Outils th´eoriques

,t,x

s .

0.3.3 Outils th´eoriques

Afin de compl´eter cette introduction `a la math´ematique financi`ere, on donne ici quelques outils de calcul stochastique et de th´eorie des martin-gales essentiels `a notre ´etude. On pr´ecise que, sauf mention contraire, toutes les semimartingales auxquelles nous faisons r´ef´erence sont sp´eciales et que toutes les filtrations (´eventuellement discontinues) consid´er´ees satisfont les hypoth`eses usuelles de continuit´e `a droite et de compl´etude. Dans cette par-tie, on commence par rappeler un ´enonc´e g´en´eral d’un th´eor`eme de Girsanov, qui est l’outil majeur lorsque l’on travaille sous diff´erentes mesures de pro-babilit´e ´equivalentes et, pour ce faire, nous introduisons le concept de mar-tingale exponentielle. Dans un deuxi`eme temps, nous donnons les r´esultats majeurs concernant les d´ecompositions de Galchouk-Kunita-Watanabe et F¨ollmer-Schweizer (cette derni`ere ´etant fortement reli´ee `a l’existence d’une densit´e de martingale).

Changement de mesure ´equivalente

Avant de donner le r´esultat essentiel, on donne l’´enonc´e d’un premier lemme ´el´ementaire :

Lemme 0.3 On se donne Q, Q∼P, une mesure ´equivalente de probabilit´e ainsi que le processus Z d´efini par : Z_t =E_P(^d_d^Q_P|Ft), qui est sa densit´e de probabilit´e. Un processus adapt´e c`adl`agM est uneQ-martingale locale si et seulement si le processus M Z est une martingale locale sousP.

L’´enonc´e qui suit est celui d’un th´eor`eme de Girsanov (le lecteur pourra aussi se r´ef´erer au th´eor`eme 20 de [PRO] pour une preuve de ce r´esultat) qui donne la transformation recherch´ee :

Th´eor`eme 0.7 SoientP et Q deux mesures de probabilit´es ´equivalentes et soit X une semimartingale (non n´ecessairement sp´eciale) sous P dont une d´ecomposition est donn´ee par : X=M+A. Alors,X est encore une semi-martingale sous la mesure ´equivalenteQ, dont une d´ecomposition est donn´ee sous la forme X=N +C, avec le processus N construit comme suit :

N_t=M_t−

Z t 0

1

Z_s^d[Z, M]s.

Ce dernier est une Q-martingale locale et C = X−N est un processus `a

Q-variation finie.

La preuve de ce th´eor`eme de changement de mesure repose essentiellement sur des manipulations simples de la r`egle d’Itˆo pour le produit (encore ap-pel´ee formule d’int´egration par parties). On pr´ecise qu’en g´en´eral le ca-ract`ere sp´ecial d’une semimartingale n’est pas pr´eserv´e par changement de mesure ´equivalente : la nouvelle d´ecomposition de la semimartingale n’as-sure pas le caract`ere localement int´egrable de C, mˆeme dans le cas o`u A

l’est au d´epart. Un exemple pr´ecis de cas o`u il n’existe pas de repr´esentation pr´evisible du processus `a variation finie obtenu apr`es un changement de me-sure ´equivalente est fourni par [STRI85]). Par contre, sous l’hypoth`ese de bornitude de la densit´e de martingale, le caract`ere sp´ecial est pr´eserv´e.

Pour conclure cette section, on introduit finalement la notion de “mar-tingale” exponentielle, notion qui intervient en pratique pour exprimer la densit´e de mesure ´equivalente et appliquer une transformation de Girsanov. On dit qu’un processus Z est la martingale exponentielle (not´eeE(M)) as-soci´ee `a une martingaleM localement de carr´e int´egrable, s’il est solution de l’EDS suivante

Z_t= 1 +

Z t 0

Z_s−dM_s,

et d`es que M est localement de carr´e int´egrable, Z appartient `a L²_loc(M) (au sens o`u l’int´egrale stochastique

Z ·

0

Zs−dMs est localement de carr´e int´egrable). On pr´ecise ci-dessous la forme de ce processus selon que M

est ou non continue.

Lorsque M est une martingale continue, nulle en 0 et de carr´e localement int´egrable, dont le crochet oblique est donn´ee parhMi, l’expression deZ est donn´ee par

∀t, Z_t= exp(M_t−¹

Dans le cas g´en´eral o`u la martingale M poss`ede des trajectoires seulement c`adl`ag, la martingale exponentielle est donn´ee par la formule de Dol´eans-Dade, `a savoir :

∀t, Et(M) = exp(Mt−¹

2hM^cit)^Y

s≤t

(exp(−∆Ms)(1 + ∆Ms)),

o`u M<sup>c</sup> d´esigne la partie martingale continue deM et ∆M := (M<sub>s</sub>−M<sub>s−</sub>) le processus de saut. Le terme de “martingale” employ´e pour parler de la solution de cette EDS est abusif : en effet, en g´en´eral et sous les hypoth`eses suivantes :M est une martingale de carr´e (localement) int´egrable et de sauts strictement sup´erieurs `a −1, le processus Z est une martingale locale posi-tive. Par des arguments classiques, ce processus est une surmartingale. Les crit`eres donn´es dans les articles [KAZ] et [LEP78] (ce dernier traite aussi le cas de l’exponentielle stochastique d’une martingale discontinue, i.e. seulement c`adlag) fournissent des conditions suffisantes pour qu’un tel pro-cessusZ :=E(M) soit une densit´e de martingale.

Le paragraphe suivant donne une justification de l’int´erˆet de ces crit`eres et de l’´etude th´eorique des martingales exponentielles.

D´ecompositions classiques

Dans toute cette partie les semimartingales consid´er´ees sont sp´eciales (et d’autre part elles sont, soit continues, soit de partie martingale localement de carr´e int´egrable). On se contente ici de redonner sans preuve les d´efinitions de ces deux d´ecompositions [STRI90].

D´efinition 0.4 SoientN une martingale r´eelle etM une martingale `a va-leurs dansR^d. On appelle d´ecomposition de Galchouk-Kunita-Watanabe de

N par rapport `a M toute d´ecomposition de la forme suivante :

N =N₀+H·M+L,

o`uH ∈L<sup>2</sup><sub>loc</sub>(M), etL est une martingale nulle en 0 et strictement orthogo-nale `a M, au sens o`u :hL, Mii= 0, pour tout i∈ {1,· · ·, d}.

On note que, lorsque cette d´ecomposition existe, celle-ci est unique. D’autre part, cette derni`ere existe en particulier lorsque :

• M etN sont deux martingales de carr´e int´egrable.

• M est une martingale continue (etN quelquonque).

Dans la premi`ere partie de cette th`ese, on se place dans le deuxi`eme cas. On donne ici la d´efinition de la d´ecomposition de F¨ollmer-Schweizer, avant d’en expliquer l’int´erˆet en math´ematiques financi`eres (pour les d´etails concernant les conditions d’existence de cette d´ecomposition, on renvoie aux articles [ANS] et [SCHW95]) :

D´efinition 0.5 (1) SoitX une semimartingale (sp´eciale)d-dimensionnelle dont la d´ecomposition canonique est :

X=X₀+M +A,

o`u M ∈ M2

loc (etM continue d`es queX l’est) et Aest la partie `a variation finie et pr´evisible.

(2) La semimartingale sp´ecialeX(continue ou de carr´e localement int´egrable) satisfait la condition de structure (SC) si les conditions suivantes sont sa-tisfaites :

– Il existe un processus C croissant pr´evisible et tel que : ∃σ t.q.σ_s(ω)∈R^d×d, dhMⁱ, M^jis=σ^i,j_s dC_s.

(avecσ tel que ^R₀^T |σ_s|2dC_s<∞, P-p.s.).

– Il existe un processus λ, λ∈L²_loc(M) (i.e de fa¸con ´equivalente :κT =

RT

0 λ^′_sdhMisλs<∞, P-p.s.) et qui est tel que : dA=σλdC.

Sous ces conditions, posant Z^ˆ =E(−λ·M), l’exponentielle stochastique est une martingale locale. Si on impose, de plus, que λ·M est une martingale BMO (et −λ∆M >−1, lorsque M est discontinue), Z^ˆ est alors une vraie densit´e de martingale associ´ee `a la mesure ´equivalente P^ˆ d´efinie par :

d_Pˆ

dP = ˆZ_T =ET(−λ·M).

D’autre part, cette mesure est dite minimale au sens o`u toute autre mesure ´equivalente de martingale pour X s’´ecrit sous la forme suivante :

Z_T^∗ =E(−λ·M+L),

o`u la martingale L est orthogonale `a M.

(3) On se place dans le cas (2), `a savoir lorsque Z<sup>ˆ</sup> d´efinit une densit´e de martingale et on se donne B une variable FT-mesurable. B admet une d´ecomposition de F¨ollmer-Schweizer g´en´eralis´ee vis `a vis deX, i.e. il existe une variableF0 mesurableB₀, un processus pr´evisible int´egrableξ^B etL^B ∈ Mloc fortement orthogonal `a chaque Mⁱ tels que :

B =B₀+ (ξ^B·M)T +L^B_T.

De plus, on a :Z^ˆ_Vˆ ∈ M(P), ou encore de mani`ere ´equivalente :V^ˆ ∈ M(ˆP), avec le processusV^ˆ qui est d´efini par :

Quelques remarques et cons´equences

1. Le processus C croissant pr´evisible apparaissant dans (2) n’est pas unique. Par contre, l’int´egrale d´efinie par :

κ:=hλ·Mi=

Z . 0

λ^′_sdhMisλs,

est d´etermin´ee de fa¸con unique. Ce processusκqui est reli´e `a λet au-quel on associe la condition de structure est aussi connu sous le nom de mean variance tradeoff. On utilisera cette d´ecomposition particuli`ere dans la premi`ere partie de la th`ese.

2. On se restreint au cas ´etudi´e dans la premi`ere partie de la th`ese o`u la martingale (localement de carr´e int´egrable)M est continue et on sup-pose que l’existence de la densit´e minimale : `a savoir, ^d_d^P_P^ˆ :=E(−λ·M) (associ´ee `a ˆP) est une densit´e (stricte) de martingale. Lors de l’´etude men´ee dans le cas tr`es particulier o`u le param`etresλvaut z´ero (la me-surePcoincide avec la mesure minimaleP^λde densit´eE(−λ·M)) dans la section 3.3 de la premi`ere partie, on montre que la limite asymp-totique (lorsque le param`etre α tend vers 0) du prix d’indiff´erence associ´e `a l’actifB (prix not´eπα(B)) est le prix obtenu sous la mesure ˆ

P, `a savoir E<sup>Pˆ</sup>(B). On donne ici une interpr´etation compl´ementaire de cette mesure : le th´eor`eme 5 (page 11 de [SCHW95]) caract´erise ainsi cette mesure ˆP en tant qu’unique mesure minimisant une cer-taine fonctionnelle (qui fait intervenir l’entropie). Cette derni`ere est reli´ee `a la formulation duale du probl`eme de maximisation de l’utilit´e exponentielle (on renvoie `a [SCH]).