3.5 Validation des r´esultats : cas d’une surface lisse
3.5.1 E-SDIM
La E-SDIM a ´et´e test´ee pour le probl`eme de la diffraction d’une onde plane par une surface carr´ee lisse parfaitement conductrice. Les r´esultats du calcul du courant de surface, de la SER et et de la phase du champ diffract´e sont compar´es `a ceux obtenus par une inversion LU de la matrice imp´edance, issue de l’application de la MdM. Une surface de 36λ2 (6λ × 6λ) est consid´er´ee, illumin´ee par une onde plane `a 3 GHz. L’´echantillonnage est fait de mani`ere similaire `a celui montr´e sur la figure3.9, avec une taille maximale des arˆetes de λ/10. L’angle φi est fix´e `a 0◦ et l’angle d’incidence θi `a ´et´e fix´e pour les valeurs suivantes : 0◦, 15◦, 30◦, 45◦ et 60◦. Les deux polarisations, horizontale et verticale, sont consid´er´ees.
Concernant la division en sous-domaines de la surface, la forme des domaines est rectangulaire dans tous les cas. Lors des simulations, la surface a ´et´e divis´ee de la fa¸con suivante : 1 × 2, 1 × 3, 1 × 4, 2 × 2, 2 × 3, 2 × 4, 3 × 3, 3 × 4 et 4 × 4 sous-domaines. Ceci ´equivaut `a 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 et 16 sous-domaines (P ). Les simulations ont ´et´e faites avec une taille de rallongement uniforme ∆R. Cette variable, param´etr´ee en termes de nombre d’arˆetes, horizontales ou verticales, est ´egale `a 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 et 15, ´equivalant `a une distance comprise entre 0.07λ et 1.06λ avec un pas de 0.14λ.
Pour les simulations, le crit`ere de convergence ||a(k)− a(k−1)||/||a(k−1)|| < ǫ
SDIM = 0.01, introduit par l’expression (3.10) est utilis´e.
L’angle d’incidence a un effet moins important sur l’ordre de convergence et la pr´ecision. La figure pr´ec´edente, en compl´ement de la figure 3.10, permet de valider cette conclusion. Elle montre le courant de surface sur l’axe x, pour trois angles d’incidence diff´erents, en gardant inchang´ees les autres variables. Les trois cas illustr´es convergent lors de la quatri`eme it´eration, en gardant des pr´ecisions tr`es similaires par rapport au mod`ele MdM-LU. Le point de s´eparation des sous-domaines est encore appr´eciable `a l’ordre z´ero. L’´evaluation de la pr´ecision des r´esultats du calcul du courant surfacique permet d’affirmer qu’on se trouve en pr´esence d’une m´ethode rigoureuse, bien adapt´ee aux caract´eristiques du probl`eme trait´e.
3.5.1.2 Surface ´Equivalente Radar et champ diffract´e en champ lointain
L’analyse des r´esultats obtenus dans le calcul de la SER et du champ diffract´e en zone de champ lointain constitue une ´etape importante dans la validation de la pr´ecision de la m´ethode. A ce propos, l’information de phase du champ diffract´e, ainsi que la SER sont les deux ´el´ements `a retenir. Leur pr´ecision a ´et´e ´evalu´ee `
a chaque it´eration (k) par les deux expressions suivantes :
norm(σSDIM(k) ij − σLUij)/norm(σLUij) (3.52)
norm(ρ(k)cd
SDIMij− ρcdLUij)/norm(ρcdLUij) (3.53)
o`u, ij indiquent les composantes V V, V H, HV et HH de la matrice de SER ¯σ. ¯ρcdest matrice de diffrac- tion, d´efinie par l’expression suivante (1.99) :
¯ ρcd= " ρcdθθ ρcdθφ ρcdφθ ρcdφφ # = 2r√π Eθ 0s Eθ 0i Eθ 0s Eφ0i Eφ0s Eθ 0i E0sφ Eφ 0i (3.54)
de sorte que ¯σ= || ¯ρcd||2. Alors, les vecteurs σ(k)et ρ(k)cd, sont form´es par les valeurs prises en θsconsid´er´e. Il faut noter qu’`a diff´erence du courant, pour lequel l’analyse de la pr´ecision est r´ealis´ee sur la totalit´e du vecteur, l’erreur sur le coefficient de diffraction complexe est calcul´ee sur chacune de ses composantes.
Les figures 3.17 et 3.18 montrent les valeurs de la SER et de la phase du champ diffract´e pour une incidence normale, en consid´erant deux tailles d’´elargissement de sous-domaines diff´erentes, pour une surface divis´ee en 2 sous-domaines. Ces deux figures repr´esentent les mˆemes cas d’´etude que sur les figures 3.10et
3.11respectivement. Comme il a ´et´e expliqu´e auparavant, la convergence est atteinte plus rapidement lorsque ∆R ≈ λ. Il est remarqu´e que l’erreur de pr´ecision de la SER par rapport `a celle du coefficient de diffraction ρcd et du courant de surface est moins importante pour le cas de la co-polarisation et qu’elle est similaire pour la polarisation crois´ee. Alors, en fonction de l’application donn´ee (calcul de courant ou de la SER), un crit`ere de convergence ǫSDIM moins exigent peut ˆetre utilis´e.
3.5. VALIDATION DES R ´ESULTATS : CAS D’UNE SURFACE LISSE 125
Figure3.17 – σ (`a gauche) et phase de ρcd (`a droite) pour une surface lisse de taille 6λ × 6λ. Onde incidente en polarisation verticale, θi = 0◦, φi = 0◦, |Eθi| = 1 V/m et η0 = pµ/ǫ = 120π Ω. Division en 2 sous-domaines et
∆R = 0.21λ.
Figure3.18 – σ (`a gauche) et phase de ρcd (`a droite) pour une surface lisse. Mˆeme configuration que sur la figure
3.17mais avec ∆R = 0.92λ.
9 sous-domaines et des valeurs de ∆R ´egales `a 0.21λ et 0.92λ respectivement, ce qui correspond aux mˆemes conditions utilis´ees dans les cas repr´esent´es sur les figures3.12et 3.13.
Figure3.19 – σ (`a gauche) et phase de ρcd (`a droite) pour une surface lisse. Mˆeme configuration que sur la figure
3.17mais avec une division en 3 × 3 sous-domaines.
Figure3.20 – σ (`a gauche) et phase de ρcd (`a droite) pour une surface lisse. Mˆeme configuration que sur la figure
3.5. VALIDATION DES R ´ESULTATS : CAS D’UNE SURFACE LISSE 127 Les mˆemes conclusions peuvent ˆetre tir´ees. Comme il a ´et´e observ´e auparavant, les figures3.19et 3.20, montrent que la pr´ecision du calcul de la SER et la phase du champ en polarisation crois´ee est affect´ee par le nombre de sous-domaines mais surtout par ∆R. Ceci est montr´e par les graphiques en bas des deux figures. Le mˆeme comportement, mais moins important, est aussi observ´e pour une polarisation horizontale.
Figure3.21 – σ (`a gauche) et phase de ρcd (`a droite) pour une surface lisse de taille 6λ × 6λ. Onde incidente plane en polarisation horizontale, θi= 0◦, φi= 0◦, |Eφi| = 1 V/m et η0=pµ/ǫ = 120π Ω. Division en 2 sous-domaines et
∆R = 0.92λ.
La figure 3.21 montre la SER et le champ diffract´e lorsqu’une polarisation d’incidence horizontale est consid´er´ee. Une convergence plus rapide, d´ej`a mentionn´ee, mais surtout une meilleure pr´ecision sont observ´ees. Une analyse plus approfondie, concernant la relation entre la polarisation de l’onde incidente et le taux de convergence de la m´ethode, est pr´esent´ee plus en d´etail dans la prochaine section. Pour finir, la figure3.22
Figure3.22 – σ (`a gauche) et phase de ρcd(`a droite) pour une surface lisse de taille 6λ × 6λ. Onde incidente plane en polarisation verticale, θi= 30◦, φi= 0◦, |Eθi| = 1 V/m et η0 =pµ/ǫ = 120π Ω. Division en 2 sous-domaines et
∆R = 0.92λ.