S , S 6= T , ¯ZT′,S ´etant les matrices de couplage. ¯τ repr´esente le taux de compression
moyen, calcul´e comme la moyenne des taux de compression de toutes les matrices de couplage, pouvant aller de z´ero, pour les matrices de couplage entre blocs adjacents, `a 0.999, pour celles entre blocs bien ´eloign´es.
En supposant la condition P >> 1, qui implique (P − 1) ≈ P la complexit´e peut ˆetre r´e´ecrite de fa¸con similaire `a l’expression (3.23), en fonction du nombre total d’inconnues, sous la forme :
CE-SDIM + ACA≈ O N 3 P2 + O N 2 P + kE-SDIM O N 2 P + kE-SDIM(1 − ¯τ)O(N2) (3.38)
Si on compare cette expression avec la complexit´e CPU de l’inversion LU de ¯Z, on aper¸coit comment le fait de d´ecomposer la surface en un grand nombre de blocs, minimise la complexit´e dˆu `a l’inversion de matrices par un facteur P2, et la transforme en des produits matrice-vecteur, qui sont acc´el´er´es grˆace `a la compression des matrices de couplage. Cette compression sera d’autant plus importante que le nombre de domaines sera grand, ce qui montre la validit´e de la m´ethode dans ce contexte.
Pour la complexit´e en m´emoire, en partant de l’´equation (3.25) et en introduisant `a nouveau le taux de compression moyen des matrices de couplage, on arrive `a l’expression suivante :
ME-SDIM + ACA≈ PO(N0E2 ) + (P − 1)(1 − ¯τ)O(N0E2 )
(3.39)
o`u on trouve le mˆeme terme (1 − ¯τ) qui affecte la complexit´e de stockages des matrices de couplage. Pour des probl`emes de taille moyenne, si le nombre de blocs P est suffisamment grand, des taux de compression moyen de l’ordre de 85% − 90% sont observ´es. Ces valeurs peuvent ˆetre surpass´ees dans des probl`emes de grande taille. Cette complexit´e peut ˆetre exprim´ee en fonction du nombre total d’inconnues sous la forme :
ME-SDIM + ACA= O N2 P + (P − 1)(1 − ¯τ)O N 2 P (3.40)
3.4
Etude de la compressibilit´´
e avec un sch´ema E-SDIM + ACA
L’´etude de la compressibilit´e permet de savoir dans quelle mesure le probl`eme initial peut ˆetre compress´e en utilisant la E-SDIM int´egr´ee `a la ACA et d´eterminer la taille maximale du probl`eme `a traiter en fonction des ressources disponibles. On commence cette analyse par la premi`ere ´etape affectant la taille initiale du probl`eme qui est l’´elargissement. En effet, toutes les relations de complexit´e obtenues auparavant font r´ef´erence au nombre total d’inconnues N ou au nombre moyen d’inconnues par bloc N0E= NP. Ces quantit´es sont mesur´ees apr`es ´elargissement. Alors, il est n´ecessaire de connaitre comment les diff´erentes variables de configuration affectent l’augmentation du nombre d’inconnues par rapport au probl`eme d’origine. Il peut ˆetre affirm´e que la relation entre le nombre initial d’inconnues et celui apr`es l’´elargissement est sous la forme :
N = NMdM+ NE (3.41)
o`u NMdMest la quantit´e initiale et NErepr´esente le nombre total d’inconnues additionnelles. Dans le cas d’une surface carr´ee (les relations `a venir peuvent ˆetre facilement d´eduites pour une surface rectangulaire quelconque), pos´ee sur le plan xy d’un rep`ere cart´esien et ´echantillonn´ee avec un nombre de sommets identique selon les deux directions (Nx= Ny), le nombre total d’inconnues est :
NMdM= 3Nx2− 8Nx+ 5 (3.42)
Le nombre d’inconnues ajout´ees par l’´elargissement peut ˆetre d´etermin´e par l’expression : NE= (P − √ P )(12NR(NP− 1) − 4NR− 2(NP− 1)) + 12P NR2− 24 √ P ∆R2+ 12NR2 (3.43) o`u N2
Pest le nombre des sommets utilis´es pour ´echantillonner un bloc suppos´e carr´e et NRest le nombre de mailles consid´er´ees dans l’´elargissement. Cette expression est obtenue en d´eterminant le nombre des bords ´elargis sur la surface. Ainsi, les sous-domaines aux coins de la surface ont deux bords ´elargis, le reste des blocs aux bord de la surface en ont trois et les sous-domaines `a l’int´erieur quatre. Reste `a d´eterminer le nombre de fonctions ajout´ees par bord ´elargi, qui est approximativement 3∆RNP.
La relation entre Nx et NP est donn´ee par l’expression suivante :
NP− 1 = N√x− 1
P (3.44)
Nx−1 correspond alors au nombre des segments utilis´es sur une ligne ou sur une colonne d’´echantillonnage de la surface et NP− 1 repr´esente la mˆeme quantit´e sur un bloc.
√
P correspond au nombre de blocs sur une ligne ou sur une colonne. A cette ´etape, on peut d´efinir le taux d’´elargissement du probl`eme sous la forme :
τe= N NMdM = 1 + NE NMdM (3.45)
o`u on v´erifie que le taux d’augmentation du nombre d’inconnues est inversement proportionnel `a la taille initiale du probl`eme et directement proportionnel au nombre des blocs et `a la taille de l’´elargissement. Ceci prouve l’int´erˆet d’utiliser la m´ethode pour des probl`emes de grande taille et de maintenir la valeur de ∆R la plus petite possible. Par contre, d’un point de vue global, l’effet du nombre de sous-domaines ne peut ˆetre analys´e qu’apr`es la prise en compte du reste des ´etapes.
L’utilisation de la ACA dans la compression des matrices de couplage entre blocs suffisamment ´eloign´es a permis l’introduction du concept du taux de compression moyen des matrices de couplage. On peut red´efinir une grandeur similaire de fa¸con g´en´erale pour inclure l’effet des matrices imp´edance non compress´ees, sous
3.4. ´ETUDE DE LA COMPRESSIBILIT ´E AVEC UN SCH ´EMA E-SDIM + ACA 117 la forme : τg= 1 P2 P X i=1,j=1 τi,j (3.46)
o`u P2 repr´esente le nombre total de sous-matrices du probl`eme. τ
i,j peut alors prendre deux valeurs diff´erentes : τnc= 0 pour les cas des matrices non compress´ees ou ¯τc ≈ 0.98 qui est le taux de compression moyen des matrices compress´ees pour un probl`eme de taille moyenne, pouvant aller jusqu’`a 0.99 pour ceux de grande taille. A cet effet, l’expression (3.46) peut ˆetre r´e´ecrite comme
τg= Nzcτ¯c
P2 (3.47)
Nzc´etant le nombre des matrices qui peuvent ˆetre compress´ees dans le probl`eme. Pour d´eterminer cette quantit´e on suit la relation
Nzc= P2− Nznc (3.48)
o`u Nznc indique le nombre de sous-matrices non compressibles du probl`eme. Ce nombre est constitu´e par le nombre de matrices imp´edances ´egal `a P et les matrices de couplage entre blocs adjacents, qui peut ˆetre exprim´e sous la forme :
Nznc= 8P − 12 √
P + 4 (3.49)
Il est simple de v´erifier que la relation Nznc
P2 diminue avec l’augmentation du nombre de domaines. Alors,
la proportion de matrices compressibles dans un probl`eme donn´e augmente avec l’augmentation du nombre de blocs utilis´es et la valeur de Nzctend de fa¸con asymptotique vers P2.
A partir des expressions obtenues on peut d´efinir une taille ´equivalente du probl`eme sous la forme :
Neq= τe(1 − τg) NMdM (3.50)
Pour des valeurs fix´ees de ∆R et NMdM cette expression d´ecrit une courbe comme celle affich´ee sur la figure3.8, ce qui montre qu’il existe une valeur optimale de configuration afin de garantir une compression maximale.
Figure3.8 – Compressibilit´e avec un sch´ema E-SDIM + ACA