Etude théorique
| ,e N −1,1>
| ,e N −2, 2>
| ,e N −3, 3>
| ,g N +1, 0>
| ,g N,1>
| ,g N −2, 3>
| ,g N −1, 2>
∆
( )
E kHz
| , 0,e N > | , 0,g N + >1
0 n 1 Ω + 0 n Ω 0 n 1 Ω − 0 n 2 Ω − 0 Ω 0 2 Ω 0 3 Ω 0 Ω| ,e N, 0>
Fig.4.12: Niveaux d’énergie de la multiplicité EN (voir texte) en l’absence de couplage.
Reprenons brièvement la théorie effectuée à la section 1.2.2. Si on tient compte du second mode une base de l’espace des états est {|e, N, mi , |g, N, mi} où N et m désignent le nombre de photons dans le mode 1 et 2 respectivement. La multiplicité {|e, N, mi , |g, N + 1, mi} n’est plus fermée pour le hamiltonien de Jaynes-Cummings, en effet l’atome peut émettre ou absorber un photon dans le second mode de façon non-résonnante. Supposons que l’on a préparé le système dans l’état initial |e, N, 0i. Il est couplé à l’état |g, N + 1, 0i, les deux états sont dégénérés et l’intensité du couplage entre eux vaut Ω0
√
N + 1. Il est éga-lement couplé à l’état |g, N, 1i, le désaccord entre les deux niveaux est ∆ = ωHF − ωBF, l’intensité du couplage vaut Ω0 (la fréquence de Rabi du vide est identique pour les modes HF et BF). Le système a donc une probabilité de se trouver dans la multiplicité {|e, N − 1, 1i , |g, N, 1i}. |e, N − 1, 1i est alors couplé à |g, N − 1, 2i avec une intensité Ω0√
2. Par émissions successives dans le second mode, le système peut finalement abou-tir dans la multiplicité {|e, 0, Ni , |g, 1, Ni}. Cette cascade est illustrée figure 4.12. On appellera EN l’ensemble des états couplés à |e, N, 0i.
Etudions d’abord l’énergie des états de EN en fonction de la position de l’atome dans la cavité en négligeant le couplage au second mode. Les niveaux d’énergie s’écrivent alors simplement (voir équations 1.61)
E+,N−k,k = ~Ω0 √
N − k + 1
| ,e N, 0> | ,e N −1,1> | ,g N +1, 0>
∆
0 N 1 Ω + 0 / x w | ,g N,1> | ,e N −2, 2> | ,e N −3, 3> | ,g N −2, 3> | ,g N −1, 2> | ,e N, 0> | ,e N −1,1> | ,g N +1, 0> 0 / x w | ,g N,1> | ,e N −2, 2> | ,e N −3, 3> | ,g N −2, 3> | ,g N −1, 2> 0 / c x w 0( )xc ΩFig.4.13: (a) Niveaux d’énergie de la multiplicitéEN (voir texte) si on néglige le couplage avec le second mode, en fonction de la position de l’atome dans la cavité. w0 est le waist de la cavité. (b) On tient compte du couplage avec le second mode. Les dégénérescences sont levées.
E−,N−k,k =−~Ω0 √
N − k + 1
2 − ~k∆ (4.8)
Les états associés sont |+N−k, ki et |−N−k, ki respectivement où |+N−ki et |−N−ki sont les états du système atome-champ dans le mode 1 décrits par les équations 1.60 et |ki décrit l’état du champ dans le mode 2. Les niveaux sont représentés figure 4.13. On voit que les états |−N, 0i et |+N−1, 1i se croisent en deux points symétriques par rapport au centre de la cavité. Si on tient compte du couplage avec le second mode, la dégénérescence est levée d’une quantité Ω0(xc) où xc est le point où a lieu la dégénérescence.
Supposons alors que le système est initialement préparé dans l’état |−N, 0i. Il peut alors se produire un anticroisement : le système atome-mode 1 initialement dans l’état |−Ni peut contaminer l’état |+N−1i et le champ dans le mode 2 initialement dans l’état vide peut maintenant contenir un photon : cette évolution est illustrée figure 4.14. En revanche, l’état |+N, 0i est insensible à l’effet du second mode.
Cet anticroisement affecte la phase accumulée par le système. On a représenté figure 4.15 l’évolution de celle-ci au cours de la traversée de la cavité par l’atome. La phase
0
/
x w
1|+
N−,1
>
|
, 0
N−
>
|−
N, 0
>
1.5 − 0( ) c x Ω 0 / c x wFig. 4.14: Anticroisement des niveaux au voisinage de xc.
accumulée par le système préparé dans l’état |+N, 0i est Ω0
√
N + 1tint/2 comme en l’ab-sence du second mode (en grisé sur la figure). On rappelle que la phase accumulée par |−N, 0i vaut en l’absence de second mode −Ω0
√
N + 1tint/2. En présence de celui-ci cette phase peut devenir positive (hachures sur la figure 4.15) et en valeur absolue inférieure à Ω0
√
N + 1tint/2.
L’anticroisement adiabatique se fait d’autant moins efficacement que l’atome est rapide. L’efficacité est également altérée si le nombre de photons initialement injecté dans le mode HF est plus grand : en effet l’anticroisement a lieu plus loin du centre du mode et la levée de dégénérescence due au couplage avec le second mode (en Ω0(xc)) est moins grande. Modification de l’évolution
Qu’advient-il alors si le système est initialement préparé dans l’état |e, α, 0i ? Il est utile dans un premier temps de raisonner sur l’état initial |+, α, 0i.
|+, α, 0i = √1 2
X
N
CN(|e, N, 0i + |g, N, 0i) (4.9) que l’on peut récrire, sachant que CN ∼ CN +1 et en négligeant la composante C0|g, 0i
|+, α, 0i ∼ √1 2 X N CN(|e, N, 0i + |g, N + 1, 0i) = √1 2 X N CN(|+N, 0i) (4.10)
| ,0 N + > | ,0 N − > ( )b ( )a + − −
Fig. 4.15: (a)Effet de l’anticroisement sur la phase accumulée par |+N, 0i. La phase accumulée correspond à l’aire grisée. (b)Effet de l’anticroisement sur la phase accumulée par|−N, 0i. La phase accumulée correspond à l’aire hachurée algébrique.
L’état |+N, 0i étant insensible au second mode, l’état |+, α, 0i évolue conformément à la théorie du chapitre 1. On a donc
|+, α, 0i −→ |ψ+, α+, 0i (4.11) Considérons à présent l’état initial |−, α, 0i. Il peut s’écrire
|−, α, 0i ∼ √1 2
X
N
CN(|−N, 0i) (4.12) Chaque état |−N, 0i peut contaminer l’état |+N−1, 1i. Cela a deux conséquences :
1. le système atome-champ du mode 1 s’intrique avec le champ contenu dans le mode 2, et au terme de l’interaction le second mode est faiblement excité.
2. le champ résultant dans le mode 1 présente une petite composante de phase positive, conformément à l’étude qui a été faite ci-dessus.
La figure 4.16 présente la fonction Q du champ résultant dans le mode 1 au terme de l’interaction si l’atome a initialement préparé dans l’état |−i (figure (a) et (c)) ou dans |+i (figure (b) et (d)). Les figures (a) et (b) ont été calculées avec 10 photons initialement injectés, Les figures (c) et (d) avec 30 photons. On a représenté en tirets la fonction Q obtenue en l’absence de second mode. On vérifie que l’évolution du système pour un atome préparé dans |+i est insensible à la présence du second mode. Pour un atome préparé dans |−i, on constate l’apparition d’une composante positive du champ, tandis que la composante négative est moins déphasée qu’en l’absence de second mode. Cet effet
( )b ( )a
( )c ( )d
Fig.4.16: (a) Fonction Q calculée du champ après interaction résonnante avec un atome préparé dans l’état|−i. Le champ contient initialement 10 photons. On a représenté en tirets le même signal calculé sans tenir compte du second mode. La présence du second mode se traduit par l’apparition d’une composante du champ de phase positive. (b) Même signal si l’atome est préparé dans l’état |+i. Dans ce cas l’évolution du système atome-champ est insensible au second mode. (c) Même signal pour un atome préparé dans l’état |−i, le champ contenant initialement 30 photons. L’effet du second mode est très amoindri. On remarque que la phase de la composante négative du champ est pratiquement la même qu’en l’absence de second mode. (d) Même signal pour un atome préparé dans l’état|+i .
est d’autant plus marqué que le nombre de photons est faible : il est responsable du rapprochement des composantes du champ à grand θ(voir figure 4.7).
Concluons cette section en soulignant que l’effet du second mode devient négligeable à partir de 20 photons. La distance des états Chat de Schrödinger du champ ne dépendant pas du nombre de photons, comme on l’a vu équation 1.162, nous avons pu préparer ces états sans être perturbés par la présence du second mode. Le facteur limitant l’efficacité de notre technique est la décohérence comme on va le voir dans la section suivante.