0^s_βudCu˜ (G(s, U_s, V_s) + ˜β_sU_s)dC_s− Z T t e^−R0^s_βudCu˜ (V_sdM_s+dN_s).

Comme :G(s, U_s, V_s)≥ −( ˜β_sU_s+^γ₂|m_sV_s|2) , on a : ¯ U_t−U^¯_T ≥ − Z T t γ 2^e −Rs 0 _βudCu˜ |m_sV_s|²dC_s − Z T t e^−R0^s_βudCu˜ (V_sdM_s+dN_s).

Introduisant alors la mesure de probabilit´eQen posant^d_d^Q_P =E(−^γ₂V·M), la transform´ee de Girsanov ˜M = M+ ^γ₂hV ·M , Mi est alors une martingale locale sous Q. Ceci se justifie par le fait que le processus V ·M est une martingale BMO (grˆace `a l’estimation (ii) du lemme 2.1). R´e´ecrivant alors l’in´egalit´e pr´ec´edente sous la forme :

¯ U_t−U^¯_T ≥ − Z T t e^−R0^s_βudCu˜ (V_sd_M˜_s+dNs),

et exploitant le fait que V ·M^˜ +N est une martingale locale sous Q, on obtient, dans un premier temps et `a l’aide d’une localisation, l’existence d’une suite de temps d’arrˆet (τ<sup>k</sup>) que ¯U<sub>τ</sub>k ≥E<sup>Q</sup>( ¯U<sub>T</sub>|F<sub>τ</sub>k). Par simple passage ` a la limite enk, il en r´esulte : ¯ U_t≥E^Ft Q( ¯U_T), ou autrement dit : U_t ≥ E^Ft Q( infU_T e^−Rt^T_βsdCs˜

). On d´efinit alors c¹ par la formule suivante :c¹ :=e^{−|β|(|B|∞+a)}, ce qui fournit une borne inf´erieure strictement positive pour U. Avec ces choix pour c¹, c², le g´en´erateur G

satisfait (H₁) et donc, pourvu qu’il existe une solution (U, V, N), cette derni`ere satisfait :

c¹≤Us≤c², P-p.s. et pour touts.

On obtient donc : G(s, Us, Vs) = g(s, Us, Vs), P-p.s. et pour tout s. Toute solution (U, V, N) de l’EDSR de param`etres (G, e^βB) est donc aussi une solution de l’EDSR caract´eris´ee par (g,e^βB).

Tout processus U ainsi construit (et solution de l’EDSR(G, eβB)) est strictement positif et born´e, on peut d´efinir le triplet (Y,Z,L) via les for-mules (2.5) : ceci fournit d`es lors une solution de l’EDSR(F, β, B) de type (Eq1) .

• _{Etape 3 : Approximation de l’EDSR interm´}´ _{ediaire Afin de}

conclure pour l’existence d’une solution `a l’EDSR (Eq1) sous (H<sub>1</sub>), les deux ´etapes pr´ec´edentes montrent qu’il suffit de construire une solution `a l’EDSR (Eq2) sous (H₁^′). Dans ce qui suit, on s’attache `a construire “explicitement”

une suite de processus (Uⁿ, Vⁿ, Nⁿ), solutions des EDSR donn´ees par les param`etres (g<sup>n</sup>, ˜B<sup>n</sup>) avec la suite ˜B<sup>n</sup>qui converge vers ˜B :=e<sup>βB</sup> et telle que la suite (U<sup>n</sup>) soit monotone. On s’appuie alors sur un r´esultat classique de comparaison (une r´ef´erence dans un cadre un peu plus g´en´eral est donn´ee par le th´eor`eme 0.3 de l’introduction) pour construire une suite monotone (gⁿ) de g´en´erateurs lipschitziens et telle que la suite converge localement uniform´ement sur les compacts deR×R^d et pour toutsvers g. De ce fait, on aura `a la fois existence et unicit´e de solutions. Enfin et de fa¸con analogue `

a [KOB], il ne restera plus qu’`a ´etablir un r´esultat de convergence forte pour les suites (V<sup>n</sup>) et (N<sup>n</sup>), ceci dans le but de justifier un r´esultat dit de “stabilit´e” similaire au lemme de l’introduction 0.2 (ce dernier permettant de conclure `a la convergence vers une solution de l’EDSR de param`etres (g, e^βB)).

Afin de r´esoudre l’EDSR (Eq2) donn´ee par (g, ˜B=eβB), on commence par supposer quegsatisfait la condition (H₁^′′) et avecC₁ = 0 (plus restrictive que (H₁^′)). D`es lors, on peut proc´eder par inf-convolution en d´efinissantgⁿ, pour tout entiern, comme suit :

gⁿ(s, u, v) = inf

u^′,v^′

g(s, u^′, v^′) +n|u−u^′|+n|m_s(v−v^′)|.

Pour assurer la mesurabilit´e, la borne inf´erieure est prise sur l’espace d´enom-brableQ×Q^d. Ceci ´etant pos´e,gⁿ est bien d´efinie, lipschitzien par rapport aux variablesu etv, au sens o`u :

|gⁿ(s, u¹, v¹)−gⁿ(s, u², v²)| ≤n|u¹−u²|+n|ms(v¹−v²)|. (2.6) Puisque la suite (gⁿ) est croissante et qu’elle converge localement et sim-plement vers g (pour s fix´e), le th´eor`eme de Dini entraine la convergence uniforme sur les compacts deR×R^d. Comme de plus, 0≤gⁿ≤g et queg

satisfait (H₁^′′) avec le processus ¯α, on a le contrˆole uniforme suivant : sup

n

|gⁿ(s,0,0)| ≤α¯_s. (2.7) L’existence et l’unicit´e de solutions aux EDSR de param`etres (g<sup>n</sup>, ˜B<sup>n</sup>) r´esultent donc de ces deux conditions (2.6) et (2.7) sur les g´en´erateurs, et de l’utilisation d’arguments classiques (on renvoie le lecteur `a [PAR90] ou aussi `

a [ELK97a], pour des r´esultats dans une filtration g´en´erale) : ces solutions classiques sont `a priori d´efinies sur l’espaceS²×L²(dhMi×dP)×M2([0, T]), avec la d´efinition suivante de l’espaceS² :

|U|_S2 =E sup

t∈[0,T]

|Ut|²¹2.

Afin de conclure `a la croissance de la suite (U<sup>n</sup>), on utilise alors un r´esultat de comparaison analogue au th´eor`eme 2.2 de [ELK97c]) valable pour des EDSR dont les g´en´erateurs sont lipschitziens. D’autre part, il r´esulte du lemme ci-dessous queUⁿ appartient `a S^∞ pour toutn.

Lemme 2.2 Soit (Uⁿ, Vⁿ, Nⁿ) une solution de l’EDSR(Eq2) donn´ee par (gⁿ, B^˜n), et telle que le g´en´erateur gⁿ soit Ln-Lipschitz et de condition terminale B^˜n (suppos´ee born´ee ind´ependamment de n). On a l’estimation suivante : ∃K(Ln, T)>0, |U_tⁿ|²≤K(Ln, T)E |B^˜n|²+ ( Z T 0 |gⁿ(s,0,0)|dCs)²|Ft . (2.8) On donne ci-dessous une preuve adapt´ee au contexte d’´etude de ce r´esultat (ce dernier est une g´en´eralisation de la Proposition 2.1 dans [BRI00]).

Preuve du lemme 2.2 On note que, contrairement au lemme 2.1, on ne suppose pas a priori queUn appartient `aS<sup>∞</sup>. On ´ecrit la formule d’Itˆo sous forme diff´erentielle pour le processus (e<sup>ΓCt</sup>|U<sub>t</sub><sup>n</sup>|2), o`u Γ d´esigne une constante positive `a d´eterminer.

d(e^ΓCt|U_tⁿ|²) = Γe^ΓCt|U_tⁿ|²dCt+e^ΓCt 2U_tⁿdU_tⁿ+dhUⁿit

, (2.9) avec, d’autre part ;

2Un tdUn t +dhUnit:=−2Un tgn(t, Un t, Vn t )dC_t+|m_tVn t |2dC_t+dhNnit + 2U_tⁿ V_tⁿdM_t+dN_tⁿ.

Puisque (Uⁿ, Vⁿ, Nⁿ) est d´efini sur S²×L²(dhMi ×dP)× M²([0, T]), le processusK d´efini comme suit

∀s∈[0, T], K_s:=

Z s 0

e^ΓCuU_uⁿ V_uⁿdM_u+dN_uⁿ, (2.10) est une vraie martingale. D´esormais, on fixe t (t ∈ [0, T]) et on r´e´ecrit la formule d’Itˆo (2.9) en int´egrant entre t et T (et en rassemblant tous les termes qui sont des int´egrales respectivement `adC)

e^ΓCt|U_tⁿ|2−e^ΓCT|U_Tⁿ|2 = Z T t e^ΓCuU_uⁿ −ΓU_uⁿ+ 2gⁿ(u, U_uⁿ, V_uⁿ)dC_u − Z T t e^ΓCu |m_uV_uⁿ|²dC_u+dhNⁿi_u− K_T −K_t

On exploite d´esormais la condition de Lipschitz impos´ee au g´en´erateur gⁿ

pour ´ecrire, d’une part,

et, d’autre part, on utilise la relation : |2L_nab| ≤ (2(L_n)²a²+ ¹₂b²), pour obtenir

2Ln|U_uⁿ||muV_uⁿ| ≤2(Ln)²|U_uⁿ|²+ ¹

2|muV_uⁿ|².

Regroupant les deux in´egalit´es pr´ec´edentes et posant : Γ = 2((L_n)² +L_n), ceci permet d’affirmer :

e^ΓCt|U_tⁿ|²≤ e^ΓCT|U_Tⁿ|² + Z T t e^ΓCu 2|U_uⁿ||gⁿ(u,0,0)|+¹ 2⁽|m_uV_uⁿ|²)dC_u. − Z T t e^ΓCu |m_uV_uⁿ|²dC_u+dhNⁿi_u− K_T −K_t.

D´esormais, prenant l’esp´erance conditionnelle sachantFtdans l’in´egalit´e ci-dessus, l’esp´erance conditionnelle de la partie martingaleKT −Kt (K ´etant d´efini par (2.10)) s’annule et on obtient :

E Z T t e^ΓCu |m_uV_uⁿ|²dC_u+hNiu |Ft ≤2 E e^ΓCT|UT|²+ 2 Z T t e^ΓCu|U_uⁿ||gⁿ(u,0,0)|dCu|Ft . (2.11)

On revient `a la formule d’Itˆo exprim´ee entre t et T pour le processus

e^ΓCt|U_tⁿ|2 et on prend le supremum pour obtenir sup t≤u≤T e^ΓCu|U_uⁿ|²≤e^ΓCT|U_Tⁿ|² + 2 Z T t e^ΓCu|U_uⁿ||gⁿ(u,0,0)|dCu + 4 sup t≤u≤T |Ku−Kt|.

On exploite alors l’in´egalit´e de BDG (appliqu´ee au supremum de la martin-galeK de carr´e int´egrable) ainsi que la relationCab≤ ^C₂²a²+¹₂b², afin d’en d´eduire l’existence d’une constante C telle que

E sup t≤u≤T e^ΓCu|U_uⁿ|²|Ft ! ≤E e^ΓCT|U_Tⁿ|2+ 2 Z T t e^ΓCu|U_uⁿ||gⁿ(u,0,0)|dCu|Ft +^C₂²E Z T t e^ΓCu |m_uV_uⁿ|²dC_u+dhNiu |Ft +¹ 2^E t≤^supu≤T e^ΓCu|U_uⁿ|²|Ft

Combinant cette derni`ere in´egalit´e avec (2.11), on en d´eduit (quitte `a mo-difier la constanteC) E sup t≤u≤T e^ΓCu|U_uⁿ|²+ Z T t e^ΓCu |m_uV_uⁿ|²dC_u+dhNiu |Ft ! ≤CE e^ΓCT|U_Tⁿ|²+ Z T t e^ΓCu|U_uⁿ||gⁿ(u,0,0)|dC_u|Ft

Pour obtenir la majoration (2.8), on utilise d´esormais le contrˆole suivant du dernier terme de l’in´egalit´e pr´ec´edente

CE Z T t e^ΓCu|U_uⁿ||gⁿ(u,0,0)|dC_u|Ft ≤ 1 2E sup t≤u≤T e^ΓCu|U_uⁿ|²|Ft ! +^C₂²E Z T t e^Γ2Cu|gⁿ(u,0,0)|dC_u²|Ft .

On conclut alors grˆace `a l’in´egalit´e :e^ΓCt|U_tⁿ|² ≤E sup

t≤u≤T

e^ΓCu|U_uⁿ|²|Ft

!

.

Puis, on utilise le contrˆole suivant : |gⁿ(u,0,0)| ≤α¯u, avec ¯α satisfaisant

RT

0 α¯_sdC_s ≤a <∞, ainsi que la bornitude de la variableU_Tⁿ.

D´esormais, puisque chaque g´en´erateur gn satisfait (H₁^′′) et donc a fortiori (H₁) (avec les mˆemes param`etres), on exploite l’estimation (i) du lemme 2.1, qui est valable pour toute solution de l’EDSR (Eq2) et de param`etres (gn, ˜Bn). On se sert de plus de la condition suivante :

0≤gⁿ(s, u, v)≤g(s, u, v) (P-p.s. et pour touts),

pour conclure `a la bornitude uniforme de la suite (Un) dansS^∞.

Pour conclure dans le cas o`ug satisfait seulement (H<sub>1</sub><sup>′</sup>), on proc`ede par une double approximation en introduisant alors les fonctions (gn, p) comme suit : g^n,p(s, u, v) =ess inf u^′,v^′ g⁺(s, u^′, v^′) +n|u−u^′|+n|ms(v−v^′)| −ess inf u′ ,v′ g⁻(s, u^′, v^′) +p|u−u^′|+p|m_s(v−v^′)|.

Afin d’obtenir une solution `a l’EDSR (Eq2) de param`etres (g, ˜B), on proc`ede en justifiant deux passages `a la limite successifs : le processusU (associ´ee au triplet solution (U, V, N)) est alors donn´e (comme une limite au sens presque sˆure) par :

U_s = lim

n ր(lim

p ցU_s^n,p),P-p.s. et pour touts.

(on pr´ecise toutefois que, dans ce cadre, il n’est plus possible de parler de solution minimale ou maximale).

La justification restant la mˆeme pour les deux passages `a la limite, on suppose d´esormais et dans toute la suite, quegsatisfait (H₁^′′). Comme, d’une part, la suite (Un) est croissante, on a existence du processus d´efini par :

˜

U = lim

n ր(Uⁿ). D’autre part, puisque les g´en´erateursgⁿsatisfont (H₁^′) (et donc a fortiori (H₁)), avec les mˆemes param`etres et si on se r´ef`ere `a nouveau `

a l’estimation (ii) du lemme 2.1, on obtient :

∃C^′ >0, sup n≥0 E Z T 0 |m_sV_sⁿ|²dC_s+E(|N_Tⁿ|²) ≤C^′.

Par cons´equent, il existe des sous suites de (Vn) et (Nn

T) (sous suites toujours not´ees par abus (Vⁿ) et (N_Tⁿ)) telles queV^{n w}−→V^˜ (dansL²(dhMi ⊗dP)), et

N_Tⁿ −→^w N^˜_T dans L²(FT). Posant pour tout t, ˜N_t =E^Ft( ˜N_T), on en d´eduit la convergence (faible) dans M²([0, T]) de Nn vers ˜N. Toutefois, afin de justifier le passage `a la limite dans les EDSR donn´ees par (gⁿ, ˜Bⁿ), il faut prouver la convergence forte (´eventuellement le long de sous suites) de (Vⁿ) et (Nn) dans L²(dhMi ⊗dP) et M²([0, T]) vers ˜V et ˜N. On laisse de cˆot´e pour l’instant la preuve de cette convergence qui sera ´etablie dans la section 2.3 et qui constitue le point d´elicat du lemme ci-dessous (ce lemme ´etablit un r´esultat appel´e r´esultat de stabilit´e).

Lemme 2.3 On consid`ere l’EDSR(Eq2) ayant pour param`etres (g,B^˜). On suppose que les suites (gⁿ)n et ( ˜Bⁿ) satisfont les conditions suivantes : -Pour tout s, la suite de fonctions (gⁿ : (u, v) → gⁿ(s, u, v)) converge en croissant vers g (g: (u, v)→g(s, u, v)),

-Pour toutn,gⁿsatisfait (H₁^′′) avec les mˆemes param`etresα¯,γ ( ind´ependants de n).

-la suite( ˜Bⁿ) de variablesFT-mesurables et uniform´ement born´ees converge (en croissant) P-p.s. vers B^˜.

Ceci entraine les r´esultats suivants :

• Toute suite de solutions (Uⁿ, Vⁿ, Nⁿ) aux EDSR de param`etres (gⁿ, ˜

Bⁿ) est telle que (Uⁿ) est croissante et uniform´ement born´ee dans S^∞ et cette suite converge dans S^∞×L²(dhMi ⊗dP)× M2([0, T]) vers le triplet (U ,^˜ _{V ,}˜ _N˜_).

• Ce triplet (U ,^˜ _{V ,}˜ _N˜<sub>) appartient `a S</sub>∞×L<sup>2</sup>(dhMi ⊗dP)× M2([0, T]) et satisfait l’EDSR(Eq2) de param`etres (g, B^˜).

Fin de la preuve de l’existence On suppose connu pour l’instant le r´esultat d´elicat ´enonc´e dans le lemme 2.3, `a savoir le r´esultat de conver-gence forte des suites (V<sup>n</sup>) et (N<sup>n</sup>) dans leurs espaces de Hilbert respectifs. On identifie alors le triplet de processus ( ˜U ,<sub>V ,</sub>˜ <sub>N</sub>˜<sub>) en tant que solution `a</sub> l’EDSR (Eq2) de param`etres (g, ˜B). Pour ce faire, il suffit de justifier le passage `a la limite dans les EDSR suivantes de param`etres (gⁿ,_B˜n) :

U_tⁿ= ˜Bⁿ+ Z T t gⁿ(s, U_sⁿ, V_sⁿ)dC_s− Z T t V_sⁿdM_s+N_tⁿ−N_Tⁿ.

Cela revient `a prouver les assertions suivantes : (i)Vn→V^˜ dansL²(dhMi ⊗dP), lorsque n→ ∞, (ii)Nⁿ→N^˜ dansM2([0, T]), lorsquen→ ∞, (iii)E

Z T 0

|gⁿ(s, U_sⁿ, V_sⁿ)−g(s,_U˜_s,V˜_s)|dC_s →0, lorsquen→ ∞.

La preuve des assertions (i) et (ii) r´esulte simplement de la convergence forte des suites (Vⁿ) et (Nⁿ) dans leurs espaces respectifs de Hilbert, ce qui entraine la convergence au sens presque sˆure de ces deux suites, quitte `

a prendre une sous suite. Afin de prouver l’assertion (iii), il faut justifier une convergence dansL¹(dC_s⊗dP). Pour ce faire, on va prouver les deux assertions qui suivent :

• la convergence endCs⊗dPmesure de (gⁿ(s, U_sⁿ, V_sⁿ)) vers g(s,_U˜_s,V˜_s)

• le contrˆole uniform´ement int´egrable de la suite (gⁿ(s, U_sⁿ, V_sⁿ))_n

Pour le premier point, on exploite, d’une part, la convergence en dC_s⊗dP

mesure de (mVⁿ) versm_V˜ _{et celle de (U}n) vers ˜U, et d’autre part, le fait que la suite ((u, v)→gⁿ(s, u, v)) satisfait une propri´et´e de convergence presque sˆure et localement uniforme sur les compacts de R×R^d. Ceci permet de conclure `a la convergence en dCs ⊗dP mesure souhait´ee. Pour le second point, on rappelle, d’une part, le contrˆole suivant de la suite (gⁿ(s, U_sⁿ, V_sⁿ)) :

∃α,¯ α¯ ≥0 et Z T 0 ¯ αsdCs ≤a, |gⁿ(s, U_sⁿ, V_sⁿ)| ≤α¯s+^γ 2|msV_sⁿ|².

(ce contrˆole est v´erifi´e, puisque gⁿ satisfait (H₁^′′) et donc a fortiori (H₁^′) quitte `a modifier ¯α). D’autre part, la convergence forte dans L<sup>1</sup>(dC<sub>s</sub>⊗dP) de|m(V<sup>n</sup>−V<sup>˜</sup>)|<sup>2</sup>vers 0 entraine l’uniforme int´egrabilit´e de la suite (|mV<sup>n</sup>|<sup>2</sup>), ce qui assure que l’assertion (iii) est satisfaite. Le passage `a la limite dans les EDSR de param`etres (gⁿ,_B˜n) (lorsquen→ ∞) est bien justifi´e et il permet d’affirmer que le triplet satisfait

˜ Ut= ˜B+ Z T t g(s,_U˜_s,V˜_s)dCs− Z T t ˜ VsdMs−( ˜NT −N^˜t),

et le triplet ( ˜U ,_{V ,}˜ _N˜_{) est solution de l’EDSR (Eq2) de param`etres (g, ˜B).} D’autre part, ˜U ´etant un processus continu, il vient par application du lemme de Dini :

lim

p (sup

t

|U^˜_t−U_t^p|) = 0, P-p.s.

Lorsqu’on applique alors le th´eor`eme de convergence born´ee `a la suite (U^p), on conclut :

E sup

0≤s≤T

|U_s^p−U^˜_s|²→0, lorsquep→ ∞.

On a ainsi obtenu une solution `a l’EDSR de type (Eq2) et de param`etres (g, ˜B) et on conclut alors `a l’existence d’une solution `a l’EDSR(F, β, B) de type (Eq1) (B:= ^{ln( ˜}_β^B)) grˆace aux relations de correspondance (2.5) ´etablies `

a l’´etape 2.

Dans le document Equations différentielles stochastiques rétrogrades à croissance quadratique et applications (Page 64-75)